【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点50 几何证明选讲(含解析)新人教A版

2014年全国各地高考试题分类汇编（理数）几何证明选讲（2014广东理数）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF =△的面积△的面积．FDCBA图3【解析】依题意得CDF AEF △∽△，由EB =2AE 可知:1:3AE CD =．故=9CDF AEF △的面积△的面积．（2014湖北理数）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O 外一点，过P 点作O 的两条切线，切点分别为B A ,．过PA 的中点Q 作割线交O 于D C ,两点，若1,3QC CD ==，则_____=PB ．【解析】由切割线定理得()21134QAQC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，因为Q 为PA 的中点，所以24PA QA ==．故4PB PA ==．解析：曲线1C 为射线y =()0x …．曲线2C为圆224x y +=．设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q ，tan POQ ∠=，30POQ ∠=，又因为2OP=，所以1C 与2C 的交点P 的直角坐标为)．（2014湖南理数）12．如图所示，已知AB ，BC 是O的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =则O 的半径等于________．【解析】设AO 与BC 交于M ，因为AO BC ⊥，BC =BM =AB 1AM =．设圆的半径为r ，则()2221r r =+-，解得32r =． （2014江苏）21．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．求证：OCB D ∠=∠．【解析】因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB OC =．故OCB B ∠=∠．又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故B ∠，D ∠为同弧所对的两个圆周角，所以B D ∠=∠．因此OCB D ∠=∠． （2014辽宁理数）22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =．【解析】（1）因为PD PG =，所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线， 故PDA DBA ∠=∠，又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠． 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠．由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠=，于是BDA ∠= 90．故AB 是直径．（2）连接BC ，DC ．由于是AB 直径，故90BDA ACB ∠=∠=．在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB=BA ，AC =BD ，从而Rt BDA Rt ACB ≅△△． 于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠，故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（1）得ED AB =． （2014陕西理数）15．B.（几何证明选做题）如图所示，ABC △中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB AC，于点E F ，，若2AC AE =，则EF= ．BCGF EDAOBCDACOBPG F E DCBABCEFA【解析】因为四边形BCEF 内接于圆，所以AEF ACB ∠=∠，又A ∠为公共角，所以AEF ACB △△，所以EF AEBC AC=，又因为6BC =，2AC AE =．所以3EF =． （2014天津理数）6．如图，ABC △是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CEBE DE ? ；④AF BD AB BF ? ．则所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④FED CBA【解析】①FBD BAD ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，故FBD CBD ∠=∠，即①正确．由切割线定理知②正确．③BED AEC △△，故BE AEDE CE =，当DE CE ≠时，③不成立． ④ABF △△BDF ，故AB BDAF BF=，即AB BF AF BD ⋅=⋅，④正确．故①②④正确，故选D ． （2014新课标1理数）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =． （1）证明：E D ∠=∠；（2）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MC MB =，证明：ADE ∆为等边三角形．【解析】（1）由题设知得,,,A B C D 四点共圆，所以D ∠ CBE =∠，由已知得，CBE E ∠=∠，故D ∠E =∠．（2）设BC 中点为N ，连接MN ，则由MB MC =，知MN BC ⊥，所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以ADBC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE △为等边三角形． （2014新课标2理数）22．（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明：（1）BE EC =；（2）2·2AD DE PB =．【解析】（1）连接AB ，AC ，由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠． 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠， 所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =．因此BE EC =．（ii ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB =， BD PB =，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以AD DE ⋅=22PB ． （2014重庆理数）14．过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 依次交圆于B ，C ．若6PA =，8AC =，9BC =，则AB =________．【解析】设PB x =，由切割线定理得()296x x +=，解得3x =或12x =-（舍去）．又易知PBC PCA △∽△，于是31462AB PB AB AC PA ===⇒=．E。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点50几何证明选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标平行线截线段成比例定理和相似三角形的判定定理；圆的几何性质和直线与圆的位置关系.二.知识梳理1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．论1：经过三角形一边的中心与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(4)判定定理2：两边对应对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(5)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．直角三角形相似的判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角角对应相等，那么它们相似．定理2：如果两个直角三角形的两条直角边边对应成比例，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方6．直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．7．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．8．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径9．圆内接四边形的性质与判定(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角互补(2)性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内对角(3)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．10．圆的切线的性质与判定(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(4)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．11．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角12．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如上图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD①文字叙述从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理①文字叙述从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．②图形表示如上图，⊙O 的切线PA ，切点为A ，割线PBC ，则有PA 2＝PB·PC. (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 三．精选例题例1.如图1－8，⊙O 和⊙O′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC ＝AE.图1－8证明：(1)由AC 与⊙O′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB.从而AC AD ＝ABBD，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD.从而AE AB ＝ADBD ，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，得AC ＝AE.例2.如图1－7，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE. 求证：∠E ＝∠C.图1－7证明：如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C.因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B.于是∠B ＝∠C.因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B.所以∠E ＝∠C.例3.如图1－6所示，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连结OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．图1－6[解析] 因为CD ＝OC 2－OD 2，且OC 为⊙O 的半径，是定值，所以当OD 取最小值时，CD 取最大值．显然当OD ⊥AB 时，OD 取最小值，故此时CD ＝12AB ＝2，即为所求的最大值．例4. 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．16 B ．14C ．12 D ．10[解析] 取单位长度为7的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E 点相同，根据对称性应选择14次．例5．如图1－3，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A ．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2[解析] 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识．对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB；对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB；对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB；对于D，ED2＝CE·EB≠CD2.例6. 如图1－3，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图1－3[解析] 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PA·PB＝(PO－r)(PO＋r)，把 PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝ 6.例7.如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.例8.如图1－5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图1－5[解析] 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.例9.如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则线段CD的长为________．图1－3[解析] 本题考查选修4－1几何证明选讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题．由相交弦的性质可得|AF|×|FB|＝|EF|×|FC|，∴|FC|＝|A F|×|FB||EF|＝3×132＝2，又∵FC∥BD，∴ACAD＝FCBD＝AFAB＝34，即BD＝83，由切割定理得|BD|2＝|DA|×|DC|＝4|DC|2，解之得|DC|＝43.例10.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC且ADDB＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是( )A.23B.25C.45D.49[答案] C[解析] ∵DE∥BC，∴△ADE△ABC，∴S△ADES△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫ADAB2，∵ADDB＝2，∴ADAB＝23，∴S△ADE＝49S△ABC，∴S四边形DEBC＝59S△ABC，∴S△ADES四边形DBCE＝45，故选C.例11.如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝( )A．6 B．3 C．2 D．4[答案] A[解析] ∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF△DPF及M为BC中点知，N为DP 的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选A.。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第3部分：几何证明选讲）一、相似三角形的判定及有关性质（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用〖例〗如图，F 为ABCD 边上一点，连DF 交AC 于G ，延长DF 交CB 的延长线于E 。

求证：DG ·DE=DF ·EG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。

解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，AD=BC ，∵AD ∥BC ，∴DG AD EG EC =， 又∵AB ∥DC ，∴,DF BC AD DE EC EC ==∴DG DF EG DE=，即DG ·DE=DF ·E G 。

（二）相似三角形判定定理的应用〖例〗如图，BD 、CE 是⊿ABC 的高，求证：⊿ADE ∽⊿ABC 。

解答：0AEC 90,,AEC ,,,AEC .BD CE ABC ADB AD AE A A ADB AB ACA A ABC ∴∠=∠=∠=∠∴∴=∠=∠、是的高，又∽又∽ （三）相似三角形性质定理的应用〖例〗⊿ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=12cm ，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，求这个正方形的边长。

思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。

解答：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，⊿ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为xcm ，∵PN ∥BC ，∴⊿APN ∽⊿ABC 。

∴.AE PN AD BC =∴8812x x -=。

解得x=4.8(cm). 答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm 。

专题6：几何证明选讲1.（2012年海淀一模理13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = .2.（2012年西城一模理11） 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN =_____．3．（2012年东城一模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切 ⊙O于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．4．（2012年丰台一模理12）如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠= ，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC 于E ，交圆于D ．若PA=AE ，BD=AP= ，AC= ．5.（2012年东城11校联考理10）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ，若30PA APB =∠=︒，则AE = .6.（2012年石景山一模理11）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．7．（2012年房山一模理3）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则ABC ∠=( ) A.70︒B.60︒C.45︒D.30︒FEDC BAABCOMNED P CBA8．（2012年门头沟一模理12）如右图：点P 是O 直径AB 延长线上一点， PC 是O 的切线，C 是切点，4AC =，3BC =，则PC = ．9.（2012年西城二模理11）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角 形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____．10.（2012年朝阳二模理12）如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE并延长交圆O 于F．若CD =AB =_______，EF =_________．11.（2012年丰台二模理11）如图所示，AB 是圆的直径，点C过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．12.（2012年昌平二模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.13.（2012年东城二模理12） 如图，直线PC 与 O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．14.（2012年海淀二模理12）如图， 圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则=∠DCB ______.15．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ） A ．3B．C ．2D16．（2013届北京大兴区一模理科）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB ?，则AE = 。

选考部分选修4—1 几何证明选讲考纲要求1．理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．2．会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理．1．平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比 (或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理 1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理 2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；②相似三角形周长的比等于______；③相似三角形面积的比等于________________；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．5．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____．(2)圆心角定理圆心角的度数等于______________．推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____． 6．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角____．性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____． 7．圆的切线的性质及判定定理性质定理 圆的切线垂直于经过切点的____．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____． 8.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3，则圆O 的半径为__________．(第3题图) (第4题图)4．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为__________．5．(2012陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝__________.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BFFE＝__________.方法提炼1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升3 二、射影定理的应用【例2】 如图，圆O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB ，垂足为点H ，且AH ＜BH ，DH ＝4，则(1)AH ＝__________；(2)延长ED 至点P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，则PD ＝__________. 方法提炼1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法． 请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】如图，⊙O 过点C ，⊙C 交⊙O 于点A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙C 于点D ，若AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)；(2)若AC ＝AP ，则PC PA＝__________.方法提炼1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．方法提炼1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．请做演练巩固提升2 六、四点共圆的判定【例6】 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ，则O ，B ，D ，E ______四点共圆．(填“能”或“不能”)方法提炼1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等．2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (2012湖南高考)如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点，若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于__________．解析：过P 作圆的切线PC 切圆于C 点，连接OC .∵PC 2＝PA ·PB ＝1×3＝3，∴PC ＝ 3.在Rt△POC 中，OC ＝PO 2－PC 2＝ 6. 答案： 6答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________． 2．如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A ，B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝__________.3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)(第3题图) (第4题图)4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为__________．5．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK ，则C ，D ，K ，M __________四点共圆．(填“能”或“不能”)(第5题图) (第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，若∠BAC ＝60°，则∠ADB ＝_____.参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方4．比例中项 比例中项5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．(1)积 (2)比例中项 基础自测1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．2．4 解析：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB＝CP ×PD ＝4CP 2，可得CP ＝2，PD ＝8，则PE ＝3.又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π6.则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2＝27.4．6 解析：由切割线定理，得PT 2＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破【例1】 4 32解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，所以AE DG ＝41.从而AF FD ＝AE DG ＝41，所以GF FE ＝14.因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝32.【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，故由射影定理DH 2＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，∴AH 2－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2＝PD ·PE ，(25)2＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝AB AE，即2AC 2＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，所以AC ＝10.【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C .又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB.∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°.在Rt△ABC 中，1tan C ＝CA AB ，即1tan 30°＝CAAB，∴CA AB ＝3.∴PC PA ＝CAAB＝ 3. 【例5】 2 解析：设圆O 的半径为R ，由PA ·PB ＝PC ·PD ，得3×(3＋4)＝(5－R )(5＋R )，解得R ＝2. 【例6】 能 解析：连接BE ，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ， ∴△ODE ≌△ODB .∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴O ，B ，D ，E 四点共圆． 演练巩固提升1．1∶9 解析：如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ∶AC ＝1∶3，作CD ⊥AB 于D ，由射影定理得BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB ， 则BC 2AC 2＝BD AD ＝19， 故它们在斜边上的射影的比是1∶9.2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理，得PT 2＝PB ·PA ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ，∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DECE，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.66解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝PC PA ＝BCAD. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝66.5．能 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，∵∠DAB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠CMK ＋∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆．6．120° 解析：在圆周上任取一点E ，连接AE ，BE ，由弦切角定理，得∠AEB ＝∠BAC ＝60°.因为ADBE 是圆内接四边形，所以∠E ＋∠ADB ＝180°，所以∠ADB ＝120°.。

考点50 几何证明选讲一、选择题1. (2014年天津高考文科·T7)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2＝FD ·FA ;③AE ·CE ＝BE ·DE ;④AF ·BD ＝AB ·BF.则所有正确结论的序号是 ( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 【试题解析】选 D.因为,B A F D B F B A F D A C ∠=∠∠=∠,DACDBC ∠=∠，所以,C B D D B F ∠=∠即BD 平分CBF ∠,故①正确；BAF DBF∠=∠，知,BAF DBF ∆∆∼所以,AB BDAF BD AB BF AF BF =⋅=⋅即,2,AF BF BF AF DF BF DF==⋅,故②,④正确二、填空题2. （2014·湖北高考理科·Ｔ15）（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 外一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .【试题解析】由切割线定理得4)31(12=+⨯=⋅=QD QC QA ，所以2=QA ，4==PA PB . 答案：4【误区警示】解答本题时容易出现的问题是错误使用切割线定理。

3. （2014·湖南高考理科·Ｔ12）12．如图3，已知,AB BC 是O 的两条弦，,AO BC AB BC ⊥==则圆O 的半径等于【解题提示】做出过AO 的直径，利用射影定理求解。

【试题解析】如图延长AO ，做出直径AD ，连接BD ，则AB 垂直于BD ，设BC ，AD 交于E ，因为,,AO BC AB BC ⊥=所以AE ＝1，由射影定理得AD AE AB ⋅=2，23,23==r r . 答案：23=r 4.(2014年广东高考文科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且EB ＝2AE ,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .【试题解析】显然△CDF ∽△AEF,则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝CD AE ＝AE EBAE+＝3.答案:35.(2014年广东高考理科)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且EB ＝2AE ,AC与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝ .【试题解析】显然△CDF ∽△AEF,则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝22CD AE ＝22AE EB AE+（）＝9. 答案:9【误区警示】不会用平行四边形得出相似三角形或误用相似比,利用图形的几何性质及面积比等于相似比的平方求解.6.(2014年陕西高考文科·T15)（文理共用）B.(几何证明选做题)如图,△ABC 中,BC ＝6,以BC 为直径的半圆分别交AB ,AC 于点E ,F ,若AC ＝2AE ,则EF ＝ .【解题指南】根据条件利用割线定理推得线段长度间关系,结合已知证得相似,从而得解.【试题解析】由已知利用割线定理得:AE ·AB ＝AF ·AC,又AC ＝2AE, 得AB ＝2AF,所以＝＝且∠A ＝∠A 得S △AEF ∽S △ACB 且相似比为1∶2,又BC ＝6,所以EF ＝3.答案:3三、解答题7.（2014·辽宁高考文科·Ｔ22）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ22）相同（2014·辽宁高考文科·Ｔ22）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED.【试题解析】（Ⅰ）证明：因为PG PD =，所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠，又由于EGA PGD ∠=∠，PDG PDA ∠=∠ 所以EGA DBA ∠=∠.所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠,由于AF EP ⊥,所以90PFA ∠=,于是90BDA ∠=，故AB 为圆的直径； （Ⅱ）证明：连接BC,DC.由于AB 为圆的直径，所以90BDA ACB ∠=∠=.在,Rt BDA Rt ACB 中，,AB BA AC BD ==,从而Rt BDA ≌Rt ACB .于是有DAB CBA ∠=∠;又因为DCB DAB ∠=∠,所以DCB CBA ∠=∠，故DC ∥AB .由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角，则ED 为直径，所以AB ＝ED.8. (2014年新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T22)(2014年新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与☉O 相交于点B ,C ,PC ＝2PA ,D 为PC 的中点,AD 的延长线交☉O 于点E.证明:(1)BE ＝EC. (2)AD ·DE ＝2PB 2.【解题提示】利用圆及三角形的平面几何性质求解.【试题解析】（1）连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA . 因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA , ∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB , ∠DCA ＝∠PAB ,所以∠DAC ＝∠BAD ,从而BE EC =.因此BE ＝EC . （2）由切割线定理得2PA ＝PB ·PC . 因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝22PB .。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－1 几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识1. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，求PC 和CD的长．解：由切割线定理得PC 2＝PB·PA＝12，∴ PC ＝23，连结OC ，则OC ＝12OP ，∴ ∠P ＝30°， ∴ CD ＝12PC ＝ 3.2. 如图，AC 为圆O 的直径，弦BD⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，求tan ∠ACD 的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP 2＝PC·PA＝16，BP ＝4.∵ ∠ACD＝∠ABP，∴ tan ∠ACD ＝tan ∠ABP ＝AP BP ＝84＝2.3. 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，求圆O 的面积． 解：(解法1)连结OA 、OB ，则∠AOB＝90°. ∵ AB ＝4，OA ＝OB ，∴ OA ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.(解法2)2R ＝4sin45°＝42R ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.4. 如图，点B 在圆O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，∠BNA ＝45°，若圆O 的半径为2 3，OA ＝3OM ，求MN 的长．解：∵ ∠BNA＝45°，∴ ∠BOA ＝90°.∵ OM ＝2，BO ＝23，∴ BM ＝4.∵ BM·MN＝CM·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，∴ MN ＝2.5. 如图，已知P 是圆O 外一点，PD 为圆O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝4 3，求圆O 的半径长和∠EFD 的大小．解：由切割线定理，得PD 2＝PE·PF PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4EF ＝8，OD ＝4.∵ OD⊥PD，OD ＝12PO ，∴ ∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∴∠PDE ＝∠EFD＝30°.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半． (2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． (3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径． 2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定① 切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． ③ 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．(2) 弦切角①弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1 探求角的关系例1如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.备选变式（教师专享）(2011·南通三模)如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O 上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.题型2 求线段长度例2 如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G.(1) 求证：△DEF∽△EFA； (2) 如果FG ＝1，求EF 的长．(1) 证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED. 又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED. 又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2) 解：由(1)得EF FA ＝FD EF ，即EF 2＝FA·FD.因为FG 是切线，所以FG 2＝FD·FA，所以EF＝FG ＝1.变式训练如图，圆O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连结AD 交圆O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F.(1) 判断BE 是否平分∠ABC，并说明理由； (2) 若AE ＝6，BE ＝8，求EF 的长． 解：(1) BE 平分∠ABC.∵ CD ＝AC ，∴ ∠D ＝∠CAD. ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.∵ ∠EBC ＝∠CAD，∴ ∠EBC ＝∠D＝∠CAD.∵ ∠ABC ＝∠ABE＋∠EBC ，∠ACB ＝∠D＋∠CAD， ∴ ∠ABE ＝∠EBC，即BE 平分∠ABC. (2) 由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE. ∵ ∠AFE ＝∠ABE，∴ △AEF ∽△BEA.∴ AE BE ＝EFAE .∵ AE ＝6，BE ＝8， ∴ EF ＝AE 2BE ＝368＝92.题型3 证明线段相等例3 如图，在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM. 证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，所以AC BC ＝AMBM .又已知AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM .①又BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM·BA＝BN·BC，即BA BC ＝BNBM .②由①②可知，2AM BM ＝BNBM ，所以BN ＝2AM.备选变式（教师专享）如图，圆O 的直径AB ＝25，C 是圆O 外一点，AC 交圆O 于点E ，BC 交圆O 于点D ，已知AC ＝AB ，BC ＝4，求△ADE 的周长．解：∵ AB 是圆O 的直径，∴ AD ⊥BC. 又AC ＝AB ，∴ AD 是△ABC 的中线． 又BC ＝4，∴ BD ＝DC ＝2，∴ AD ＝AB 2－BD 2＝4. 由CE·CA＝CD·CB，得CE ＝455. ∴ AE ＝25－455＝655. 由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE ＝DC ＝2. 则△ADE 的周长为6＋655.题型4 证明线段成比例例4 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F.求证：(1) E 是BC 的中点； (2) AD·AC＝AE·AF.证明：(1) 连结BD ，因为AB 为圆O 的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB 切圆O 于点B 且ED 切圆O 于点D ，因此EB ＝ED ，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE ＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED ＝EC ，因此EB ＝EC ，即E 是BC 的中点．(2) 连结BF ，显然BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有AB AF ＝AEAB ，即AB 2＝AE·AF，同理可得AB 2＝AD·AC， 所以AD·AC＝AE·AF. 备选变式（教师专享）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1) AD ＝AE ；(2) AD 2＝DB·EC. 证明：(1) ∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE ＝∠APD＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，所以∠EPC＝∠APD.又PA 是圆O 的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE＝∠PAD，∠CPE ＝∠APDÞ△PCE ∽△PAD ÞEC AD ＝PCPA.⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA＝PDB ，∠APE ＝∠BPD Þ△PAE ∽△PBD ÞAE DB ＝PA PB .又PA 是切线，PBC 是割线ÞPA 2＝PB·PC PA PB ＝PC PA .故EC AD ＝AEDB.又AD ＝AE ，所以AD 2＝DB·EC.1. (2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的值．解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以AB CD ＝BC DE ，又BC ＝CD ，所以BC 2＝AB·DE＝12，从而BC ＝2 3.2. (2013·重庆)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，求DE 的长．解：延长BA 交切线CD 于M.因为∠C＝90°，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC⊥CD，且OC∥BD. 因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE ＝60°， 即BE ＝OB ＝10且∠M＝30°. 所以OM ＝2OC ＝20，所以AM ＝10. 所以BD ＝12(AM ＋AB)＝10＋202＝15，即DE ＝BD －BE ＝15－10＝5.3. (2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC.求证：AC ＝2AD.证明：连结OD ，∵ AB 、BC 分别与圆O 相切于点D 、C ， ∴ ∠ADO ＝∠ACB＝90°. ∵ ∠A ＝∠A，∴ Rt △ADO ∽Rt △ACB. ∴ BC OD ＝AC AD. ∵ BC ＝2OC ＝2OD ，∴ AC ＝2AD.4. (2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D.(1) 证明：DB ＝DC ；(2) 设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1) 证明：连结DE ，交BC 与点G. 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE， ∵ ∠ABE ＝∠CBE，∴ ∠CBE ＝∠BCE，BE ＝CE. ∵ DB ⊥BE ，∴ DE 是直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC.(2) 解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE，BD ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线， ∴ BG ＝32. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG＝60°， ∠ABE ＝∠BCE＝∠CBE＝30°， ∴ CF ⊥BF ，∴ Rt △BCF 的外接圆半径等于32.1. 如图，圆O 与圆O′内切于点T ，点P 为外圆O 上任意一点，PM 与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ.设PT 交内圆于C ，连结OP ，O ′C ，则PM 2＝PC·PT，所以PM 2PT 2＝PC·PT PT 2＝PC PT. 由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO ′T ＝2∠PTQ， 则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′， 所以PC PT ＝OO′OT ＝R －r R ，即PM PT＝R －rR，为定值．2. 如图， 弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知PD ＝2DA ＝2, 求PE.解：∵ BC//PE ∴ ∠BCD＝∠PED .且在圆中∠BCD＝∠BAD ∠PED ＝∠BAD.△EPD ∽△APEPE PA ＝PD PEPE 2＝PA·PD＝3·2＝6.所以PE ＝ 6.3. 如图，正三角形ABC 外接圆的半径为1，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．解：设正三角形ABC 的边长为x ，由正弦定理，得xsin60°＝2，所以x ＝ 3.延长PN 交圆于Q ，则NA·NC＝NP·NQ.设NP ＝t ，则t·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.所以t ＝15－34，即NP ＝15－34.4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，圆O 是△BDE 的外接圆．(1) 求证：AC 是圆O 的切线；(2) 如果AD ＝6，AE ＝62，求BC 的长． (1) 证明：连OE ，∵BE ⊥DE ， ∴O 点为BD 的中点．∵OB ＝OE ，∴∠OEB ＝∠OBE.∵∠OEC ＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB ＋∠CBE＝90°，即OE⊥AC. 又E 是AC 与圆O 的公共点，∴AC 是圆O 的切线． (2) 解：∵AE 是圆的切线，∴∠AED ＝∠ABE. 又∠A 共用，∴△ADE ∽△AEB ， ∴AD AE ＝AE AB ，即662＝62AB，解得AB ＝12， ∴圆O 的半径为3.又∵OE∥BC，∴OE BC ＝AO AB ，即3BC ＝912，解得BC ＝4.几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等． 符号语言：∵ 在圆O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， ∴ PA ·PB ＝PC·PD.(图①) 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∴ CE2＝AE·BE.(图②)(2) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵ 在圆O中，PB、PE是割线，∴ PC·PB＝PD·PE.(图③)(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，PA是切线，PB是割线，∴ PA2＝PC·PB.(图③)请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.[备课札记]。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点55 不等式选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一．考纲目标含绝对值不等式的解法；有关不等式的证明；利用不等式的性质求最值．二．考点逐个突破1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a ＞0)⇔f(x)＞a 或f(x)＜－a ；(2)|f(x)|＜a(a ＞0)⇔－a ＜f(x)＜a ；(3)对形如|x －a|＋|x －b|≤c，|x －a|＋|x －b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab.当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．三．考点逐个突破1.含绝对值不等式的解法例1(1) 不等式 3|1||1|≥++-x x 的解集是 . 【答案】33(,][,)22-∞-+∞或⎭⎬⎫≥-≤2323|{x x x 或 【解析】2,1|1||1|2,112,1x x x x x x x -≤-⎧⎪-++=-<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤-时，由3|1||1|≥++-x x 得23x -≥，得32x ≤-；当1x ≥时，由3|1||1|≥++-x x 得23x ≥，解得32x ≥，所以不等式的解集为33(,][,)22-∞-+∞. (2) 不等式|21||1|2x x ++-<的解集为 【答案】2(,0)3- 【解析】当12x ≤-时，原不等式等价为(21)(1)2x x -+--<，即232,3x x -<>-，此时2132x -<≤-。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35 BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE∥BC，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长． 解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x ，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD∥EC，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．解：S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE ·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE ·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积． 解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定 ①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1 平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴ AD∥EF∥BC.∵ E是AB的中点，∴ F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴ EF是DC的垂直平分线，∴ ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E ，交边BC 于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM∥EN，∴ AD ∶AB ＝NM∶MB，NM ∶MC ＝AE∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC≌△DCB； (2) DE·DC＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC≌△BCD，∴ ∠ACB ＝∠DBC，∠ABC ＝∠DCB，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC， ∴ ∠EDA ＝∠DBC，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD. ∴ DE ∶BD ＝AE∶CD， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF⊥EC，且EF 交AB于F ，连结FC.设ABBC ＝k ，是否存在实数k ，使△AEF、△ECF、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF. 因为EF⊥EC，所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE. 而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF＝∠EAF＝90°， 所以△AEF∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF∽△BCF，由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC， 因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BF C ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF∽△DCE，可知AE AF ＝CDDE，因此，⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝13AB 2，所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB＝CD 3.证明：∵ ∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ，∴ AD 2＝AE·AC，BD 2＝BF·BC.∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD，∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD∥B C ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.证明：因为AC⊥BD，故△AED、△BEC 都是直角三角形． 又EF⊥AD，EG ⊥BC ，由射影定理可知AF·DF＝EF 2，BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG 2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在 ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，求BM －DN 的值． 解：∵ E、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形， ∴ M 为BC 的中点．连CF 交AD 于P ， 则P 为AD 的中点，由△BCF∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点， ∴ BM －DN ＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB∥CD.证明：由△ABC≌△BAD 得∠ACB＝∠BDA， 故A 、B 、C 、D 四点共圆， 从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD 得∠CAB＝∠DBA. 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，BD 交EF 于P ，已知EP∶PF＝1∶2，AD ＝7 cm ，求BC 的长．解：EF 是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴ PE AD ＝PE 7＝BE AB ＝12，PF BC ＝FD CD ＝12. ∵ PE ∶PF ＝1∶2, ∴ BC ＝2PF ＝14cm.4. 如图，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P 是线段AC 上一点，BP 交AO 于点D ，设三角形ADP 的面积为S ，点P 的坐标为(x ，y)，求S 关于x 的函数表达式．解：如图，作PE⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴ OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x ， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2. 解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在 ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF∽△CEB；(2) 若△DEF 的面积为2，求 ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C，AB ∥CD ，∴ ∠ABF ＝∠CEB， ∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n ， ∴ AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n . 又EG∥BC，FG ∥AD ，∴ AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n ， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a∶b＝c∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。