高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时等差数列前n项和的性质及应用考点知识1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．二、等差数列中前n 项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ， 解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找； ②运用二次函数求最值．跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解(1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15， 所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？ 提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列． 知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法三由⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110， 则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫－9910＝－1110， 所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1110＝－1， 所以S 110＝－110.方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，S mm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝S mm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案D解析∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()A ．12B ．18C ．24D ．30答案D解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两B.845两C.865两D.885两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得 设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，d ＝－85.所以长兄分得865两银子．4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.答案2018解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.∴S 20212021＝2018.课时对点练1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120答案B解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100.2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值答案B解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列．令a n＝0，得n＝192.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于()A ．1010B ．1011C ．2020D ．2021答案A解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010.5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A ．45B ．36C ．28D ．21答案D解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×()6＋12＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.答案－13解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S 9－S 6＝5.9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12等于() A.18B.726C.14D.12答案C解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ，所以S 6S 12＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于()A ．6B ．7C ．6或7D ．13答案C解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0，所以a 1＝－6d ，因为a 1>0，所以d <0，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132，因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值．14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)，则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )]＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5362－53224＋157， 开口向上，对称轴为n ＝536≈9，故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .21 / 21 ∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12. ∴T n ＝14n 2－94n .。