专题研究 数列的通项.ppt

【探究】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是 常数，且p不为0，那么这个数列是否一定是等差数列？若 是，其首项与公差分别是什么？
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d

故有an1＋1－a1n＝2.故数列a1n是首项为a11＝13，
公差为 2 的等差数列，所以a1n＝31＋2(n－1)＝6n3－5，
故 an＝6n3－5.
答案：6n3－5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
观察法
根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3,33,333,3 333，…；
试一试：
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 Sn＝n＋n 1，则a15＝ (
)
5
6
A.6 B.5
1 C.30
D．30
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益

a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
a 由此可知，等差数列 n 的通项公式为 当d≠0时，这是
an a1 (n 1)d
关于n的一个一 次函数。
10等差数列的图象1
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
2.2.1等差数列的概念 及通项公式
学习目标： 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问
题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
●
等差数列的图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
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●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象3
10 9 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差中项
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2 递减数列
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0 非零常数列

令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中 通过对条件和结论的充分剖析，有时会 联想出一些适当的辅助模型，以促成命 题的转换，产生新的解题方法。下面就 构造法求数列的通项公式的分类和解题 方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn

＝a1
＋(n－1)d，把 n＝1 代入也成立，故 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
思考题 1 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求 an.
【解析】 ∵a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝22，…，an－an－1＝2n－2(n≥2 且 n∈N*)，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋1＋2＋22＋…＋2n－2 ＝1＋1－1－2n2－1＝2n－1(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝2n－ 1(n∈N*)．
思考题 2 在数列{an} 中，已知 a1＝4，an＋1＝5nan，求 an.
【解析】 据题意有aan＋n 1＝5n⇒aan－n 1＝5n－1(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝4×51×52×…×5n－1
n（n－1）
＝4×51＋2＋3＋…＋(n－1)＝4×5
【讲评】 已知 an＋1＝an＋f(n)，通常利用累加法，求出通项 an. 探究 1 累加法就是利用以下变形来求通项 an 的方法：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3 －a2)＋…＋(an－an－1)． 例如，在等差数列{an}中，由于 a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d，所以对
n≥2 且 n∈N*，有 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．

求数列通项公式
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 数列通项公式的求解方法 • 常见数列通项公式的求解 • 数列通项公式的应用 • 总结与展望
01
数列通项公式的定义和重要性
数列通项公式的定义
定义
数列通项公式是表示数列中每一项的 数学表达式，通常用$a_n$表示第 $n$项。
描述
通项公式可以完整地描述数列的性质 和规律，通过它我们可以了解数列的 任意一项的值。
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
详细描述
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
03
常见数列通项公式的求解
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，它表示数列中每一项与首项的差是 一个常数。
详细描述
等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是数列中任意一项 与前一项的比值是一个常数。
VS
详细描述
等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项， $a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比，$n$ 表 示项数。
斐波那契数列的通项公式
通过数学归纳法证明数列的通项公式。
详细描述
数学归纳法是一种证明数列通项公式的有效方法。它通过两个步骤证明数列的通项公式：第一步是证明数列的 前几项满足公式；第二步是证明如ห้องสมุดไป่ตู้数列的前n项满足公式，那么数列的第n+1项也满足公式。如果能够证明这 两个步骤，那么就可以断定数列的通项公式成立。

内容索引
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.

(1)数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. (2)已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和， 且an＋a1n＝2Sn，求an.
解析： (1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，上式中a1＝20＝1. ∴n＝1时不符合an＝2n－1， ∴an＝52nn－＝ 1n1≥，2.
1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，对任意的 n∈N*，都有 Sn＝2－ an，数列{bn}满足 b1＝2a1，bn＝1＋bnb－n1－1(n列，并求{an}的通项公式； (2)判断数列b1n是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项 公式．
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 定义法 aan＋n1＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 式法 a2n＋1＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项 an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列 公式法 an＝cqn(c，q 均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前 n 项 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列 和公式 Sn＝kqn－k(k 为常数，且 q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等
1]，
即an－a1＝311－－33n－1－nn－2 1.
又∵a1＝1，∴an＝12×3n－nn－2 1－12.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝12×3n－nn－2 1－12.
(2)∵aan＋n 1＝2n， ∴aa21＝2，aa23＝22，aa43＝23，…，aan－n 1＝2n－1， 将上述各式相乘，可得 aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝2·22·23·…·2n－1， ∴an＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn－2 1.

再得出 的表达式
例五.2
在数列 中，1 = 1，+1 =

，求通项公式 ？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设 ，构造等比数列{ + }
具体步骤： 设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤： 两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1

思考：在数列中 {}与表示的意义一样吗？为什么？
{}：表示数列
：仅表示数列中的第项这一个数值
数列{}中的每一项与它的序号(下标)有下列的对应关系：
序号
1
项 a1
2
3
a2
a3
…
n
… an …
…
问题4：数列中各项 与各项序号 之间的对应关系是什么关系？
序号
1
2
3
…
思考：观察三个例题中的数列的项数有什么区别？
项数有限的数列称为有穷数列，如数列1、2；
项数无限的数列称为无穷数列，如数列3．
概念辨析
（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两
个数列是不是同一个数列？
（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
思考： 数列中的每一个数和集合中的元素有什么区别？
可否用一个公式表示?
如果数列{ }的第项 与之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
思考： 你能写出例3中

−


= −


、



、− 、 ...，数列的通项公式吗？



追问：数列的通项公式有什么作用？
追问：例1、例2中的两个数列也能写成通项公式的形式吗？
系列的形数.
他们发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角
形,如图(a),他们把这些数叫做三角形数;
当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,如图(b),
他们把这些数叫做正方形数;等等.
新知探究
实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：