漩涡理论
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第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
水漩涡迷信说法
水漩涡迷信说法
水漩涡迷信说法是水怪引起的漩涡。
实际上漩涡是指水流遇低洼处所激成的螺旋形水涡。
抽水马桶冲水时，水流会产生一个旋涡流下排水空。
有理论称，在北半球，水流旋涡是朝顺时针方向的；而在南半球，则是逆时针旋转的。
而之所以出现这种现象，是由于地球自转的缘故。
其实，地球自转的作用很微弱，因此难以影响水流动的方向。
先想想水流漩涡是怎么来的大部分的资料，甚至是物理老师都告诉我们水流漩涡是因为科氏力因此北半球是顺时针流下，南半球是逆时针科氏力确实造成了地球上风向的改变但科氏力会影响水流漩涡吗？
事实上，水流漩涡只是因为水缸的不平稳或是水中原本就有的扰动造成的若水一开始有一点点顺时针旋转当水逐渐漏掉，由于角动量守恒角速度势必就会增加，我们也就会看到水流漩涡了假设水缸底部完全水平水中也完全没有扰动那么不论是在何处，水都会直接向下流，没有漩涡所以说。
如果水流漩涡与科氏力那在赤道线上水流漩涡也就没有特定的方向了。
漩涡的原理及应用
漩涡的原理及应用1. 漩涡的定义漩涡是指在流体中形成的旋转的涡流结构。
它是流体力学中的一种重要现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
漩涡由于其独特的运动规律和形态，具有广泛的应用价值。
2. 漩涡的形成原理漩涡的形成和维持是由流体动力学原理决定的。
当流体运动中存在不均匀性时，比如流体速度、密度、温度等的分布不均匀，就会形成涡旋结构，即漩涡。
漩涡的形成可以归因于两种主要机制：黏性与非黏性。
在完全黏性流体中，漩涡的形成归结于黏性效应。
黏性流体中粘滞系数较高的流体层被较低粘滞系数的流体层所替代，形成类似于旋转的涡流结构。
而在非黏性流体中，流体的非线性机制起着决定性作用。
流体运动中的非线性性质使得流体颗粒在运动过程中相互作用，产生局部的涡旋。
这些涡旋之间的相互影响和扩散最终形成了漩涡。
3. 漩涡的应用领域漩涡作为流体力学中重要的现象，在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个常见的领域：3.1 流体力学研究漩涡是流体力学研究中的基础概念之一，深入研究漩涡的形成、演化和行为规律，可以为流体力学领域的发展做出重要的贡献。
3.2 湍流模拟与预测湍流是一种高度复杂的流动状态，在自然界和工程实践中广泛存在。
漩涡作为湍流的基本单元，对湍流的模拟和预测具有重要意义。
通过研究漩涡的形成和演化规律，可以更好地理解和预测流体中的湍流现象。
3.3 漩涡发电技术漩涡在涡动能的转换和利用方面具有巨大的潜力。
漩涡发电技术是一种利用漩涡运动产生能量的新兴技术。
通过合适的装置和系统设计，可以将流体中的涡动能有效转换为电能，实现可持续能源的利用。
3.4 漩涡在水利工程中的应用在水利工程中，漩涡现象往往会对工程设施产生负面影响。
合理利用漩涡现象，可以在水利工程中进行能量调控、流量控制、河道疏浚等工作，提高水域的可持续利用和环境保护。
3.5 漩涡在气象学中的应用漩涡现象在大气环流中也具有重要作用。
气旋和飓风等大尺度的气象现象都源于漩涡形态。
对漩涡的深入研究可以为气象学提供重要的理论基础，并为天气预测和气候变化研究提供有力支持。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
17
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
化工装备(高流)第4章 漩涡和势流基本理论
等势面：速度势值相等的点所组成的空间曲面称等势面。
d 0 ，或 等势面方程：
证：
V 1 2 1 v p F ) ( V Ω ) t 2
(a b) b a a b a b b a ( V ) 1 1 ( v 2 ) ( p ) F ( V Ω ) ( a) 0 t 2 ( a) ( a) a (Ω) 1 1 0 [ (p) ( ) p] F [Ω V V Ω V Ω Ω V ] a 0 t f ( ) f '( ) (Ω) 1 [0 2 p ] F [Ω V V Ω Ω V ] t Ω 1 [ V Ω] Ω V Ω V 2 p F t DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
故，对理想流体涡量输运方程
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
旋转角速 度变化 速度沿涡 线变化 体积 收缩 外力 流体非 正压性
不可压流体 气体等容、等温、 等熵、多变过程
不可压缩、均质、理想流体恒定势流的基本方程
拉普拉斯方程（调和函数）
对不可压流体、无旋流动，连续方程为：
u v w 2 2 2 V 0, 2 2 0 2 x y z x y z
u , v , w , x y z
ij p ij p I
对于理想流体：
故，
( V ) ( VV ) F p t
I 0
d 0 ，或 等势面方程：
证：
V 1 2 1 v p F ) ( V Ω ) t 2
(a b) b a a b a b b a ( V ) 1 1 ( v 2 ) ( p ) F ( V Ω ) ( a) 0 t 2 ( a) ( a) a (Ω) 1 1 0 [ (p) ( ) p] F [Ω V V Ω V Ω Ω V ] a 0 t f ( ) f '( ) (Ω) 1 [0 2 p ] F [Ω V V Ω Ω V ] t Ω 1 [ V Ω] Ω V Ω V 2 p F t DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
故，对理想流体涡量输运方程
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
旋转角速 度变化 速度沿涡 线变化 体积 收缩 外力 流体非 正压性
不可压流体 气体等容、等温、 等熵、多变过程
不可压缩、均质、理想流体恒定势流的基本方程
拉普拉斯方程（调和函数）
对不可压流体、无旋流动，连续方程为：
u v w 2 2 2 V 0, 2 2 0 2 x y z x y z
u , v , w , x y z
ij p ij p I
对于理想流体：
故，
( V ) ( VV ) F p t
I 0
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学5-漩涡理论
5.毕奥－沙伐尔定理
6.兰金组合涡
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
c
————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J 或
c Vs ds 2 n d
c
n
d C
漩涡理论
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda vx vx dx (vy dx)dy (vx dy)dx v y dy x y
x A a, yA 4 a t xB a ,
yB 4 a t
4 a
t c4
两点涡相对位置保持不变， 它们同时沿ｙ方向等速向下移动。
情况 ( b )
dx A Ａ点： xA v 0 dt dxB 0 B点： vxB dt
A t 2 4 a
（1）理想流体；
漩涡的形成原理
漩涡的形成原理
漩涡是一种在液体或气体中形成的旋转流动现象，它在自然界和工程领域中都
有着重要的应用。
漩涡的形成原理是由流体动力学和涡旋动力学共同决定的，下面我们来详细探讨漩涡的形成原理。
首先，漩涡的形成与流体的运动状态密切相关。
当流体在运动过程中遇到阻碍
物或者流速发生突变时，就会产生漩涡。
比如，当水流遇到岩石或者突然变窄的河道时，就会形成漩涡。
此时，流体的动能转化为旋转动能，从而形成旋转的涡流。
其次，漩涡的形成也与流体的惯性和黏性有关。
在流体运动过程中，惯性使得
流体有向外扩散的趋势，而黏性则使得流体有向内收缩的趋势。
当这两种趋势达到平衡时，就会形成漩涡。
这种平衡状态下，流体的旋转运动将会保持一段时间，形成稳定的漩涡结构。
此外，漩涡的形成还受到流体的旋转速度和流动方向的影响。
一般来说，流体
的旋转速度越大，形成的漩涡就会越强烈。
而流动方向的改变也会导致漩涡的形成，比如在河流的转弯处或者管道的弯曲处，都容易形成漩涡。
最后，漩涡的形成还与流体的密度和粘度有关。
密度大的流体更容易形成漩涡，而粘度大的流体则会减弱漩涡的形成。
这也解释了为什么在不同的流体环境中，漩涡的形成情况会有所不同。
总的来说，漩涡的形成原理是一个复杂的流体动力学问题，它受到多种因素的
影响。
通过对漩涡形成原理的深入研究，我们可以更好地理解流体运动的规律，为漩涡的控制和应用提供理论基础。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地了解漩涡的形成原理。
什么是太空漩涡
什么是太空漩涡
太空漩涡时空漩涡是爱因斯坦广义相对论中预测的一种空间现象。
根据爱因斯坦的相对论，空间和时间是交织在一起的，形成一种被他称为“时空”的四维结构。
地球的质量会在这种结构上产生“凹陷”，这很像是一个成年人站在蹦床上陷进去的情形。
在爱因斯坦的理论中，时空漩涡是客观存在的，但是却没人可以
确切的证明出来，而近日科学家终于证明实了爱因斯坦的时空漩涡理论。
科学家们经过仔细的检测，发现地球周围确实存在时空漩涡，并且其各项参数和爱因斯坦广义相对论预言的完全符合。
这是此间在美国宇航局总部举行的一场新闻发布会上公布的消息，探测的结果来自对该局实施的引力探测卫星B(GP-B)计划的数据分析结果。
引力探测卫星B项目首席科学家，斯坦福大学物理学家弗朗西斯·艾福瑞特表示：“正如广义相对论预言的那样，地球附近确实存在时空漩涡。
”
根据爱因斯坦的相对论，空间和时间是交织在一起的，形成一种被他称为“时空”的四维结构。
地球的质量会在这种结构上产生“凹陷”，这很像是一个成年人站在蹦床上陷进去的情形。
爱因斯坦指出，引力的本质仅仅只是物体围绕这种时空凹陷的曲线边缘运动的外在
表现。
第五章 漩涡理论
第五章 漩涡理论内容1. 基本概念。
2. 漩涡随空间，时间的变化规律。
3. 漩涡对周围流场的影响。
4. 二元漩涡的特性。
5.1.1涡量和平均旋转角速度。
涡量场：Ω =▽V ⨯▽V ⨯=VzVyVxz y x k j i ∂∂∂∂∂∂令 ωx =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Vy yVz 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x Vz zVxy 21ω ω2=Ω∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y Vx xVy z 21ω其中ω称为平均旋转角速度。
ωωωzyx,, 的物理意义。
设M 点的速度Vx,Vy A 点()dx xVx x VV xA∂∂+=()dx xVy y VV yA∂∂+=()()[]()[]11_sin 0,11dtx dtx dtx dt dtx dxy A A MA d V V V VV VV AA y dt x y xAyA⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+-='+==→θ dt xd V y∂∂≈∴θ1 即xV dtd y∂∂=θ1Ω是否为0判断有旋无旋例：1）r V∙=ωθ=ω常sin sin cos 0012xy z xyyxzr yrcso xV V V V VV V yx θθθωθωθωθωωωωω=-=-=-======⎛⎫⎪=-= ⎪⎝⎭∂∂∂∂有旋2）rV πθ2Γ=无旋02100222222=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===∴=+Γ=+Γ-=∴∂∂∂∂yV x V VyxV yxVxyzyx zyxx yωωωππ5.1.2涡线，涡面和涡管涡线：是一条曲线，在同一瞬时曲线上所有点旋转角速度Ω与该线相切。
1. 瞬时性2. 流动速度与旋转速度相垂直。
涡线方程()()()z y x dzz y x dyz y x dxz y x ,,,,,,ΩΩΩ==涡线涡管速度场 涡量场 Ω=⨯∇v 流线：zyxv dz v dy v dx == 涡线：zyxdz dy dx Ω=Ω=Ω流管： 涡管：流量：⎰=sn ds v Q 涡量：⎰⎰⎰==Γ=sn CC s ndsl d v dsJ ωω25.1.3涡通量和涡管强度⎰⎰=∙=ssnds ds n J ωω又称涡管强度流量⎰⎰=∙=ssnds ds n v Q v5.2速度环流和斯托克斯定理1）速度环流：定义：速度在曲线切线上的分量沿该曲线的线积分⎰Γ=BAABl d V定义：某瞬时AB 线上所有质点沿AB 运动的趋势。
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2 v const
v / 2
龙卷风是点涡的一个例子。在龙卷风的中心附 近，流动速度很高，压力很低。
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
d
流量
Q dQ ud
涡通量是涡度通过某一截面S的通量，而旋涡 中某点涡度的大小是流体微团绕该点旋转 的平均角速度的两倍，方向与微团的瞬时 转动轴线重合。
由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。
无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
点涡
v
2 R
vr 0 （R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的
！！点涡不对自身 产生诱导速度
R
• 举例：
设涡线位于原点，根据斯托克斯定理，沿以r为半
径的圆周的速度环量等于该圆周内的涡通量，当涡 线的涡度不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
旋涡理论(vortex theory) 旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强度）
园盘绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 r
同瞬时的流速矢量
r
r v
与此线
与此线相切。 r3
r 2
相切。
v3 r v2
r
r1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的旋转角速度
r
r
xi
y
r j
r
z k
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)Βιβλιοθήκη y(dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
点涡（point vortex） 一根无限长直涡线，在与其垂直的平
面内诱导的流场称为点涡。当涡线的涡度 不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
z,
t
)r
积分时将ｔ看成参数
dsr
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的速度
vr
r vxi
vy
r j
r vz k
流速与流线相切 r dx dy dz v
vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
r ds
涡束、涡管：在涡流场中，取一微 小面积，围绕这个微小面积作出的 一束涡线——微小涡束。
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
不随时间变化（汤姆逊定理）
J不随时间变化
漩涡理论
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等
参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
漩涡理论
海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
ab ba 0
ab ba
C 0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
漩涡理论
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
v / 2
龙卷风是点涡的一个例子。在龙卷风的中心附 近，流动速度很高，压力很低。
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
d
流量
Q dQ ud
涡通量是涡度通过某一截面S的通量，而旋涡 中某点涡度的大小是流体微团绕该点旋转 的平均角速度的两倍，方向与微团的瞬时 转动轴线重合。
由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。
无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
点涡
v
2 R
vr 0 （R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的
！！点涡不对自身 产生诱导速度
R
• 举例：
设涡线位于原点，根据斯托克斯定理，沿以r为半
径的圆周的速度环量等于该圆周内的涡通量，当涡 线的涡度不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
旋涡理论(vortex theory) 旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强度）
园盘绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 r
同瞬时的流速矢量
r
r v
与此线
与此线相切。 r3
r 2
相切。
v3 r v2
r
r1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的旋转角速度
r
r
xi
y
r j
r
z k
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)Βιβλιοθήκη y(dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
点涡（point vortex） 一根无限长直涡线，在与其垂直的平
面内诱导的流场称为点涡。当涡线的涡度 不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
z,
t
)r
积分时将ｔ看成参数
dsr
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的速度
vr
r vxi
vy
r j
r vz k
流速与流线相切 r dx dy dz v
vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
r ds
涡束、涡管：在涡流场中，取一微 小面积，围绕这个微小面积作出的 一束涡线——微小涡束。
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
不随时间变化（汤姆逊定理）
J不随时间变化
漩涡理论
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等
参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
漩涡理论
海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
ab ba 0
ab ba
C 0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
漩涡理论
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始