第十讲学习和运用数形结合的思想解决数学问题

数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。

二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。

教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。

2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。

通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。

教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。

3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。

教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。

教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。

2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。

数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。

3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。

通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。

2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

小学数学数形结合思想的运用与教学探究作者：仲海泉来源：《启迪与智慧·上旬刊》2020年第12期【摘要】数形结合思想是数学学习中较为常见的一种思想方法，它有利于学生数学思维的拓展，促使其形成化抽象为具体的学习能力，而这些能力正是数学素养中不可或缺的。

对此，在实际的小学数学课堂上，教师需要积极革新课堂教学的理念和方法，将数形结合思想渗透到各个教学环节，以此培养学生“学”“用”数学的思想意识，推动学生全方位发展。

【关键词】小学数学;课堂教学;数形结合思想小学数学教材中包含了丰富多样的内容，其中涉及到不少抽象、繁杂的知识，对小学生来说，具有一定的学习难度。

加之部分教師依旧采取填鸭式、灌输式的方式实施教学，这就在某种程度上加大了学生的理解难度，不利于学生持续学习数学知识，也让数学课堂变得更加沉闷，阻碍了小学数学教学活动的顺利开展。

对此，教师就应当深刻认识到数形结合思想的优势，并且将其运用到课堂教学中，让学生更加高效地学习，在深化知识理解的基础上，掌握数形结合这一思想方法，为后续学习和成长发展奠定坚实基础，使教学收到事半功倍的效果。

一、利用数形结合思想，培养学生空间想象力数形结合思想能够将原本抽象的内容以更加直观的方式呈现出来，对此教师在课堂上，可以利用数形结合思想，培养学生的空间想象能力，让学生真正成为数学学习的主人，在学习过程中体会到数学学习的乐趣，从而更加喜欢数学这门课程，更加愿意参与到数学学习当中。

例如：在教学苏教版六年级上册第一单元的“长方体和正方体”这部分知识的时候，教师可以将自主权归还给学生，让学生进行实践操作，即长方体和正方体的制作。

这样一来，学生通过观察、操作、想象，对长方体和正方体的特征进行感知体验，在此基础上，教师再充分发挥数形结合思想的优势，以此带领学生展开更深层次的学习，从而强化学生的理解和记忆。

在上述过程中，学生通过长方体和正方体的制作，可以在大脑中形成初步的记忆，并且有一个大致的学习方向，这对于学生空间想象力的培养是极其有利的。

六年级上册数学教案第8单元运用数形结合解决问题人教版教学内容本节课主要引导学生运用数形结合的思想解决实际问题。

学生将通过观察和分析，理解数学问题的数量关系，并利用图形的直观性来辅助问题的解决。

内容将包括对线性方程、不等式以及比例问题的图形表示，以及如何通过图形来推导和验证数学结论。

教学目标1. 知识与技能：使学生掌握利用图形解决问题的基本方法，包括画图、标注、分析等，并能将图形与数学表达式相互转换。

2. 过程与方法：培养学生运用数形结合解决问题的思维习惯，提高解决问题的效率与准确性。

3. 情感态度与价值观：增强学生对数学学科的兴趣，培养其探究精神和创新意识。

教学难点1. 数量关系与图形的对应：学生需要理解并掌握如何将抽象的数量关系具体化为图形，并从图形中提取数学信息。

2. 图形的准确绘制与解读：学生应能准确绘制各种数学图形，并能从图形中读取相应的数学信息，进行逻辑推理。

教具学具准备1. 教具：黑板、粉笔、直尺、圆规。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、彩笔。

教学过程1. 导入：通过复习已学的数学问题，引入数形结合解决问题的概念，激发学生的兴趣。

2. 新授：讲解数形结合的基本方法，通过实例演示如何将数学问题转化为图形问题，并指导学生进行实践操作。

3. 练习：让学生独立完成一些基础的数形结合问题，教师进行巡回指导，解答学生的疑问。

4. 巩固：通过小组讨论和全班分享，让学生互相学习，加深对数形结合方法的理解和应用。

板书设计板书将清晰地展示数形结合的步骤和关键点，包括图形的绘制方法、数学信息的标注以及从图形中提取数学结论的技巧。

作业设计设计一些与生活实际相关的数形结合问题，让学生在课后独立完成，以巩固课堂所学知识。

课后反思课后，教师应反思教学过程中学生的参与度、理解程度以及教学目标的达成情况，以便对教学方法进行适当调整，提高教学质量。

通过本节课的学习，学生将能够更好地理解数学问题，并学会运用数形结合的方法来解决问题，这将极大地提高他们解决复杂数学问题的能力。

运用数形结合思想方法提高小学数学高年级学生解决问题能力的策略研究摘要：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

培养学生的“解决问题”能力是新课程标准的一个基本要求，也是小学数学新课改的一个重要方向。

关键词：小学数学解决问题能力数形结合2011年人教版小学数学教材里不再设研究数量关系等应用题专题教学，而是将其结合进各个具体情境之中，称之为解决问题。

在解决问题教学环节中运用直观图、线段图等形象化的图形帮助学生理解藏于具体情境中的抽象化数量关系，强化数形对应，辅助学生建构能运用数量关系的数学模型，从多元的数学信息中提取解答问题的有用信息，提高学生解决问题的能力。

一、用“数形结合”化抽象为直观，从容解决问题如“鸡兔同笼”一课，研究发现大部分教学以假设法为主，或假设全是鸡，或假设全是兔，然后引导学生直接套用公式解决问题，结果除了一部分优生外，其余学生听得一头雾水。

我们课题组成员施明算老师在执教这一课时，就充分运用“数形结合”来帮助学生解决这类问题。

问题“已知鸡和兔一共有10只，一共有32条腿，求鸡兔各有几只？”出示后，如果用算术方法来解决这个问题，部分学生不能理解，然而借助画图的方法，用圆表示10只动物。

假设全是鸡，则每只鸡有两条腿，把腿画出，只有20条腿，但还有32-20=12条腿没画。

如果每只再添2条腿，这样还得添12÷2=6只，得出兔子有6只，鸡有4只。

在类似的教学中，可以让学生画图等“直观”形式。

通过借助直观图这种“数形结合”的方式来使得看似抽象的问题直观化，符合小学生具体思维为主向抽象思维过渡的思维特点，从而让解决问题变得轻松自如，且保护了学生的学习信心，激发了学习兴趣。

二、用“数形结合”化繁杂为简单，理清数量关系数量关系是数学所特有的研究对象，新课程标准明确提出“要从具体情境中抽象出数量关系”。

以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。

数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。

数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。

它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

【关键词】数形结合思想；数学解题；应用一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。

总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。

如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。

教材中的主要体现教材体系梗概以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。

因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。

例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。

在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。

数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。

一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。

当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。

这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。

二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。

通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。

通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。

图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。

三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。

在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。

通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。

图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。

四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。

数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。

在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。

这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。

数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。

通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。

数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。

数形结合思想在小学数学教学中的应用研究一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当前的中小学数学教学中，学生学习兴趣不足的问题普遍存在。

一方面，由于数学学科本身的抽象性和严谨性，使得学生在学习过程中容易产生枯燥乏味的感受；另一方面，教师在教学过程中过于注重知识的传授，忽视了激发学生的学习兴趣，导致学生缺乏主动学习的动力。

（1）教学方式单一。

许多教师在教学过程中，往往采用“填鸭式”教学，将知识直接传授给学生，忽视了学生的主体地位和个体差异，使得学生感到数学学习枯燥无味。

（2）教学评价体系不完善。

过分关注学生的考试成绩，使得学生在学习过程中过分追求分数，而忽略了数学知识的内在联系和实际应用，从而影响了学生的学习兴趣。

2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于注重学生的结果记忆，而忽视了学生的思维发展。

这种现象表现在以下几个方面：（1）教学内容过于注重公式、定理的背诵和套用，而忽略了这些公式、定理背后的推导过程和数学思想。

（2）课堂教学中，教师往往直接给出解题步骤，让学生模仿和重复，而缺乏对学生思维的启发和引导。

（3）课后作业和考试中，题目设置过于单一，侧重于考查学生的计算能力和解题技巧，而忽略了学生的创新思维和解决问题的能力。

3、对概念的理解不够深入在数学教学中，对概念的理解不够深入是另一个常见问题。

这主要表现在以下几个方面：（1）教师对概念的教学重视程度不够，往往一带而过，没有让学生充分理解和内化。

（2）学生对概念的掌握停留在表面，不能准确把握概念的内涵和外延，导致在解决实际问题时出现错误。

（3）教师在教学过程中缺乏对概念之间的联系和区别的讲解，使得学生对数学知识体系缺乏整体把握。

二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了解决教学中存在的问题，教师需要从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。

这意味着教师应关注学生数学学科能力的全面发展，而不仅仅是知识的传授。

第十讲 不等式（组）考点概述：中考对于不等式的要求主要包括不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法和应用。

其中一元一次不等式（组）及其解法是中考的考查热点之一，近年的中考还注重考查学生运用一元一次不等式（组）的知识分析和解决问题的能力。

中考课标要求考点精析考点1 不等式（1）不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

（2）不等式的解、解集能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

不等式的解集包括不等式的每一个解。

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。

与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形为a x >或a x <的形式。

（4）不等式的“解”和“解集”的区别与联系①不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立；②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合；不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解；③不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值，解集中包含了每一个解。

（5）不等式解集的表示方法①用不等式表示不等式的解集，常见的形式有以下四种：a x >，a x ≥，a x <，a x ≤。

②用数轴表示不等式的解集，主要注意“两定”，即：一定“边界点”；二定“方向”。

若含边界点，解集为实心点；若不含边界点，解集为空心圆圈。

对于方向，相对于边界点而言，大于向右，小于向左。

用数轴表示不等式的解集，通常分三个步骤进行：ⅰ）画数轴；ⅱ）定边界点；ⅲ）定方向。

（6）不等式的性质①不等式的性质1：不等号的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

即：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<±。