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更上一层楼基础•巩固1cos345°的值等于( ) A.462- B.426- C.462+ D.462+- 思路分析:cos345°=cos(-15°+360°)=cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=42621222322+=⨯+⨯. 答案:C2.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为( )A.0B.21C.23 D.21- 思路分析:原式=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)= cos60°=21. 答案:B3.已知cosα=135,α∈(23π,2π),则cos(α-4π)的值等于( ) A.2625 B.1322- C.2627- D.1323 思路分析:∵cosα=135,α∈(23π,2π),∴sinα=1312)135(1cos 122=--=--α. ∴cos(α-4π)=cosαcos 4π+sinαsin 4π=262722)1312(22135-=⨯-+⨯. 答案:C 4.已知cosα=53，cos(α+β)=135-，α∈(0,2π),α+β∈(0,π),则cosβ的值是( ) A.6563- B.6533- C.6533 D.6563 思路分析:∵cosα=53,α∈(0,2π), ∴sinα=54. 又∵cos(α+β)=135-,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1312)135(1)(cos 122=--=+-βα. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα653354131253)135(=⨯=⨯-=. 答案:C5.已知sin(6π+α)=41，则cosα+3sinα的值为( ) A.41- B.21 C.2 D.-1 思路分析:cosα+3si nα=2(21cosα+23sinα)=2cos(3π-α)=2sin ［2π-(3π-α)］ =2sin(6π+α)=21412=⨯. 答案:B综合•应用6.y=sinα-cos(6π-α)的最大值为__________. 思路分析:y=sinα-cos(6π-α)=sinα-cos 6πcosα+sin 6πsinα )32cos(3)cos 21sin 23(3cos 23sin 23πααααα+=-=-=. 所以函数的最大值是3.答案:37.已知sinα=1715，cosβ=135-，且α、β都是第二象限角，求cos(α-β)的值. 解：由sinα=1715，α为第二象限角，∴cosα=178)1715(1sin 122-=--=--α. 又由cosβ=-135，β为第二象限角， ∴sinβ=1312)135(1cos 122=-=-β. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22122013121715)135()178(=⨯+-⨯-. 回顾•展望8.已知co sα=71，cos(α+β)=1411-，且α、β∈(0，2π)，求cosβ的值. 解：由cosα=71，α∈(0，2π)，∴sinα=734)71(1cos 122=-=-α.又cos(α+β)=1411-，0＜α+β＜π， ∴sin(α+β)=1435)1411(1)(cos 122=--=+-βα. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=219849981160143571)1411(==-⨯+⨯-9.(2006天津统考) ︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2 思路分析:这道题里出现的10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°这个特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°继而就可以用两角差的公式化简. 解：︒︒-︒-︒=︒︒-︒20cos 20sin )2030cos(220cos 20sin 10cos 2 320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒-︒+︒= 10.(2006陕西高考) cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________.思路分析:cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°sin77°=cos120°=21-. 答案:21-。
数学必修4 测试题7(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)A 组一、选择题:共6小题1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+oooo等于( )A.12-12D.4、(中)0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.25、(中)1sin10sin 80-o o的值是( )A.1B.2C.4D.146、(中)sin1212ππ的值是( )B. C.2 D.-12二、填空题:共3小题 7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 三、解答题:共2小题10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦.11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.B 组一、选择题:共6小题1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+oooo=( )A.12 B.12- C.2- D. 22、(中)tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-o o o o( )A. C.3-D.33、(中)2cos10sin 20cos 20-o oo的值是 ( )124、(中)已知11tan(),tan 34αββ+==则tan α的值为( ) A.112 B.113 C.713 D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则=βαtan tan ( )A.14019 B.14019- C.4019 D.4019-6、(难)已知A.B 均为钝角,sin 5A =,sin 10B =,则A+B 的值为( ) A.74π B.54π C.34π D.4π二、填空题:共3小题 7、(中)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_______8、(中)函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 .9、(中)若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. . 三、解答题:共2小题10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.C 组解答题:共2小题1、(难)已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos 5πsinb a b a -+=tan 15π8,求a b . 2、(较难)已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值; (2)若,,[0,3αβγ4π∈],求sin()αβγ++的值.参考答案 A 组1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17-2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-=3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+-ooooocos 40cos70sin 40sin 70=+o o o o=cos(4070)cos(30)-=-=o o o4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式=cos10sin10cos10o o o o =()2sin 301041sin 202-=o oo6.B 原式=12sin 21212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭10=8.23由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α=∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦=()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β 11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54.又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312,∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］=－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］=－［54×(－1312)－53×135］=6563.B 组1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==ooo2.B 原式=tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--o o o o o o o3.A 2cos10sin 20cos 20-o o o =2cos 3020sin 20cos 20--o o oo（）=20sin 20sin 20cos 20+-o o o o4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=1135.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(= 又724A B A B ππ<+<π∴+=Q 7.－33把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.22t -≤≤ 令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22=［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22=［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22=(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10°=22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6. 11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m mαβ-=·, 24tan()3m αβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞,2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·. Q 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增,故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭U ，，∞.C 组1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出a b ,用15π8、5π的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+,则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理,有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 2.解:(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-.(2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-,∵,,[0,3αβγ4π∈],由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥,则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤,又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！ ∴0γ=,有3β2π=,3α4π=,∴sin()sin 2αβγ++=π=0.。
3.1.1 两角差的余弦公式1.cos(-40°)cos 20°-sin(-40°)sin(-20°)等于()A.-B.-C.D.解析:cos(-40°)cos 20°-sin(-40°)sin(-20°)=cos(-40°)cos 20°+sin(-40°)sin 20°=cos(-40°-20°)=cos(-60°)=cos 60°=.答案:C2.计算的值是()A. B.- C. D.-解析:原式==.答案:C3.若a=(cos 60°,sin 60°),b=(cos 15°,sin 15°),则a·b=()A. B. C. D.-解析:a·b=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.答案:A4.若sin α=,α∈,则2cos 的值为()A.-B.-C.-D.-解析:∵sin α=,α∈,∴cos α=-=-,∴2cos =2=-2×+2×=-.故选A.答案:A5.若sin (π+θ)=-,θ是第二象限角,sin =-,φ是第三象限角,则cos (θ-φ)的值是()A.-B.C.D.解析:由sin (π+θ)=-,得sin θ=,又由sin =-,得cos φ=-.∵θ是第二象限角,φ是第三象限角,∴cos θ=-,sin φ=-,∴cos (θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=.答案:B6.若cos (α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为()A. B. C. D.解析:∵α,β∈,且α<β,∴-<α-β<0,sin (α-β)=-=-.又∵α∈,∴2α∈(0,π),sin 2α=.∴cos (α+β)=cos [2α-(α-β)]=cos 2αcos (α-β)+sin 2αsin (α-β)==-.又α+β∈(0,π),∴α+β=.答案:C7.已知cos=cos α,则tan α=.解析:∵cos=cos αcos+sin αsin=cos α+sin α=cos α,∴sin α=cos α.∴,即tan α=.答案:8.若cos αcos β-sin αsin β=,cos (α-β)=,则tan α·tan β=. 解析:cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, ①又cos αcos β-sin αsin β=, ②①+②,得cos αcos β=, ③①-②,得sin αsin β=, ④,得tan αtan β=.答案:9.导学号08720082已知cos(α+30°)=,30°<α<90°,则cos α=.解析:∵30°<α<90°,∴60°<α+30°<120°.又cos(α+30°)=,∴sin(α+30°)=.∴cos α=cos [(α+30°)-30°]=cos(α+30°)cos 30°+sin(α+30°)sin 30°=.答案:10.已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值.解:∵α∈,tan α=4,∴sin α=4cos α,①sin2α+cos2α=1.②由①②得sin α=,cos α=.∵α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=.∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.∴cos β=.11.若x∈,且sin x=,求2cos +2cos x的值.解:∵x∈,sin x=,∴cos x=-,∴2cos +2cos x=2+2cos x=2+2cos x=sin x+cos x=.12.导学号08720083已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin,求cos的值.解:∵α,β∈,∴α+β∈,β-.又∵sin(α+β)=-,sin,∴cos(α+β)=.cos=-=-.∴cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin==-.。
高中数学 3.13.1.1两角差的余弦公式检测试题 新人教A 版必修43.1.1 两角差的余弦公式基础提升1．cos 27°cos 57°－si n 27°cos 147°等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos ()180°－33° ＝cos 27°cos 57°＋sin 27°cos 33° ＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57° ＝cos ()57°－27°＝cos 30°＝32.故选A. 答案：A2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ()α＋β＋sin αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－()α＋β等于( )A ．cos βB ．cos αC ．sin βD ．sin α解析：原式＝cos αcos ()α＋β＋sin αsin ()α＋β ＝cos []α－()α＋β＝cos ()－β＝cos β.故选A. 答案：A3.3cos π12＋sin π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C.6＋22D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12＋12sin π12＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12＋sin π6sin π12 ＝2cosπ12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3cos π4＋sin π3sin π4 ＝2×2＋64＝6＋22.故选C. 答案：C4．若α，β都是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝－13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－45，则cos ()α－β的值是( )A.82－315B.82＋315C.－82－315D.－82＋315解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝－s in β＝－13，∴sin β＝13，又α，β都是锐角，∴cos β＝223.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－45， ∴cos α＝45.又α，β都是锐角，∴sin α＝35，∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×223＋35×13 ＝82＋315.故选B. 答案：B5．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝15，cos β＝110，则α－β等于( ) A ．－π4 B.3π4 C.π4 D ．－π4或π4解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝15，cos β＝110，∴cos α＝25，sin β＝310.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝ 25×110＋15×310＝22.又sin α<sin β， ∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.故选A.答案：A巩固提高 6．若cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867解析：∵β＝()α＋β－α， 又cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751，α，β都是锐角，∴α＋β是钝角，∴sin α＝12217，sin ()α＋β＝14251.∵cos β＝cos []()α＋β－α＝cos ()α＋βcos α＋sin ()α＋βsin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝13.答案：B7．已知cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45，则cos ()α－β的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.32解析：∵cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45，∴925＝cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β， 1625＝sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β， 两式相加得1＝2＋2cos αcos β＋2sin αsin β ＝2＋2cos ()α－β， ∴cos ()α－β＝－12.故选B.答案：B8．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45·⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·1213＝－5665. 答案：－56659．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π)(x ∈R)的最大值是1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12.(1)求f (x )的解析式；解析：(1)∵－1≤sin(x ＋φ)≤1，A >0， ∴[]f xmax ＝A ＝1，∵f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12， 由0<φ<π，得π3<π3＋φ<4π3，∴π3＋φ＝5π6，解得φ＝π2. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．解析：(2)由f(α)＝35，f(β)＝1213，得cos α＝35，cos β＝1213，又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝4 5，sin β＝1－cos2β＝5 13，∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝35×1213＋45×513＝5665.。
课后集训基础达标1.下列等式中一定成立的是（ ）A.cos(α+β)=cosα+cosβB.cos(α-β)=cosα-cosβC.cos(2π+α)=cosαD.cos(2π-α)=sinα 答案：D2.cosα+3sinα化简的结果可以是（ ） A.21cos(6π-α) B.2cos(3π-α) C.21cos(3π-α) D.2cos(6π-α) 解析：原式=2(21cosα+23sinα) =2(cos αcos60°+sinαsin60°)=2cos(α-60°)=2cos(3π-α), ∴应选B.答案：B3.cos(-15°)的值是( ) A.226- B.226+ C.426- D.426+ 解析：cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=426+. 答案：D4.在△ABC 中,若sinA·sinB ＜cosA·cosB,则△ABC 一定为（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 解析：由sinA·sinB ＜cosA·cosB,得：cosA·cosB-sinA·sinB ＞0,cosA·cos(-B)+sinAsin(-B)＞0,即cos(A+B)＞0,∴A+B ＜2π, ∴C ＞2π. ∴△ABC 一定是钝角三角形.∴应选D.答案：D 5.cos(π1225-)的值是（ ）A.-462+B.462+C.462-D.426- 解析：cos(π1225-)=cos π1225=cos(2π+12π) =cos 12π=cos(4π-6π) =cos 4πcos 6π+sin 4πsin 6π =22×23+22×21=426+. ∴应选B.答案：B6.若cosα=1715,α∈(23π,2π),则cos(3π-α)=_________________. 解析：∵cosα=1715,α∈(23π,2π), ∴sinα=178)1715(1cos122-=--=--α, 则cos(3π-α)=cos 3πcosα+sin 3πsinα =21×1715+23×(-178)=343815-. 答案：343815- 综合运用7.若sinα-sinβ=1-23,cosα-cosβ=21,则cos(α-β)的值为（ ） A.21 B.23 C.43 D.1 解析：两式平方相加得：2-2sinαsinβ-2cosαcosβ=(1-23)2+(21)2,即2-2cos(α-β)=2-3,∴cos(α-β)=23. 答案：B 8.︒︒-︒︒︒-︒15cos 8cos 23cos 15cos 8cos 7cos 的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2解析：原式=︒︒-︒+︒︒︒-︒-︒15cos 8cos )158cos(15cos 8cos )815cos( =︒︒-︒︒-︒︒︒︒-︒︒+︒︒15cos 8cos 15sin 8sin 15cos 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15cos 8cos =-1.∴应选B.答案：B9.化简cos80°·cos35°+cos10°·cos55°=________________.解析：原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=22. 答案：22 拓展探究10.求函数y=sinx+cosx 的最大、最小值及相应的x 的集合.思路分析：本题主要考查利用两角和与差的余弦公式进行化简.本题首先将其化为一个角的一个三角函数的形式,即可求最值.解:y=cosx+sinx=2(cosx·22+sinx·22) =2(cosx·cos4π+sinxsin 4π) =2cos(x-4π). ∴函数的最大值为2，此时自变量x 满足的条件为x-4π=2kπ,即x=2kπ+4π,k ∈Z ;函数的最小值为-2，此时自变量x 满足的条件为x-4π=π+2kπ,k ∈Z ,即x=π45+2kπ,k ∈Z . 备选习题11.函数y=cosx+cos(x-3π)的最大值是_______________. 解析：y=cosx+cosxcos 3π+sinxsin 3π =23cosx+23sinx =3(23cosx+21sinx)=3(cosxcos6π+sinx·sin 6π) =3cos(x-6π). y max =3. 答案：3 12.若cos(α+6π)=1312,(0＜α＜2π),求cosα. 解：∵0＜α＜2π,∴6π+α∈(6π, π32). ∴sin(α+6π)=)6(cos 12πα+-=135. ∴cosα=cos ［(α+6π)-6π］ =cos(α+6π)cos 6π+sin(α+6π)sin 6π =1312·23+135·21=263125+. 13.已知锐角α、β满足sinα=55,cosβ=10103.求cos(α-β)的值. 解：∵sinα=55,α为锐角， ∴cosα=552511sin 12=-=-α. ∵cosβ=10103,β为锐角， ∴sinβ=.10101091cos 12=-=-β ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =552·10103+55·1010=1027. 14.已知α,β为锐角，cosα=54,tan(α-β)=31-,求cosβ的值.解：由α,β为锐角，可得sinα=53. 又知角α-β在第四象限，于是cos(α-β)=103)(tan 112=-+βα.sin(α-β)=cos(α-β)tan(α-β) =101)31(103-=-∙, cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =54×)101(53103-⨯+ =10509. 15.cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α)=___________.解析：原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin ［180°-(10°+α)］ =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(10°+α)=cos ［(70°+α)-(10°+α)］=cos60°=21. 答案：21 16.已知cos(α-2β)=91-,sin(2α-β)=32,且2π＜α＜π,0＜β＜2π,求cosα+2β. 解：∵2π＜α＜π,4π＜2α＜2π,0＜β＜2π, -2π＜-β＜0,-4π＜-2β＜0, ∴4π＜α-2β＜π,-4π＜2α-β＜2π. 又cos(α-2β)=91-＜0, sin(2α-β)=32＞0, ∴2π＜α-2β＜π,0＜2α-β＜2π. 则sin(α-2β)=)2(cos 12βα-- =954)91(12=--.cos(2α-β)=)2(sin 12βα-- =35)32(12=-. 故cos 2βα+=cos ［(α-2β)-(2α-β)］ =cos(α-2β)·cos(2α-β)+sin(α-2β)·sin(2α-β) =(91-)×.27573295435=⨯+。
3.1.1两角差的余弦公式 班级姓名小组号【学习目标】1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
【重点难点】重点： 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：两角差余弦公式的推导过程的组织和引导。
【学情分析】之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角βα,，的正弦余弦值来表示cos(βα-)，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
【导学流程】 自主学习内容 一、回顾旧知：1. 五点法做图要找到的是哪五个点？2.A, ϕ,ω各部分变化二、基础知识感知阅读课本124-126页，完成下列问题。
1. 三角函数线法：①作出角α、β、βα-的终边。
②作出角βα-的余弦线OM ③利用几何直观寻找OM 的表示式。
（1）设角α终边与单位圆地交点为P1，1pop ∠=β，则βα-=∠pox 。
（2）过点p 作X PM ⊥轴于点M ，那么OM 就是βα-的余弦线。
（3）过点P 作PA ⊥OP1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点P 作PC ⊥AB 于C 那么OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且poc ∠=pox ∠=a 于是OM=OB+BM=OB+CP=OACOS α+APSin α=αβαβcos sin sin cos +??????：βαβα-,,都是锐角，且βα> 三．探究问题:探究一：自行推导两角和的余弦公式。
探究二：利用两角差公式推导 （1）ααπsin )2cos(=-（2）ααπcos )2cos(=+请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:利用两角和（差）的余弦公式，求cos75,cos105提问展示问题预设：cos(()βα+)cos βsin(()βα+)sin β??????课堂训练问题预设：cos75cos30+sin75sin30?整理内化： 1、 课堂小结本节课学习内容中的问题和疑难3.1.1 两角差的余弦公式【课后限时训练】时间50分钟第Ⅰ部分本节知识总结默写两角和与差的余弦公式：第Ⅱ部分基础知识达标一、选择题(每题5分，共30分)1．cos80°cos20°＋sin80°sin20°的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋α等于( )A.425 B.7210 C ．－425 D ．－7210 3.cos10°－3sin10°sin20°的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－124．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝34，0<α<π3，则cos α的值为( )A.3＋218 B.3－218 C.74 D ．－745．已知向量a ＝(sin α，cos α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β均为锐角，且a ∥b ，则α＋β等于( )A ．0 B.π2 C.34π D ．π6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A.2B ．2C ．4 D.22二、填空题(每题5分，共20分)7．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是________．8．函数f (x )＝cos(2x ＋θ)＋3sin(2x ＋θ)是偶函数，则θ＝________.9．(2017·河北省石家庄市复兴中学高一期中)函数y ＝3sin x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6上的值域为________．10．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.三、解答题（11每题10分，共20分；12，13每题15分） 11．求下列各式的值．(1)cos80°·cos35°＋cos10°·cos55°；(2)sin100°·sin(－160°)＋cos200°·cos(－280°)．12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值．13．已知α、β都是锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．答疑解惑本节学习中存在的疑难：。
[学业水平训练]1．cos(－15°)的值为( ) A.2－64 B.6－24 C.6＋24 D ．－6＋24解析：选C.cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝6＋24. 2．若α∈R ，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin α的值等于( ) A.32B.12 C ．－32 D ．无法判断 解析：选B.原式＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－α ＝cos π3＝12. 3．sin θ＋cos θ等于( )A.2cos(π4＋θ)B.2cos(π4－θ) C ．cos(π4＋θ) D ．cos(π4－θ) 解析：选B.sin θ＋cos θ＝2(sin π4sin θ＋cos π4cos θ)＝2cos(π4－θ)． 4．已知cos α＝1213，α∈(32π，2π)，则cos(α－π4)的值为( ) A.5213B.7213C.17226D.7226解析：选D.∵α∈(32π，2π)，∴sin α＝－513， ∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝1213×22＋(－513)×22＝7226. 5．已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos(α－β)＝( ) A ．－12 B ．－32C.12 D ．1解析：选A.由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32， 两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， ∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1，2(cos αcos β＋sin αsin β)＝－1， cos(α－β)＝－12. 6．cos(－43°)cos 17°＋sin 43°sin(－17°)＝________．解析：原式＝cos(－43°)cos 17°＋sin(－43°)sin 17°＝cos(－43°－17°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 答案：127．锐角△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos(A －B )＝________． 解析：由题意得cos A ＝45，sin B ＝1213， 所以cos(A －B )＝45×513＋35×1213＝5665. 答案：56658．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________． 解析：(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2cos(α－β)＝83. 答案：83 9．已知sin α＝1213，cos β＝－35，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)． 解：由于sin α＝1213，α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（1213）2＝－513. 由于cos β＝－35，β为第二象限角， ∴sin β＝ 1－cos 2β＝ 1－（－35）2＝45. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－513)×(－35)＋1213×45＝6365.10．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值．解：∵sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π，∴cos(α＋π4)＝－ 1－（45）2＝－35，∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.[高考水平训练]1．已知函数f (x )＝x sin 126°sin(x －36°)＋x cos 54°cos(x －36°)，则函数f (x )是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：选B.因为函数的定义域为R ，且f (x )＝x sin 126°sin(x －36°)＋x cos 54°cos(x －36°)＝x sin 54°sin(x －36°)＋x cos 54°cos(x －36°)＝x [sin 54°sin(x －36°)＋cos 54°cos(x －36°)]＝x cos[54°－(x －36°)]＝x cos(90°－x )＝x sin x ，所以任取x ∈R ，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．2．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析：∵cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝12(cos α＋3sin α)＝18.∴cos α＋3sin α＝14.答案：143．已知sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，0<α<π2，π<α＋β<32π，求cos β的值．解：因为sin α＝35，0<α<π2，所以 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.因为cos(α＋β)＝－45，π<α＋β<32π， 所以sin(α＋β)＝－1－cos 2（α＋β） ＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1. 4．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值．(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α－β)的值． 解：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－65， 所以sin α＝35. 又因为f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6 ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817. 因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos α＝45，sin β＝1517， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×817＋35×1517＝7785.。
