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差分方程理论：1.一阶差分方程k k k x x x -=∆+1….刻画该变量形如)(k k x f x =∆或)(1k k x F x =+称为一阶差分方程；2.二阶差分方程k k k k k k x x x x x x +-=∆-∆=∆+++12122形如),(12k k k x x f x +=∆称为二阶差分方程3.平衡点和稳定性如果*lim x x k k =+∞→即平衡点 渐近稳定：存在*x 的某个邻域U ，对任意的U x ∈0,虽然*0x x ≠，但*lim x x k k =+∞→ 4.应用及软件实现：一阶线性常系数差分方程，)1.1(,......2,1,0,)1(1=+=+k x r x k k 其中r 为常数，有3种方式计算k 时段的增长率前差公式：kkk x x x -+1 中点公式：kk k x x x 211-+- 后差公式：k k k x x x 1--其中中点公式的精度最高)1.1(的解为等比数列,......2,1,0,)1(0=+=k r x x k k若0≠r ，则仅有平衡点0=x 。
稳定当且仅当1|1|<+r下面选取参数r 和初始值0x ，按)1.1(迭代，绘图观察其解的长期行为 详见程序r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09];x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];一阶线性常系数非齐次差分方程)2.1(,......2,1,0,)1(1=++=+k b x r x k k若0=r 则为等差数列0,0,1,2,......k x x kb k =+=；若0≠r ，则rb r r b x x k k -++=)1)((0 引入 rb x y k k +=则.0,1,2.....k )1()1(01=+=+=+k k k r y y r y 可得此时平衡点rb x -=稳定当且仅当02-<<r 实例：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为 1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。
一．实验题目：已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：时刻/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 生物量/g 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3 350.7 441.0 时刻/h 10 11 12 13 14 15 16 17 18生物量/g 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8二．实验要求1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.2、建立酵母培养物的增长模型.3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.三．实验内容(1)对于此问，可直接根据数据作图 先求相对增长率随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8]; n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n); endr=dx./x(1:18); plot(0:17,r,'kv')xlabel('时间k （小时）'),ylabel('增长率 (%)') title('增长率与时间')模拟效果图如下：时间 k(小时)增长率 (%)增长率与时间再求增长量随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n); endplot(0:17,dx,'ko')xlabel('时间k （小时） '),ylabel('增长量 (克)')title('增长量与时间')模拟效果图如下：24681012141618时间 k(小时)增长量 (克)增长量与时间（2）建立酵母培养物的模型k---时刻（小时）；x(k)---酵母培养物在第k 小时的生物量（克）；r(k)---用前差公式计算的生物量在第k小时的增长率；r---生物量的固有增长率；N---生物量的最大容量。
探究酵母菌种群大小的动态变化研究目的：分别说明种群个体数量的增长规律以及种群外部环境因素和种群内部因素对种群个体数量的制约。
实验过程：1、每八个同学分一组，全班分为7大组。
每组取一个锥形瓶，量取50ml已经配好的酵母菌培养液，至于锥形瓶中。
2、写好标签纸，贴在锥形瓶上。
标签纸格式如下3、每人取一块血球计数板，对本组瓶内酵母菌数量进行计数。
血球计数板的使用方法血球计数板用于在显微镜下直接计数单位容积内分散的单个菌体。
如细菌、酵母菌或霉菌的孢子的数量。
但由于血球计数板本身较厚，不能用油镜观察，仅适用于在干系统物镜下可见的个体较大的微生物的计数一、血球计数板的构造血球计数板是一块特制厚玻片。
玻片上由四道槽构成三个平台，中间的平台分成两半，其上各刻一个相同而有一定面积的小方格网。
方格的刻度有两种规格。
一种是分为25大格，每大格又分为16小格；另一种是分16大格，每大格分为25小格。
总数都是400小格（如图所示）。
每小格边长为0.05毫米，其面积为0.0025立方毫米，深度为0.1毫米，故每小格容积为0.00025立方毫米，即1/4×106毫升。
可由每小格中的菌数换算出每毫升菌液中的数量。
二、血球计数板的使用方法（一）取清洁干燥的血球计数板，加盖玻片盖住网格和两边的槽。
（二）将待测菌液充分摇匀后，用无菌吸管吸少许，由盖玻片边缘或槽内加入计数板来回推压盖玻片，使其紧贴在计数板上，计数室内不能有气泡。
静置5-10分钟。
（三）在低倍镜下找到小方格网后更换高倍镜观察计数，上下调动细螺旋，以便看到小室内不同深度的菌体。
位于分格线上的菌体，只数两条边上的，其余两边不计数。
如数上线就不数下线，数左边线就不数右边线。
（四）计数时若使用刻度为16×25（大格）的计数板，则数四角的4个大格（即100小格）内的菌数。
如用刻度为25×16（大格）的计数板，除数四角的4个大格外，还需数中央1个大格的菌数（即80小格）。
一．实验题目：
已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：
时刻/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 生物量/g 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8
二．实验要求
1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.
2、建立酵母培养物的增长模型.
3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.
4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.
5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.
三．实验内容
(1)对于此问，可直接根据数据作图
先求相对增长率随时间的变化，程序如下：
k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651. 1,655.9,659.6,661.8];
n=1;
for n=1:18
dx(n)=x(n+1)-x(n);
end
r=dx./x(1:18);
plot(0:17,r,'kv')
xlabel('时间k（小时）'),ylabel('增长率(%)')
title('增长率与时间')
模拟效果图如下：
时间 k(小时)
增长率 (%)
再求增长量随时间的变化，程序如下：
k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8]; n=1;
for n=1:18
dx(n)=x(n+1)-x(n); end
plot(0:17,dx,'ko')
xlabel('时间k （小时） '),ylabel('增长量 (克)') title('增长量与时间')
模拟效果图如下：
2
4
6
81012
14
16
18
时间 k(小时)
增长量 (克)
（2）建立酵母培养物的模型 k---时刻（小时）；
x(k)---酵母培养物在第k 小时的生物量（克）；
r(k)---用前差公式计算的生物量在第k 小时的增长率； r---生物量的固有增长率； N---生物量的最大容量。
在营养有限的环境下，假设用前差公式计算的增长率r(k)随着生物量x(k)的增加而线性递减，即
r_k=(x_(k+1)-x_k)/x_k=r*(1-x_k/N),k=0,1,2… 根据以上模型假设，即可建立离散阻滞增长模型 x_(k+1)=x_k+r*x_k*(1-x_k/N),k=0,1,2…
（3）首先，根据r_k 和x_k 的数据多项式拟合出（2）问中的r,N ；然后根据生物量的观测数据直接取x_0=9.6，用(2)问中的循环语句进行迭代计算，算出0~18小时酵母生物量的模拟值，并计算误差平方和，绘制模拟效果图和模拟误差图。
程序如下：t=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];
r=(x(2:19)-x(1:18))./x(1:18); a1=polyfit(x(1:18),r,1); r1=a1(2),N1=-a1(2)/a1(1) x1=x(1); for k=1:18
x1(k+1)=x1(k)+r1*x1(k)*(1-x1(k)/N1); end
resd1=x-x1;sse1=sum(resd1.^2) subplot(2,1,1),plot(t,x,'k*',t,x1,'ks')
axis([-1,19,0,670]),legend('观测值 ','模拟值 ',4) xlabel('时间 k(小时)'),ylabel('生物量 x_k(克)') title('离散阻滞增长模型的线性模拟效果图 ') subplot(2,1,2),plot(t,resd1,'k.',[-1,19],[0,0],'k') axis([-1,19,-40,40])
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('模拟误差') title('离散阻滞增长模型的线性模拟误差')
线性拟合结果如下：
R1=0.66935 N1=635.71 sse1=6293.2
线性模拟效果图如下：
0200400
600时间 k(小时)
生物量 x k
(克)
离散阻滞增长模型的线性模拟效果图
2
4
6
81012
14
16
18
-40
-2002040时间k(小时)
模拟误差
离散阻滞增长模型的线性模拟误差
(4)对于此问，可以利用MATLAB统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit计算参数r和N 以及初始值x_0的值，使得误差平方和达到最小值。
困难在于待拟合的函数模型不是熟悉的初等函数，而是数列递推关系，但是非线性拟合函数nlinfit仍然胜任。
程序如下：
函数：
function y=Untitled(b,x)
y=zeros(size(x));
y(1)=b(3);
for k=2:length(x)
y(k)=y(k-1)+b(1).*y(k-1).*(1-y(k-1)./b(2));
end
脚本：
t=0:18;
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651. 1,655.9,659.6,661.8];
[a2,resd2]=nlinfit(t,x,@Untitled,[0.5,660,9.6])
sse2=sum(resd2.^2)
subplot(2,1,1)
plot(t,x,'k*',t,Untitled(a2,t),'ks')
axis([-1,19,0,670])
legend('观测值','模拟值',4)
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('生物量x_k(克)')
title('离散阻滞增长模型的非线性模拟效果图')
subplot(2,1,2)
plot(t,resd2,'k.',[-1,19],[0,0],'k')
axis([-1,19,-40,40])
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('模拟误差')
title('离散阻滞增长模型的非线性模拟误差')
非线性拟合结果如下：
A2=0.56037 652.46 15
Sse2=1353.5
非线性模拟效果图如以下：
0200400
600时间 k(小时)
生物量 x k
(克)
离散阻滞增长模型的非线性模拟效果图
2
4
6
81012
14
16
18
-40
-2002040时间 k(小时)
模拟误差
离散阻滞增长模型的非线性模拟误差
（5）两个模型的区别及评价分别如下：
由线性拟合得出的结果和模拟效果图可知，计算结果即固有增长率r=0.66935，大容量N=635.71，误差平方和等于6293.2。
计算结果以及模拟误差图表明，线性拟合能够用离散阻滞模型模拟酵母培养物生物量的变化趋势，前半段的误差很小，但后半段的误差很大，误差平方和很大。
另外，最大容量N 的估计值偏低。
总之，线性拟合的模拟效果不够令人满意。
由拟和结果及模拟效果图可知，固有增长率r=0.56073，最大容量N=652.46，初始值x_0=15，误差平方和等于1353.5，计算结果以及模拟效果图和模拟误差图表明，非线性拟合能够更好地用离散阻滞增长模型模拟酵母培养物生物量的变化趋势，误差平方和比线性拟合明显下降。
另外最大容量N 的估计值也比线性拟合更合理。
总之，非线性拟合的模拟效果比较令人满意。
今后计算差分方程的数据拟合问题，一般都采用这种非线性拟合方法。
