【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业：9.2 两直线的位置关系 及交点、距离]

阶段检测三 数列 不等式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝30，a 4＝7，则a 12的值为( )． A ．15 B ．23 C ．25 D ．372．已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( )． A ．－4 B ．±4 C ．－2 2 D ．±2 23．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 4．已知x ，y 均为正数，且x ≠y ，则下列四个数中最小的一个是( )． A ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y B ．1x ＋yC ．1xyD ．12x 2＋y25．等比数列{a n }的首项a 1＝1 002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为( )．A ．8B ．9C ．10D ．116．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 7．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．14B ．12C ．2D ．4 8．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )．A ．2B ．4C ．8D ．169．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )．A ．0B ．－2C ．－52D ．－310．(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b211．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )．A ．470B ．490C ．495D ．51012．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )．A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是__________．14．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.15．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．16．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为__________(将所有真命题的序号填在横线上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.18．(12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．19．(12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若⌝p 是⌝q 的充分条件，求实数a的取值范围．20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求当n 为何值时，a n 的值最小．21．(12分)数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝log 2S nS n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 22．(12分)有n 个首项为1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m ，k ＝1,2,3，…，n ，n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．(1)当d 3＝2时，求a 32，a 33，a 34以及a 3n ；(2)证明d m ＝p 1d 1＋p 2d 2(3≤m ≤n ，p 1，p 2是m 的多项式)，并求p 1＋p 2的值；(3)当d 1＝1，d 2＝3时，将数列{}d m 分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d9)，…(每组数的个数构成等差数列)，设前m组中所有数之和为(c m)4(c m＞0)，求数列{2m c·d m}的前n项和S n.参考答案1．B2．C 解析：∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(y ＝2不合题意)． ∴xyz ＝－2 2.3．A 解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．4．D 解析：∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 2xy ＞2xy 2xy ＝1xy，∴不能选A.又∵1x ＋y ＜12xy ＜1xy， ∴不能选C ，下面比较B 和D.令x ＝1，y ＝2，则B 中的式子等于13，D 中的式子等于110.∴D 选项中的式子的值最小．5．C 解析：a n ＝1 002×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＜1⇒n ＞10，即等比数列{a n }前10项均不小于1，从第11项起小于1，故p 10最大．6．A 解析：如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.7．D 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，所以有－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b＝4.8．D 解析：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.9．C 解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，应有12f ⎛⎫⎪⎝⎭≥0⇒52-≤a ≤－1；若2a -≤0，即a ≥0时，则f (x )在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ≥0； 若0≤2a -≤12，即－1≤a ≤0，则应有222112424a a aa f ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭≥0恒成立，故－1≤a ≤0.,综上可得，有a ≥52-．10.A 解析：v ＝2211aba b a b=++＜22ab ab ＝ab ．因为2ab a b +－a ＝22ab a ab a b --+＝2ab a a b -+＞22a a a b-+＝0，所以2ab a b +＞a ，即v ＞a .故选A.11.A 解析：注意到a n ＝n 2cos 23n π，且函数y ＝cos 23x π的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝12-n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝(3×1＋72)＋(3×4＋72)＋…＋(3×28＋72)＝3×10(128)2⨯+＋72×10＝470.12.C 解析：(x －a )⊗(x ＋a )＜1 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]＜1 ⇔－x 2＋x ＋a 2－a －1＜0 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.∵不等式对任意实数x 成立，∴Δ＜0，即1－4(a －a 2＋1)＜0， 4a 2－4a －3＜0，解得－12＜a ＜32． 13.4 解析：由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则2()a b cd+＝2()x y xy +2(2)xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号． 14.323(1－4－n) 解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝12．则a n ＝4·12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝23－n ，a n a n ＋1＝25－2n ＝23·14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1.所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以14为公比，以23为首项的等比数列．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝323(1－4－n)． 15.3 解析：不等式组10,10x y x +-≥⎧⎨-≤⎩表示的区域为甲图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图乙所示，由其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解得a ＝3.甲 乙16.①②③ 解析：①正确，因为a n 2－21n a +＝p ，所以21n a +－2n a ＝－p ，于是数列{2n a }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为2kn a －2kn k a +＝(2kn a －21kn a +)＋(21kn a +－22kn a +)＋(22kn a +－23kn a +)＋…＋(21kn k a +-－2kn k a +)＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．17.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)(1)(1)a b c abc---=()()()b c a c a b abc+++=≥2228bc ac ab abc⋅⋅=，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．18.解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝25,2,1,23,25, 3.x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时 ，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)由f (x )≤|x －4|，得|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，由|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |， 得4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 即－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 19.解：由53x x --≥2，得13x x --≤0， ∴1≤x ＜3.由x 2－ax ≤x －a ，得(x －a )(x －1)≤0. (1)当a ＜1时，解得a ≤x ≤1； (2)当a ＝1时，解得x ＝1； (3)当a ＞1时，解得1≤x ≤a . ∵⌝p 是⌝q 的充分条件， ∴q 是p 的充分条件．设p 对应集合A ，q 对应集合B ，则A ＝{x |1≤x ＜3}且B ⊆A .当a ＜1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，B A ，不符合题意； 当a ＝1时，B ＝{x |x ＝1}，B ⊆A ，符合题意；当a ＞1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若B ⊆A ，需1＜a ＜3. 综上，得1≤a ＜3.∴实数a 的取值范围是[1,3)．20.解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， 即b n ＋1－b n ＝2n －6.b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2×(1)2n n -－6(n －1)＝n 2－7n －8. 经验证，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知，a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)． 当n ＜8时，a n ＋1＜a n ，即a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 8； 当n ＝8时，a 9＝a 8；当n ＞8时，a n ＋1＞a n ，即a 9＜a 10＜a 11＜…. ∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．21.(1)证明：∵S n 2＝a n (S n －1)，∴S n 2＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)． ∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1n S －11n S -＝1. ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n，∴b n ＝log 2n ＋2n.∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10. 22．解：(1)当d 3＝2时，∵a 31＝1，∴a 32＝a 31＋d 3＝3，a 33＝a 31＋2d 3＝5，a 34＝a 31＋3d 3＝7，…，a 3n ＝a 31＋(n －1)d 3＝2n －1. (2)由题意知a mn ＝1＋(n －1)d m ，a 2n －a 1n ＝[1＋(n －1)d 2]－[1＋(n －1)d 1]＝(n －1)(d 2－d 1)，同理，a 3n －a 2n ＝(n －1)(d 3－d 2)，a 4n －a 3n ＝(n －1)(d 4－d 3)，…，a nn －a (n －1)n ＝(n －1)(d n－d n －1)．又因为a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列， 所以a 2n －a 1n ＝a 3n －a 2n ＝…＝a nn －a (n －1)n .故d 2－d 1＝d 3－d 2＝…＝d n －d n －1，即{d n }是公差为d 2－d 1的等差数列． 所以，d m ＝d 1＋(m －1)(d 2－d 1)＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2.令p 1＝2－m ，p 2＝m －1，则d m ＝p 1d 1＋p 2d 2，此时p 1＋p 2＝1.(3)当d 1＝1，d 2＝3时，d m ＝2m －1(m ∈N *)．数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…. 按分组规律，第m 组中有2m －1个奇数，所以第1组到第m 组共有1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2个奇数．注意到前k 个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，所以前m 2个奇数的和为(m 2)2＝m 4.即前m 组中所有数之和为m 4，所以(c m )4＝m 4.因为c m ＞0，所以c m ＝m ，从而2c m d m ＝(2m －1)·2m (m ∈N *)．所以S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n.2S n ＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1.故－S n ＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝2×2(2n－1)2－1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6.所以S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.。

第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos<a+b,a-b>===.所以<a+b,a-b>=60°.6.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos 60°=3,∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cos β,-sin β)到直线x cos α-y sin α+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴sin θ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan 2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sin α+3cos α=0,所以tan α=-⇒tan 2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=. 【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6), a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ===-=-.13.已知a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sin θ,4)-(0,3)=(4sin θ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sin θcos θ-1=0.∴sin 2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sin θ+1,1+cos θ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x) =1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足a cos C+c=b,求f(B)的取值范围. 【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由a cos C+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cos A ==,得A=,B+C=,易知0<B<,0<<,则<+<,所以1<sin+<.故f(B)的取值范围为.。

课时作业64 算法与程序框图一、选择题1．如下框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )．A．7 B．8 C．10 D．112．(2012江西南昌模拟)若如下程序框图所给的运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )．A．k＝9? B．k≤8?C．k＜8? D．k＞8?3．(2012北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．A．2 B．4C．8 D．164．(2012安徽合肥六中模拟)阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是( )．A．i＞5? B．i＞6?C．i＞7? D．i＞8?5．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )．A．S＝S*(n＋1) B．S＝S*x n＋1C．S＝S*n D．S＝S*x n6．(2012山东高考)执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( )．A．2 B．3 C．4 D．57．若下面的程序框图输出的S是126，则①应为( )．A．n≤5? B．n≤6?C．n≤7? D．n≤8?二、填空题8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．9．(2012上海十三校联考)根据右面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取值范围是__________．10．(2012陕西高考改编)下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入__________．三、解答题11．已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)、(x2，y2)、…、(x n，y n)、…若程序运行中输出的一个数组是(x，－8)，求x的值．12．程序框图如图，运行此程序，试求输出的b的值．参考答案一、选择题1．B 解析：∵x 1＝6，x 2＝9，∴x 1＋x 22＝6＋92＝7.5≠8.5，∴输出的p ＝x 2＋x 32＝9＋x 32＝8.5，∴x 3＝8.2．D 解析：据程序框图可得当k ＝9时，S ＝11；k ＝8时，S ＝11＋9＝20.∴应填入“k ＞8？”．3．C 解析：初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0＜3，得S ＝1×２0＝1，k ＝1；第二次循环：由1＜3得，S ＝1×２1＝2，k ＝2；第三次循环：由2＜3得，S ＝2×２2＝8，k ＝3.经判断此时要跳出循环．因此输出的S 值为8.4．A5．D 解析：这里要求的S 是x 1，x 2，…，x 10的乘积，S 从1开始每循环一次就乘以一个xn ，直到符合S ＝x 1x 2…x n 为止，然后跳出循环，输出S .6．B 解析：由程序框图知，当n ＝0时，P ＝1，Q ＝3；当n ＝1时，P ＝5，Q ＝7；当n ＝2时，P ＝21，Q ＝15，此时n 增加1变为3，满足P ＞Q ，循环结束，输出n ＝3.7．B 解析：程序是计算21＋22＋ (2)＝126，解得n ＝6，所以判断框内应填“n ≤6？”．二、填空题8．5 解析：第1次循环：k ＝3，a ＝43，b ＝34；第2次循环：k ＝4，a ＝44，b ＝44；第3次循环：k ＝5，a ＝45，b ＝54.此时，满足条件a ＞b ，循环终止，因此，输出的k 的值是 5.9．2，52解析：由程序框图可得输出值y ＝x 2，x ＜0，4－2x ，x ≥0，若y ∈[－1,0]，则－1≤x 2≤0，x ＜0，或－1≤4－2x ≤0，x ≥0，解得2≤x ≤52.10．q ＝MM ＋N 解析：由框图可知M 表示及格人数，N 表示不及格人数，所以q ＝MM ＋N.三、解答题11．解：开始n ＝1，x 1＝1，y 1＝0→n ＝3，x 2＝3，y 2＝－2→n ＝5，x 3＝9，y 3＝－4→n ＝7，x 4＝27，y 4＝－6→n ＝9，x 5＝81，y 5＝－8，则x ＝81.12．解：运行程序各次结果分别为i ＝10，a ＝1012，b ＝a ＝1012；i ＝9，a ＝947，b ＝a ＝947；…；i ＝5，b ＝a ＝613；i ＝4，a ＝6＜613，b ＝a ＝6；i ＝3，a ＝7＞6，此时程序结束，故输出b 的值为 6.。

《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习题库：第九章解析几何9．1直线及其方程A．0 B．33C． 3D．－ 37．已知函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋1a表示的直线是()．二、填空题8．直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为__________．9．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则1a＋1b＝__________.10．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b 不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．参考答案一、选择题1．A 解析：直线的斜率k ＝－1－0－1－0＝1， ∴tan α＝1.∴α＝45°.2．C 解析：过点M ，N 的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2. 又∵P (3，m )在这条直线上，∴m ＋14＋1＝3－2－3－2，m ＝－2. 3．C 解析：由A ·C ＜0及B ·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－C A ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－C B ，且－C A ＞0，－C B ＞0， ∴直线不过第三象限．4．A 解析：易知A (－1,0)．∵|PA |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5,0)．∵PA ，PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.5．B 解析：由条件知k l 1＝3，k l 2＝－k ， ∴3×(－k )＝－1.∴k ＝13，即k l 2＝－13. 又l 2过点(0,5)，∴l 2：y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 6．C 解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan 60°＝ 3.7．C 解析：∵f (x )＝a x 且x ＜0时，f (x )＞1，∴0＜a ＜1，1a ＞1.又∵y ＝ax ＋1a ，令x ＝0得y ＝1a ，令y ＝0得x ＝－1a2. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a 2＞1a ，故C 项图符合要求．二、填空题 8．135° 解析：∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，∴a ＋m －2a ＝0.∴m ＝a .直线方程为ax ＋ay －2a ＝0，又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0.∴斜率k ＝－1.∴倾斜角α＝135°.9．12解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，因为A (2,2)在直线上，所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12. 10．①③⑤ 解析：对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确；对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍，即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z)就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确．对于⑤，举例：y ＝2x －2，只过整点(1,0)，故⑤正确．三、解答题11．解：(1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.令x ＝0，得y ＝a －2.令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1. 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．12．(1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立．所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)解：直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0. (3)解：依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．第 11 页 又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB | ＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．5指数与指数函数2.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式 ①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n 为奇数)，|a |＝⎩⎨⎧ ，a ≥0， ，a <0(n 为偶数)； ②(na )n ＝______(n ＞1且n ∈N *)(注意a 必须使n a 有意义)．2．实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是m na ＝______(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是性质定义域__________值域__________单调性在R上__________在R上__________ 函数值变化规律当x＝0时，__________ 当x＜0时，__________；当x＞0时，__________当x＜0时，__________；当x＞0时，__________1．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得()．A．2x2y B．2xy C．4x2yD．－2x2y2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有()．A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a＞0且a≠1 3．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2x的图象，则()．A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－24．函数y＝xa x|x|(0＜a＜1)图象的大致形状是( )．5．函数f (x )＝223x x a +-＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.一、指数式与根式的计算【例1】 计算下列各式的值． (1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)3322111143342()a b ab a b a b -(a ＞0，b ＞0)．方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例2－1】 在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )． A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【例2－2】 已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【例2－3】 k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？方法提炼1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2. 如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．4．函数y＝a f(x)的值域的求解，先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝a f(x)的值域．请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用【例3】已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a＞0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现．请做演练巩固提升5忽略0＜a＜1或弄错x的范围而致误【典例】(12分)已知函数y＝b＋22x xa (a，b是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值． 分析：先确定t ＝x 2＋2x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构建关于a ，b 的方程组求解．规范解答：∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)(1)若a ＞1，函数y ＝a t 在[－1,0]上为增函数， ∴a t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b ＋1a ，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(7分)(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1，1a ，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.(12分)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)误将x 的范围当成x 2＋2x 的范围，从而造成失误．(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误．2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误；(3)利用幂的运算性质化简指数式时失误；(4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．1．(2019天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )．①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )；④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④4．计算⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝__________. 5．若函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1为奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数的定义域；(3)讨论函数的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n ＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①na m ②1m na③0 (2)①ar ＋s②a rs ③a r b r (3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1基础自测1．D 解析：416x 8y 4＝1844(16)x y＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 解析：由已知，得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2. 3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x ＋2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x .故选D.5．9 解析：f (x )＝223x x a+-＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)原式＝ ＝2132850027⎛⎫-+ ⎪⎝⎭－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2 ＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝1213233211233()a b a b ab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1.【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称．【例2－2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝24313x x --+⎛⎫⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫13g (x )在R 上单调递减．所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. 【例2－3】 解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．【例3】解：(1)函数定义域为R，关于原点对称．又∵f(－x)＝a(a－x－a x)＝－f(x)，a2－1∴f(x)为奇函数．(2)当a＞1时，a2－1＞0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数，∴f(x)为增函数．故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴f(x)在区间[－1,1]上为增函数．∴f(－1)≤f(x)≤f(1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a ＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升1．A 解析：a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1. ∴c ＜b ＜a .2．D 解析：若a ＞1，则y ＝a x 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa ＜2π；若0＜a ＜1，则y ＝a x 是减函数，且y ＝sin a x的周期T ＝2πa ＞2π.3．A 解析：∵S (x ＋y )＝a x ＋y－a－(x ＋y )2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y＋a－y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y－ax －y＋a y －x－a－(x ＋y )4＝2ax ＋y－2a －(x ＋y )4＝ax ＋y －a－(x ＋y )2＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A.4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷12100 ＝lg(14×125)÷121100＝lg 1100÷1100＝lg 10－2×100＝－2×10＝－20.5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则 y 1－y 2＝2121x -－1121x -＝122122(21)(21)x x x x ---.∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x .∴12x －22x ＜0,12x －1＞0,22x －1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．。

《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9．6双曲线渐近线y＝____y＝____离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的______，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2叫做双曲线的______，它的长|B1B2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．双曲线x216－y29＝1的焦距为()．A．10 B.7 C．27 D．52．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．4 2 B．8 3 C．24D．483．设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()．A．4 B．3 C．2 D．14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A. 5 B ．5 C. 2D ．25．(2019届广东深圳南头中学高三12月月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 212－y 224＝1 C.x 227－y 218＝1 D.y 218－x 227＝1 6．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】 △PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做演练巩固提升2三、双曲线的几何性质【例3】(2019重庆高考)设P为直线y＝b 3ax与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝__________.方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x范围的界定【典例】(12分)(2019四川高考)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝x＋m(m＞0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求|PR ||PQ |的取值范围． 规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为y x －1. 由题意，有y x ＋1·y x －1＝4，(3分) 化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根． 因为|PQ |＜|PR |，所以|x Q |＜|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33， x R ＝m ＋2m 2＋33. 所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m2－1 ＝1＋221＋3m 2－1.(9分) 此时1＋3m 2＞1，且1＋3m 2≠2， 所以1＜1＋221＋3m 2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1＜|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＜3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.(11分)综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，3.(12分) 答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±a bx . (4)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 1．(2019浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2 C. 3D. 22．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．84．(2019天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b ax ±a b x 实轴 2a 虚轴 2b a b基础自测1．A 解析：∵c 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎨⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24. 3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32， 所以a ＝23b ＝23×3＝2. 4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，则b ＝2a .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴离心率e ＝c a ＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)，∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，渐近线方程为y ＝±2x .考点探究突破【例1－1】 解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)．所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |.所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 【例1－2】 解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1||PF 2|＋1， ∴|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ. 在△F 1PF 2中，由正弦定理，得S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】 解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14， ∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14， 即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1， 将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【例3】 324解析：因为F 1为左焦点，PF 1垂直于x 轴，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－bc 3a . 又因为P 点为直线与双曲线的交点，所以c 2a 2－b 2c 29a 2b 2＝1，即89e 2＝1， 所以e ＝324. 演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为ca 2c a 1＝a 1a 2＝2. 2．A 解析：由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0. 又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b 2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1. 3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得：|PF 1|－|PF 2|＝2.两边平方得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.①在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，② 由①②可解得|PF 1||PF 2|＝4.4．1 2 解析：∵C 1与C 2的渐近线相同， ∴b a ＝2.又C 1的右焦点为F (5，0)，∴c ＝5，即a 2＋b 2＝5.∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离 d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 于是得5e 2－1≥2e 2， 即4e 4－25e 2＋25≤0. 解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。

选考部分选修4—1 几何证明选讲考纲要求1．了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理．1．平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；②相似三角形周长的比等于______；③相似三角形面积的比等于________________；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．5．圆周角定理(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____． (2)圆心角定理 圆心角的度数等于______________． 推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____． 6．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角____．性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____． 7．圆的切线的性质及判定定理性质定理 圆的切线垂直于经过切点的____．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____． 8．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的______． 9.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等．(3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的____．1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3，则圆O 的半径为__________．(第3题图) (第4题图)4．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为__________．5．(2012陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝__________.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BF FE＝__________.方法提炼1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升3 二、射影定理的应用【例2】 如图，圆O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB ，垂足为点H ，且AH ＜BH ，DH ＝4，则(1)AH ＝__________；(2)延长ED 至点P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，则PD ＝__________. 方法提炼1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法． 请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】 如图，⊙O 过点C ，⊙C 交⊙O 于点A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙C 于点D ，若AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)； (2)若AC ＝AP ，则PC PA＝__________.方法提炼1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．方法提炼1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．请做演练巩固提升2 六、四点共圆的判定【例6】 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ，则O ，B ，D ，E ______四点共圆．(填“是”或“不是”)方法提炼1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等．2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (10分)如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)求证：AM·MB＝DF·DA.规范解答：(1)连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵CA是∠BAF的平分线，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.(3分)∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(5分)(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.(8分)由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.(10分)答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________．2．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD ＝3，BD＝6，则PB＝__________.3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为__________．5．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK ，则C ，D ，K ，M __________四点共圆．(填“是”或“不是”)6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，若∠BAC ＝60°，则∠ADB ＝__________.参考答案知识梳理1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方4．比例中项 比例中项5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．圆周角9．(1)积 (2)积 (3)比例中项 (4)夹角 基础自测1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 2．4 解析：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB＝CP ×PD ＝4CP 2，可得CP ＝2，PD ＝8，则PE ＝3.又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π6.则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2＝27.4．6 解析：由切割线定理，得PT 2＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破【例1】 4 32解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，所以AE DG ＝41.从而AF FD ＝AE DG ＝41，所以GF FE ＝14.因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝32.【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，故由射影定理DH 2＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，∴AH 2－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2＝PD ·PE ，(25)2＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝AB AE，即2AC 2＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，所以AC ＝10.【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C .又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB.∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°.在Rt△ABC 中，1tan C ＝CA AB ，即1tan 30°＝CAAB，∴CA AB ＝3.∴PC PA ＝CAAB＝ 3. 【例5】 2 解析：设圆O 的半径为R ，由PA ·PB ＝PC ·PD ，得3×(3＋4)＝(5－R )(5＋R )，解得R ＝2. 【例6】 是 解析：连接BE ，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ， ∴△ODE ≌△ODB .∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴O ，B ，D ，E 四点共圆． 演练巩固提升1．1∶9 解析：如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ∶AC ＝1∶3，作CD ⊥AB 于D ，由射影定理得BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB ， 则BC 2AC 2＝BD AD ＝19， 故它们在斜边上的射影的比是1∶9.2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理，得PT 2＝PB ·PA ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DECE，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.66解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝PC PA ＝BCAD. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝66.5．是 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，∵∠DAB＋∠ADC＝180°，∴∠CMK＋∠KDC＝180°.故C，D，K，M四点共圆．6．120°解析：在圆周上任取一点E，连接AE，BE，由弦切角定理，得∠AEB＝∠BAC ＝60°.因为ADBE是圆内接四边形，所以∠E＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝120°.。