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圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
《圆的参数方程》教案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．教学内容分析教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。
本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标（一）知识技能目标.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心原点,半径为r的圆的参数方程..明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程..能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标.引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤..通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维.．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．教学重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教学辅助工具几何画板.五.教学方法讨论、探究、讲练结合六.教学过程教学环节情境设计和学习任务师生活动设计意图创设情境回忆曲线的参数方程的定义及如何求曲线的参数方程。
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
课题：圆的标准方程编制人：钟政鑫 主审人：岳旻一、 新课引入问题一：什么是曲线的方程，什么是方程的曲线？问题二：圆的定义是什么？我们如何建立直角坐标系研究？怎么建系会让结果看起来更简单？问题三：如果一步一步求出圆的方程呢？问题四：已知定点、定圆，如何判断二者的位置关系呢？二、概念建构知识点一 圆的标准方程1.方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程.2.以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.知识点二 点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法三、例题选讲例1. 求圆的标准方程（1）求圆心C(2,-3),且经过坐标原点的圆的方程。
答案：书P108（2）求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程. 解 方法一 (待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.反思感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤变式：(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________. (2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 (1)设圆心C 的坐标为(a,0)(a ＞0)， 由题意知|2a |5＝455，解得a ＝2， 则圆C 的半径为r ＝CM ＝22＋(－5)2＝3.∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，且圆与y 轴相切，∴圆的半径为5，∴圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.例2. 点与圆位置关系的判定已知两点M (3,8)和N (5,2)，圆C 以MN 为直径.(1)求圆C 的方程；(2)试判断P 1(2,8)，P 2(3,2)，P 3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解 (1)方法一 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，则由C 为MN 的中点，得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5， 由两点间的距离公式，得r ＝CM ＝(4－3)2＋(5－8)2＝10.∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.方法二 ∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M ，N 外任意一点P (x ，y )，有PM ⊥PN ，即k PM ·k PN ＝－1，∴y －8x －3·y －2x －5＝－1(x ≠3且x ≠5)， 化简得x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，即(x －4)2＋(y －5)2＝10.又∵M (3,8)，N (5,2)的坐标满足方程，∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.(2)分别计算点到圆心的距离：CP 1＝(4－2)2＋(5－8)2＝13>10，CP 2＝(4－3)2＋(5－2)2＝10，CP 3＝(4－6)2＋(5－7)2＝8<10，因此，点P 2在圆上，点P 1在圆外，点P 3在圆内.反思感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.②把点的坐标代入圆的标准方程，并比较式子两边的大小，作出判断.(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.变式：已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围为______________. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意知，(1－a )2＋(1＋a )2>4，即2a 2－2>0，所以a <－1或a >1.四、当堂检测1.圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，－3)D.(－1，－3)答案 C解析由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－3).2.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外答案 C解析∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，∴点P(3,2)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的内部.3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________________.答案 (x ＋2)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |＝2，即a ＝－2，∴(x ＋2)2＋y 2＝4.5.求下列圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A (5,6)，C (3，－4)；(2)过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆.解 (1)由题意知，AC 为直径，则AC 的中点为圆心，∴圆心坐标为(4,1)，半径为r ＝AC 2＝(5－3)2＋(6＋4)22＝1042＝26， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝26.(2)由几何知识知，CD 的垂直平分线经过圆心，由k CD ＝3－11－(－1)＝1，CD 的中点坐标为(0,2)， 得CD 的垂直平分线方程为y ＝－x ＋2.则圆心坐标为(2,0)，r ＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.五、课堂总结1.求圆的标准方程常用的方法(1)待定系数法.(2)直接法.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.六、课后作业1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A.(－1,2)，2B.(1，－2)，2C.(－1,2)，4D.(1，－2)，4答案 A2.以下各点不在圆(x－4)2＋y2＝4内的是()A.(0,2)B.(2,0)C.(3,1)D.(1,3)答案ABD解析根据题意，依次分析选项：对于(0,2)，有(0－4)2＋22＝20>4，点在圆外，符合题意；对于(2,0)，有(2－4)2＋02＝4，点在圆上，符合题意；对于(3,1)，有(3－4)2＋12＝2<4，点在圆内，不符合题意；对于(1,3)，有(1－4)2＋32＝18>4，点在圆外，符合题意.3.方程(x－1)x2＋y2－3＝0所表示的曲线是()A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆答案 D解析(x－1)x2＋y2－3＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，∴方程(x－1)x2＋y2－3＝0表示一条直线和一个圆.4.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B，D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确.5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 B解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.6.圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则该圆的标准方程为____________.答案(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析由题意知圆心的横坐标为2，又圆心应在弦AB的垂直平分线上，故圆心的纵坐标为－3，即圆心为(2，－3)，由两点间距离公式可求得半径为(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.7.圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的标准方程为________________________. 答案(x＋2)2＋y2＝25解析设圆心为(a,0)，则(a－1)2＋16＝(a－2)2＋9，所以a＝－2.半径r＝(a－1)2＋16＝5，故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.8.若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是__________.答案[－1,1]解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.9.若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为____________________________.答案 (x ＋5)2＋y 2＝5解析 设圆心坐标为(a,0)， 由题意知|a |5＝5，∴|a |＝5. ∵圆C 位于y 轴左侧，∴a ＝－5，∴圆C 的标准方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.10.若直线y ＝ax ＋b 通过第象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第四象限答案 一、二、四解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限.11. 求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的标准方程.解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵圆与坐标轴相切，故圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0.又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1).∴半径r ＝4或r ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.12.类比直线的截距，如果我们把圆与x 轴交点的横坐标称为圆在x 轴上的截距，与y 轴交点的纵坐标称为圆在y 轴上的截距，那么请求出过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴、y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程.解 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2， 消去r 2，得b ＝5a －5.①令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2，∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2，∴在x 轴上的截距之和是2a .∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.②将①代入②，得a ＝76，∴b ＝56. ∴r 2＝⎝⎛⎭⎫－1－762＋⎝⎛⎭⎫3－562＝16918. ∴圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －762＋⎝⎛⎭⎫y －562＝16918. 13.已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析 y ＝9－x 2表示x 2＋y 2＝9的上半圆，t 可以看作半圆上的点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32， ∴t ≤－32或t ≥34. 14.已知动圆C 经过点A (2，－3)和点B (－2，－5).(1)当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程；(2)当圆C 的圆心在直线3x ＋y ＋5＝0上时，求圆C 的标准方程.解 (1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，此时圆心C (0，－4)，半径r ＝12AB ＝ 5. 所以所求圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)方法一 因为k AB ＝12，AB 的中点坐标为(0，－4)， 所以AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，3x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以圆心C 为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，所以所求圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法二 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，3a ＋b ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，所以所求圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.七、课后反思。
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
圆的方程竞赛讲义：1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，的圆（二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。
4.()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（答：22(1)1x y ++=）；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；（3）已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：224x y +＝；23π；40x +=）；（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__（答：[0，2]）；（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：21<k ）； （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________（答：(－）5．点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 10.3圆的方程考纲定位 掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地对圆的方程的两种形式进行相互转化；明确确定一个圆需要三个独立条件；能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径.【考点整合】一、圆的方程1、定义： ；2、标准方程：以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为： ；3、圆的一般方程： .二、点与圆的位置关系1、点00(,)P x y 与圆22200()()x x y y r -+-=的位置关系：（1）点P 在圆内⇔ ；（2）点P 在圆上⇔ ；（3）点P 在圆外⇔ .2、点00(,)P x y 与圆22220,(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->的位置关系：（1）点P 在圆内⇔ ；（2）点P 在圆上⇔ ；（3）点P 在圆外⇔ .【典型例题】一、圆的方程及求法：例1、完成下列问题：（1）已知圆心(-2,1)，半径为2r =，则圆的方程为 .（2）已知圆C 的半径为2，且圆心是直线12:10,:2210l x y l x y -+=--=与直线的交点，则该圆C 的方程为 .（3）已知圆的方程为222430x y x y +-++=，则圆心为 ，半径为 .（4）已知圆的方程为225630x y x y +-++=，则圆心为 ，半径为 .例2、（1）求与圆22:4O x y +=外切于点(1,3)P -，且半径为4的圆C 的方程；（2）已知圆过点A(2,-3)，B(-2,-5)两点，若圆心在直线:230l x y --=上，求圆的方程；（3）圆22:(2)5O x y ++=关于原点对称的圆的方程.二、与圆有关的轨迹问题例3、已知定点A(2,0)，圆221x y +=上有一个动点Q ，若线段AQ 的中点为P ，求动点P 的轨迹.【高考真题】1、（2011 四川）圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ）A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)2、（2004 重庆）圆2224+30x y x y +-+=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A.2B.22C.1D.23、（2011 辽宁）已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 .4、（2010 山东）已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1l y x =-被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为 .【课后反思】。
圆的方程一．学科特色：建立数形的思想，充分利用也有的代数的知识解决几何问题二．回顾测评：1.直线与圆，圆与圆的位置关系的判定（1）数量关系（2）位置关系2 圆的标准方程和圆的一般方程三．内容呈现：1.教学重点：1掌握圆的标准方程和一般方程2了解参数方程的概念理解圆的参数方程3掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;5灵活运用圆的几何性质解决问题2.教学难点：1掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;2灵活运用圆的几何性质解决问题3. 教学内容：(1) 课内知识：高考要求 1掌握圆的标准方程和一般方程 2了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 3掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题; 4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题; 5灵活运用圆的几何性质解决问题 知识点归纳1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆 3圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得（x +2D ）2+（y +2E）24422F E D -+把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，叫做圆的一般方程 （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项 （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ）； 当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程是：cos ()sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩是参数②圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程5二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF =0， 仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞06 线段AB 为直径的圆的方程： 若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x7经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ9确定圆需三个独立的条件 （1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D,)2,2(圆心----E D 2422F E D r -+= 题型讲解例1 (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程解：(1)设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2020202000)2()3()2()5(032y x y x y x , 解得 x 0=4, y 0=5,∴半径r=10,∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10 (2)采用一般式,设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式 例2 设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(y c x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0当a =1时，方程化为x =0当a ≠1时，方程化为22221()1a x c y a +-+- =222()1ac a - 所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆 点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想例3 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有2+2=9b 2， 解得b =±1故所求圆方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数例4 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程 点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”例5 已知y 轴右侧一动圆1C 与一定圆4)2(:222=+-y x C 外切，也与y 轴相切（1）求动圆1C 圆心M 的轨迹C ；（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，求一点)0,(0x E ，使得AEB ∆ 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形解（1）由题意知动点M 到定点（2,0）与到定直线2-=x 的距离相等，则动点M 的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线2-=x 为准线的抛物线所以点M 的轨迹方程为.82x y =又点M 在原点时，圆并不存在，所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点（2）设直线22:2,8,8160l x my y x y my =-=-+=代入得 ①).(11,064642*-<>>-=∆m m m 或解之得设112212(,),(,),,A x y B x y y y 则是方程①的两个实数根，由韦达定理得16,82121==+y y m y y ，所以，线段AB 的中点坐标为),4,24(2m m F - 而,1184)(1||22212212-⋅+=-+⋅+=m m y y y y m ABx 轴上存在一点E ，使△AEB 为以点E 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB EF ⊥，且AB EF =直线EF 的方程为：)24(42+--=-m x m m y 令0=y 得E 点坐标为)0,24(2+m ，则14||2+=m EF所以 .1182114222-⋅+⋅=+m m m解之得2±=m ，则E 点坐标为（10,0） 例6 已知圆C 的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C 1:x 2+y 2─4x─3=0和C 2:x 2+y 2─4y─3=0的交点,(1)求圆C 的方程; (2)求两圆C 1和C 2相交弦的方程 解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2+y 2─4x─3+λ(x 2+y 2─4y─3)=0,即 (1+λ)(x 2+y 2)─4x─4λy─3λ─3=0,即 3141422-+-+-+λλλy x y x =0, 圆心为 (λ+12,λλ+12), 由于圆心在直线x─y─4=0上,∴λ+12─λλ+12─4=0, 解得 λ=─1/3 所求圆的方程为：x 2+y 2─6x+2y─3=0(2)将圆C 1和圆C 2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程 点评：学会利用圆系的方程解题例7 求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎨⎧=+-++=++014204222y x y x y x 得交点A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0,化简整理得 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5 解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为x 2+y 2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0,即 (x+λ+1)2+(y+24-λ)2=44452+-λλ 要使圆面积最小，必须半径最小，由于r=44452+-λλ=516)58(52+-λ≥51621=552, 当且仅当λ=8/5时，r 最小故所求圆的方程是 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5例8 求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程解：圆方程可化为()()22261x y ++-=, 圆心O(-2,6),半径为1 设对称圆圆心为'(,)O a b ，则O ‘与O 关于直线3450x y --=对称，因此有2634502263124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得325265a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求圆的方程为223226155x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 例9 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-， 此时圆心的轨迹方程为2314x m y m =+⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,1)7m ∈-得x=m+320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ 所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛∈⎝ 例10 已知圆x 2+y 2=16,A （2，0），若P ,Q 是圆上的动点，且AP AQ ⊥，求PQ 中点的轨迹方程解：设PQ 中点M 的坐标为（x,y ），由已知圆的参数方程， 可设()114cos ,4sin P θθ，()224cos ,4sin Q θθ，12122cos 2cos 2sin 2sin x y θθθθ=+⎧∴⎨=+⎩()221212448cos cos sin sin x y θθθθ∴+=+++---------------（1） 又AP AQ ⊥，1PA AQ K K ∴=-，12124sin 4sin 14cos 24cos 2θθθθ∴⋅=---，化简得()()1212124sin sin cos cos 2cos cos 11x θθθθθθ+=+-=- 代入（1）式，得 2282(1)x y x +=+-， 所以所求轨迹方程为22260x y x +--=四 小结：1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值2求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程3解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题五．练习1方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A －1<t <71B －1<t <21C －71<t <1 D 1<t <2解：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1答案：C2点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A ｜a ｜＜1B a ＜131 C ｜a ｜＜51 D ｜a ｜＜131 解：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a 131答案：D3已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A 当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B 当a =r 时，圆与y 轴相切C 当b =r 时，圆与x 轴相切D 当b <r 时，圆与x 轴相交解：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的故选D答案：D4．圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（ ）A (2,-1),B (2,-1), 5C (-2,1),D (-2,1), 5答案: A5．点（1，1）在圆22()()4x a y a-++=的内部，则a的取值范围是（）A 11a-<<, B 01a<<, C 1a<-或1a> D 1a=±答案: A6．已知直线ax+by+c=0 (0abc≠)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为,,a b c的三角形（）A 是锐角三角形B 是直角三角形C 是钝角三角形D 不存在答案: B7．2x与y2的系数相同,且不等于零,并且没有xy这样的项是二元二次方程表示圆的（）A 必要条件B充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件答案: A8．方程220x y x y m+-++=表示一个圆，则m的取值范围是（）A 2m≤ B 2m< C12m< D12m≤答案: C9．已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．224680x y x y+-++=B224680x y x y+-+-=C 22460x y x y +--=D 22460x y x y +-+=答案: D10．圆2230x y Dx Ey +++-=的圆心在x 轴上，半径r=2， 且D>E ，则D=（ ） A 1± B 2± C 1 D 2 答案: D11．M （3，0）是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-= 答案: B12．过点C(-1，1)和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程是______答案: （x-2）2+y 2=1013方程1x -=___________答案：两个半圆14．已知圆C 的圆心在直线1:10l x y --=上，与直线2:43140l x y ++=相切，且截直线3:34100l x y ++=所得弦长为6，则圆C 的方程：_____（答案：()()222125x y -+-=）15．过点A （1，2）和B （1，10）且和直线210x y --=相切的圆方程为_________答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016．圆()()22339x y -+-= 上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有_____个答案: 217．已知BC 是圆2225x y +=的弦，且6BC =，则BC 的中点的轨迹方程是____________答案: x 2+y 2=1618圆2241230x y x y q ++-+=关于点（1，1）的对称圆方程是______答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q19圆220x y px qy ++-=关于y 轴对称的圆的方程是_____答案: 220x y px qy +--=20将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a的坐标为____解：由向量平移公式即得a=（－1，2）答案：（－1，2）21已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________解：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0答案：x 2+y 2－x －2y －2=022．已知直线24y x =+与x 轴和y 轴分别交于A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的方程答案: （x+1）2+（y-2）2=523 直线y=k （x-3）+4与曲线1y =k 的取值范围解：直线y=k （x-3）+4过定点P （3，4），曲线1y =+化为x 2+（y-1）2=4(1)y ≥,因为A （2,1）,B （-2,1）所以可得33,5PA PB k k ==，又设l PC: y-4=k （x-3）即kx-y+4-3k=0,2=得k =k =（舍） 综上所述，所求实数k 的取值范围是：k =335k <≤24方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程解：原方程可化为22222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦ 2220,aa -+>∴当a 0≠时，原方程表示圆又r ===≥当min 2,a r ==()()22112x y -++=。
