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第三章数列2014高考导航考纲解读1 •理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.§3.1数列的概念本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考 考点探究讲练互动 教材回顾夯实双基基础梳理1.数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛123,…，〃｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图象是一一群孤立的点.数歹的第兀项知与项数〃的关系若能用一个公式知=加）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式•3.数列的前〃项和数列的前〃项和S“=ai+a2 ----------- 5,且下列关系成立Si (n = l)a tl=^S n~S n^i (/i M2).4.递推公式如果已知数列仏啲第1项(或前几项)，且任一项心与它的前一项给-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.思考探究1.｛〜｝与a“有何关系？提示：｛心与◎是两个不同的概念，｛a“｝表示数列％a v …，a”,…，而知只表示数列｛〜｝中的第〃项.2.一个数列的通项公式是否唯一？提示：不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有通项公式.课前热身3 8 151•（教材改编）数列务节, A.n2—1 ""—nB.(n +1)2— 1a,~ n + 1C.(W+1/+2”"l(T)n + 1D.(n n(W+l)2_ 1 "l(T)n + 1答案：C¥，…的一个通项公式是（）2.已知«o=l,如=3,怎一％w“+i=(-1)"仗WN*),则如等于() A・ 33 B. 21C 17 D. 10答案：A3. （2011•高考江西卷）已知数列《｝的前兀项和S”满足：S“+S = ^n+m9且"1 = 1，B. 9那么"10 = ()A. 1C. 10D. 55解析：*/ S n+S m=S n+m,且幻=1,・・・S1 = 1・可令加=1,得s“+]=s” + i,s“+i _s“=i・即当必1时9知+i = l, .\a10=l.4.如果数列仏J的前孔项和为S n=2n2+19贝!|妁=答案:3 (n = l)4H—2 (〃$2)5.在数列仏｝中, 项之和为________ 答案：-1005=1,尤一冷+1 — 1=0,则此数列的前2 014考点1由数列的前几项写数列的通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:(1) 0.8,0・8&0.888,(4)0丄….【思路分析】（1）循环数借助于1—命来解决.5_ 2932 6164917710 13-2^ XI/3 1一* 2⑵正负号交叉用（一1）"或（一1严1来调节，这是因为H和«+1 奇偶交错.（3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.（4）对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决.【解】⑴将数列变形为尹一0.1)勺(1—0.01),尹一0.001),…，・• a n—^(1 — ]0") •⑵各项的分母分别为亍夕，，，…，易看出第2,3,4项的分子2 —3分别比分母少3.因此把第1项变为一二一，至此原数列已化为21-3 22-3 23-3 24-322，一a“=(—1)"宁.IT ‘~ir ‘ …'3 5 7 9(3)将数列统_为㊁,丁,帀p,…，对于分子3,5,7,9,…是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n =2n+l f 对于分母2,5,1047,…联想到数列1A016,…，即数列{/}, 可得分母的通项公式为c“ = /+l,2n±ln 2+r/° (〃为奇数)又0=1_1 1=丄+丄11 s 为偶数)’又 2 2, 1—2+2，.••也可为。
“=1±产・若考虑到三角函数的特征，此数列的通项公式也可以写为轴 2(n + l )7r1 +cos nit sin ―—或 a n•••可得它的一个通项公式为如 ⑷砒=*2 (M W N ) •【领悟归纳】⑴借助(一1)"或(一1)"+1来解决项的符号问题. (2)当项为分式时，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系.(3)对较复杂的数列通项公式的探求，可借助熟知的数列，如{/}, {*}, {2"}, {(—1)"}等以及等差数列、等比数列和其他方法来解决.考点2由数列递推关系求通项公式已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类: 一类是根据前几项的特点归纳猜想出〜的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列（等差或等比数列）等方法求得通项.根据下列条件，确定数列S”｝的通项公式.(1)«i = l, a n=~~~ a〃一I(M N2)；(2)S n=3n-2.【思路分析】（1）转化后利用累乘法求解.⑵利用a〃=S厂S「2M2）.【解】（iy ：a n4/2 -1(〃 $2),〔2X3"TSM2,且n e N ).12 n — 1 ai 1a n =如万弓 ...... =一=一・2 3 n n n(2)・・・S“=3"—2,当 W =1 时 9 ”1 = S1 = 1；当 nj2 时，a n =S n —S 〃一i=3"—2—(3" 1—2)=2X3" \ 显然n=l 时不适合上式•. _n — 2厂严-2,…如=务•以上（兀一1）个式子相乘得S = l)，*【误区警示】a“与S“的关系式a n = S fl ~S n_1的使用条件是心2,求◎时切勿漏掉〃=1的情况.跟踪训练求下列通项公式：(2)S“=*X3"+i3_2解:⑴由 a n —a n -x =n —l(n >2),可得如―"1=1，如―“2 = 2, 知―“3 = 3, …砒一"兀-1 = 〃一 1, 以上n —1个等式相加得a 他一如=1 + 2+3+•••+(〃一 1),ti(n 1)*/• = 1+ 2N )•1 3 1 3当 n^2 时，«n =S,-S w -1=2X3w+1-2-(2X3w-2)=3\ 适合(2)・・・S” = *X3"+i3一21一23_2考点3数列的性质 数列可看成自变量为2（或其有限子集｛1,2,…，//｝）的函数,函数的某些性质如单调性、最值等，数列同样适用.最大项为第兀项，最小项为第y 项，求兀+丿的值.合二次函数的知识解决问题.若数列仏｝的通项公式为叭=5・护-2一41 - 712R数列的【思路分析】2-5是平方关系，故考虑结V w —1^0, ••・0vWl.・：a“=5”一4t=5(t —g)2—g,・••当t=|时’5t 2—4t 有最小值一壬， …• 2、”_i 2* 亍 n=2eN , 【思维总结】 由于数列可以视为一类特殊的函数，所以在 研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求 解.本题正是利用了换元的思2-5 7—4・(旷=5・ 2一5此时，（=（旷 当f=l 时，5t 2-4t 有最大值. 2 此时，》=（M ）" 1 = 1，• •x— 1, y = 2,无+y = 3・一丫_4想，将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项, 即〃的值只能取正整数，从而换元后变量r的取值范围也相应地被限制.方法技巧1.已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由如和递推关系先求出前几项, 再归纳、猜想a”的方法，以及“化归法”、“累加法”等.常见的解题规律有：(l)a“一1=加)满足一定规律时，可有a 11—(a”—a”—1)+ 1—。
”-2)+ *** +(“2—(2)7丄=&5)满足一定条件时，可有.⑶仏｝为周期数列，贝！1周期为XT 为正整数)时，a 将砒转化为ai ，°2，…，血处理.2.数列是特殊的函数，研究数列性质时，可借用函数的性质•失误防范du °〃一1^n~\2 «2 —・如・1.数列中项的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同.数列可看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集｛1,2,…，〃｝的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.切记，两者不能混为一谈.2.数列由S“求勺时，要注意检验〃=1的情况是否适合a n=S n—S〃_i；幻由S］来求，不能由a n=S n—S〃_i来求.命题预测数列的概念在高考试题中很少独立命题，但是，数列的递推关系、归纳、猜想的数学推理思想会渗透在数列的试题之中, 如猜想通项公式、单调性、周期性，进一步求数列中的某些项或和，近几年的高考中，涉及到数学史中的一些数列（数阵）等，多数都用到S“与/的递推关系. 2012年的高考中，上海卷是由递推关系结合周期性求特定项的和.预测2014年的高考中，以递推归纳为主，出现新的递推模型, 考查数列的性质及计算.典例透析^1(2011-高考浙江卷)若数列»5+4)6)｝中的最大项是第 疋项，贝0 k= ________ •解得顷WkWl+VT5.・・ZEN*, :.k=4.【答案】4【解析】 由题意知 蚣+4)(|)蚣+4)(訓$ (氐一1)3+3)£)一1, M 伙+1)3+5)舒+1,列出不等式组求解即可，该题给出了数列特殊项的求法, 难度较大.【名师点评】 本题只要理解数列的最大项满足做鼻做-1 a&ak+i点击进入本部分内容讲解结束。
