(完整版)一元线性回归直线拟合

一元线性回归模型一、单项选择题1、变量之间的关系可以分为两大类__________。

AA 函数关系与相关关系B 线性相关关系和非线性相关关系C 正相关关系和负相关关系D 简单相关关系和复杂相关关系 2、相关关系是指__________。

DA 变量间的非独立关系B 变量间的因果关系C 变量间的函数关系D 变量间不确定性的依存关系 3、进行相关分析时的两个变量__________。

AA 都是随机变量B 都不是随机变量C 一个是随机变量，一个不是随机变量D 随机的或非随机都可以 4、表示x 和y 之间真实线性关系的是__________。

CA 01ˆˆˆt tY X ββ=+ B 01()t t E Y X ββ=+ C 01t t t Y X u ββ=++ D 01t t Y X ββ=+5、参数β的估计量ˆβ具备有效性是指__________。

B A ˆvar ()=0βB ˆvar ()β为最小C ˆ()0ββ－＝ D ˆ()ββ－为最小 6、对于01ˆˆi i iY X e ββ=++，以σˆ表示估计标准误差，Y ˆ表示回归值，则__________。

B A i i ˆˆ0Y Y 0σ∑＝时，（－）＝B 2iiˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）＝0 C ii ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）为最小 D 2iiˆˆ0Y Yσ∑＝时，（－）为最小 7、设样本回归模型为i 01i i ˆˆY =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ˆβ的公式中，错误的是__________。

D A ()()()i i 12iX X Y -Y ˆX X β--∑∑＝B ()i iii122iin X Y -X Y ˆn X -X β∑∑∑∑∑＝C ii122iX Y -nXY ˆX -nXβ∑∑＝ D i i ii12xn X Y -X Y ˆβσ∑∑∑＝8、对于i 01i iˆˆY =X +e ββ+，以ˆσ表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有__________。

《土地利用规划学》一元线性回归分析学院：资源与环境学院班级：2013009姓名：x学号：201300926指导老师：x目录一、根据数据绘制散点图： (1)二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： (1)1）最小二乘法原理 (1)2）求回归直线方程的步骤 (3)三、回归模型的检验： (4)1）拟合优度检验（R2）： (4)2）相关系数显著性检验： (5)3）回归方程的显著性检验（F 检验） (6)四、用excel进行回归分析 (7)五、总结 (15)一、根据数据绘制散点图：◎由上述数据，以销售额为y 轴（因变量），广告支出为X 轴（自变量）在EXCEL 可以绘制散点图如下图：◎从散点图的形态来看，广告支出与销售额之间似乎存在正的线性相关关系。

大致分布在某条直线附近。

所以假设回归方程为：x y βα+=二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： 1）最小二乘法原理年份 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 广告支出（万元）x 4.00 7.00 9.00 12.00 14.00 17.00 20.00 22.00 25.00 27.00销售额y7.00 12.00 17.00 20.00 23.00 26.00 29.00 32.00 35.00 40.00最小二乘法原理可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。

考虑函数y=ax+b ，其中a,b 为待定常数。

如果Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n ）在一条直线上，则可以认为变量之间的关系为y=ax+b 。

但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记Ei=yi-(axi+b)，它反映了用直线y=ax+b 来描述x=xi ，y=yi 时，计算值y 与实际值yi 的偏差。

当然，要求偏差越小越好，但由于Ei 可正可负，所以不能认为当∑Ei=0时，函数y=ax+b 就好好地反应了变量之间的关系，因为可能每个偏差的绝对值都很大。

回归直线方程b的两个公式一、一元线性回归公式在一元线性回归中，我们假设只有一个自变量（x）和一个因变量（y），并试图找到一个直线方程来拟合这些数据。

直线方程的一般形式为：y = mx + b其中，m是斜率，b是截距。

1.1斜率（m）的计算公式斜率（m）表示自变量x的单位变化对应因变量y的单位变化。

斜率可以通过以下公式来计算：m = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x^2 - (∑x)^2)其中，n表示数据个数，∑表示求和符号，∑xy表示x和y的乘积的和，∑x表示x的和，∑y表示y的和，∑x^2表示x的平方的和。

1.2截距（b）的计算公式截距（b）表示直线与y轴的交点的y值。

截距可以通过以下公式来计算：b=(∑y-m∑x)/n其中，n表示数据个数，∑表示求和符号，∑y表示y的和，∑x表示x的和。

二、多元线性回归公式多元线性回归用于描述两个或更多个自变量（x1，x2，...，xn）与一个因变量（y）之间的关系。

多元线性回归方程的一般形式为：y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + ... + bn*xn其中，b0是截距，b1，b2，...，bn是自变量的系数。

2.1 系数（b1，b2，...，bn）的计算公式系数表示每个自变量对因变量的影响程度。

系数可以通过最小二乘法来计算，目标是使得预测值与实际值之间的误差最小化。

具体的计算公式如下：b=(X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，b表示系数向量，X表示自变量矩阵（每一列代表一个自变量，每一行代表一个数据样本），Y表示因变量向量。

2.2截距（b0）的计算公式截距表示在自变量为0时的因变量值。

截距可以通过以下公式来计算：b0 = y_mean - b1*x1_mean - b2*x2_mean - ... - bn*xn_mean其中，y_mean表示因变量的平均值，x1_mean，x2_mean，...，xn_mean表示自变量的平均值。

第十三讲 简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。

回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。

如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。

一、一元线性回归模型及其对变量的要求 （一）一元线性回归模型 1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示： Y=A + BX + ε方程中的A 、B 是待定的常数，称为模型系数，ε是残差，是以X 预测Y 产生的误差。

两个变量之间拟合的直线是：y a bx ∧=+y ∧是 y 的拟合值或预测值，它是在X 条件下Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线A 、B 的估计值，a 即 constant 是截距，当自变量的值为0时，因变量的值。

b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。

可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x ∧=ββ 为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（Z X X S j jj=-），因变量Y 的标准差的平均变化。

由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y的重要性。

（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。

自变量X值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。

回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。

（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为1个自变量）。

1，线性拟合原理一元线性拟合是指两个变量x 、y 之间的直线因果关系， i i i X Y εββ++=10 （i=1,2,…，n ） （式1）其中，（i X ，j Y ）表示（X ，Y ）的第i 个观测值，0β，1β为参数，i X 10ββ+为反映统计关系直线的分量，i ε为反映在统计关系直线周围散布的随机分量，),0(~2σεN i ，i ε服从正态分布。

式1中0β，1β均为未知数，根据样本数据对0β和1β进行统计，0β和1β的估计值为0b 和1b ，建立一元线性方程： X b b Y 10+=∧（式2） 一般而言，所求的0b 和1b 应能使每个样本观测点（i X ，j Y ）与拟合直线之间的偏差尽可能小。

2，最小二乘法原理利用最小二乘法原理，可以选出一条最能反映Y 与X 之间关系规律的直线。

令∑=+-=ni i i X b b Y Q 1210)]([ （式3）其中Q 达到最小值，0b 和1b 称为最小二乘法估计量，根据微积分中极值的必要条件∑==+--=∂∂n i i i X b b Y b Q 11000)]([2 （式4） ∑==+--=∂∂n i i i i X X b b Y b Q 11010)]([2 ∑∑∑∑====--=---=n i i n i i i ni i n i i i X X Y X X X X Y Y X X b 1211211)()()())(( （式5） X b Y b 10-=残差i i i i i X b b Y Y Y e 10--=-=∧代表观测点对于拟合直线的误差可以证明：∑∑∑==∧=∧-+-=-ninii niiiiYYYYYY112122)()()(残差越小，各观测值聚焦在拟合直线周围的紧密程度就越大，说明直线与观测值的拟合越好。

第七章统计案例§1一元线性回归1．1 直线拟合1．2 一元线性回归方程必备知识基础练知识点一直线拟合1.下表提供了某厂利用节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．(1)(2)从散点图中可以看出，甲产品的产量和相应的生产能耗近似呈什么关系？(3)如果甲产品的产量为7吨，预测相应的生产能耗的吨数．知识点二一元线性回归方程2.[多选题]已知一组样本点(x i，y i)，其中i＝1，2，3，…，30，根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx＋a，则下列说法正确的是( )A．回归方程y＝bx＋a经过点(x，y )B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上C．对所有的x i(i＝1，2，3，…，30)，预报变量bx i＋a的值一定与y i有误差D．若y＝bx＋a的斜率b>0，则变量x与y正相关3．已知变量x，y之间的一组数据如下表所示：若根据表中数据得出y＋0.76x，则表中a的值为________．4．某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：(1)(2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？关键能力综合练一、选择题1．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的线性回归方程为Y＝7.19X＋73.93，用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下2．下表显示出样本中y随x变化的一组数据，由此判断它最可能是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9.若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( ) A．75 B．155.4C．375 D．466.24．某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线L.根据图中数据，下列选项中对该样本描述错误的是( )A.据样本数据估计，该地区青少年的身高与年龄成正相关B．所抽取数据中，5 000名青少年的平均身高约为145 cmC．直线L的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线L上5．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数x＝4，y＝5.6，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )A．y＝0.4x＋4 B．y＝1.2x＋0.7C．y＝－0.6x＋8 D．y＝－0.7x＋8.2二、填空题6．[易错题]某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：且回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为60万元．其中，说法正确的是________．7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：∧y＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．8．[双空题]为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X(单位：h )与当天投篮命中率Y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．三、解答题9．记录某产品的单价x(元)与销售量y(件)的数据如下表所示：其中（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）预测当单价为12元时，该产品的销售量．学科素养升级练1.[多选题]某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知线性回归方程为∧y＝6.3x ＋6.8，下列说法正确的是（ ）A .B .回归直线∧y =6.3x+6.8必经过样本点（4，★）C ．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗一定增加6.3吨D ．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨2．[学科素养——数据分析]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示：为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2014，z＝y－5，得到下表：(1)求z关于t(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的线性回归方程；(3)用所求线性回归方程预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？§1一元线性回归1．1 直线拟合1．2 一元线性回归方程必备知识基础练1．解析：(1)由题中所给数据，可得散点图如图所示．(2)从散点图可以发现甲产品的产量和相应的生产能耗近似呈线性关系．(3)甲产品的产量为7吨时，相应的生产能耗大约为5吨．2．解析：线性回归方程y ＝bx ＋a 经过样本中心点(x ，y )，故A 正确；样本点可能都不在回归直线上，故B 错误；样本点可能在直线y ＝bx ＋a 上，即可以存在x i 对应的预报变量bx i ＋a 与y i 没有误差，故C 错误；若y ＝bx ＋a 的斜率b >0，则样本点的分布从左至右上升，变量x 与y 正相关，故D 正确．故选AD.答案：AD3．解析：由题意，可知x ＝14(5＋6＋7＋8)＝6.5.由回归直线过样本点的中心(x ，y )，得y ＝0.26＋0.76x ＝0.26＋0.76×6.5＝5.2，由y ＝14(4＋5＋5.4＋a )＝5.2，解得a ＝6.4.答案：6.44．解析：(1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96 ＝8.5， y ＝90＋84＋83＋80＋75＋686＝80，＝80＋20×8.5＝250，∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 万元，则L ＝(x －4)(－20x ＋250)＝－20(x －8.25)2＋361.25，∴预测把单价定为8.25元时，工厂获得最大利润，最大利润为361.25万元．关键能力综合练1．解析：由线性回归方程可得Y 0＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83 cm 左右．答案：C2．解析：画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．答案：A3．解析：由题意，可得x ＝1505＝30，代入回归方程中，可得y ＝0.67×30＋54.9＝75，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5×y ＝375，故选C .答案：C4．解析：在给定范围内，随着年龄的增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年的身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm ，故B 正确；根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C 正确；各取一人具有随机性，根据数据做出的点可能在直线附近，不一定在直线上，故D 错误．故选D .答案：D5．解析：因为变量x 与y 负相关，所以b<0，排除A 、B 选项；将x ＝4，y ＝5.6代入检验即可得到C 是正确选项，故选C .答案：C6．解析：由回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，可知b ＝6.5，则销售额y 与广告费支出x 正相关，所以①是正确的；设丢失的数据为a ，由表中的数据可得x ＝5，y ＝220＋a 5，把点(5，220＋a 5 )代入回归方程，可得220＋a 5＝6.5×5＋17.5，解得a ＝30，所以②是正确的；该公司广告费支出每增加1万元，销售额应平均增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为y ＝6.5×7＋17.5＝63万元，所以④不正确．答案：①②7．解析：由题意知，[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254.答案：0.2548．解析：小李这5天的平均投篮命中率Y － ＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，X － ＝3，∧b ＝0.110 ＝0.01，∧a ＝Y － －∧bX － ＝0.5－0.03＝0.47. ∴线性回归方程为Y ＝0.01X ＋0.47，则当X 0＝6时，Y 0＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.答案：0.5 0.539．解析：(1)由题意，得x ＝15(6＋7＋8＋9＋10)＝8， y ＝15(55＋48＋44＋38＋25)＝42，∴b＝1 610－5×8×42330－5×82 ＝－7，a ＝42－(－7)×8＝98， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝－7x ＋98.(2)当x ＝12时，y ＝－7×12＋98＝14，即当单价为12元时，该产品的销售量约为14件．学科素养升级练1．解析：设看不清的数字为a ，计算x － ＝15 ×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y － ＝15×(19＋25＋a ＋38＋44)＝126＋a 5 ，代入线性回归方程∧y ＝6.3x ＋6.8中，得126＋a 5＝6.3×4＋6.8，解得a ＝34，所以y － ＝32，所以看不清的数据★的值为34，A 正确；又回归直线∧y＝6.3x ＋6.8过样本点(4，32)，所以B 错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C 错误；x ＝7时，∧y＝6.3x ＋6.8＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D 正确．故选AD .答案：AD2．解析：(1)t － ＝3，z － ＝2.2，所以z 关于t 的线性回归方程为∧z＝1.2t －1.4. (2) ∧z＝1.2t －1.4， 代入t ＝x －2014，z ＝y －5，得∧y－5＝1.2(x －2014)－1.4， 即∧y＝1.2x －2 413.2. 故y 关于x 的线性回归方程为∧y＝1.2x －2 413.2. (3)由(1)中的线性回归方程，预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到1.2×2024－2 413.2＝15.6(千亿元).。

第二节一元线性回归分析本节主要内容：回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。

本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系.回归分析的主要内容:1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2.估计回归模型参数；3.对确定的关系式进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。

一、一元线性回归模型:一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。

理论回归模型:理论回归模型中的参数是未知的,但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型：回归估计模型：二、模型参数估计：用最小二乘法估计：【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示某地女孩身高的实测数据建立身高与年龄的线性回归方程。

根据上面公式求出b0=80。

84，b1=4。

68。

三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点,称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量(x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。

（3）回归系数b1的取值有正负号。

如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系,如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。

[例题·判断题］回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同.（ )答案：错误解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的=a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数（ )［例题·判断题]在回归直线yca。

r=0 b.r=1 c。

0<r〈1 d.—1<r〈0答案:d解析：b〈0,则x与y之间的相关系数为负即—1〈r〈0［例题·单选题］回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ）a。

线性相关还是非线性相关 b.正相关还是负相关c。