复变函数 全套课件

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例 2 设 是 1的 n次 方 根 ,且 1,求 12Ln1的 值 .
解 因为n1
所 1 以 2 n 1
1n 0. 1
9
例
设 z 1 5 5 i ,z 2 3 4 i ,求 zz12
与
z1 z2
.
解 z1 55i (55i)(34i) z2 34i (34i)(34i)
)2 i )3
e19i ,
故三角表示式为 z c1 o 9 s is1 in ,9
指数表示式为 ze19i.
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6、基本问题 (1) 已知方程求图形
例 求下列方程所表示的曲线:
(1 )z 2 i z 2 ;(2 )Im (i z) 4 .
解 表示所有 2i和 与 2距 点离相等的. 点 故方程表示连 的接 曲2i点 线 和2就 的是 线 段的垂直 . 平分线
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
25
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
v 3 2
2
2
1.
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例 函数 w1z将 z平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？
求z1
z2
和z1 z2
.
解 因z1 为 co 3 s isi n 3 ,
z2cos 6isin 6,
所 z 1 z 以 2 c o 3 s 6 is i n 3 6 i,
z z1 2co 3 s 6 isi n 3 6
3 1i. 22
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
所求曲线方y程为 3. 一般方法：
令 z x iy 代 入 F (z ,z ) ， 化 为 f(x ,y )
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(2)已知图形求方程
( 1 )x 2 y 2 9 ,(2 )x 2 .
解 (1) 因x 为 2y2z29
又
w1 1 z xiy
x iy x2 y2
1(x iy), 9
于是 wuiv1x1iyu1x, v1y
99
9
9
u2v21(x2y2)1 表示 w平面上的圆.
81
9
27
(2) x2. 解 因 z 为 x iy 2 iy
5 6
,
故三角表示式为z4 co 6 5 s isi n6 5 ,
12
指数表示式为
z
5i
4e 6
.
(2)zsi nicos 显r然 z1,
55
sin5cos25
cos
3 10
,
co5ssin25
sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
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(3)z((cco o 5 3 ss iissii5 3n n ))2 3.
因 c5 o 为 is s5 i n e 5 i,
c 3 o i s3 s i c n ( 3 o ) i s s 3 i) n e3i, (
所以 ((cco o5 3 ss iissii5 3 n n ))2 3((ee53i
(b) 如果复变函f(数 z)uiv中u,v在D内 的各一阶偏导数都 、存 连在 续 (因而u,v可微) 并 满 足 CR方 程, 那 末 根 据 解 析 函 数 要 的 充 条 件 可 以 断f (定 z)在D内 解 析 .
6.初等解析函数
1)指数函数
定义 设 zxiy. 称 ez ex(coy sisin y)为 z的指数 . 函数
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
w 382 co 2 1 s5 6 isi2 1 n 5 6 .
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2的 圆的正方形的四个顶点. w 2
o
w3
w0 x
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三、典型例题
例1 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
复变函数的极限
注意: 定义 z 中 z0的方式是 . 任意的 极限计算的定理
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
z0
x0
iy0, 那
末limf zz0
(z)
A的
充
要
条
件
是
limu(x,
xx0
y)
u0,
limv(x,
xx0
y)
v0.
yy0
yy0
6
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
4.可导与解析的判定
定理1 设函数f (z) u(x, y)iv(x, y)定义在区 域D内,则 f (z)在D内一点z x yi可导的充要 条件是:u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微,并且在 该点满足柯西－黎曼 程方
u v , u v. x y y x
若函 f(z)u 数 (x ,y) i(v x ,y)在z 点 xy处 i 可 ,则 导其:导数公式
2
2i
a (x 2 y 2 ) b x c y d 0
得 a z z ： z z d 0
其中 ， 1(bic).
一般方法：
2
将x z z , y z z ,
2
2i
代入f (x, y)，化为F(z, z)
复数的运算
例 已 z 1 1 2 知 ( 1 3 i)z ,2 s 3 i n ic 3 o , s
所以 arctan11arctan1
4
,
例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ( 1 )z 1 2 i; (2 )z s i n ic o ; s
55
(3)z((cco o5 3 ss iissii5 3 n n ))2 3.
解 (1)rz 1 244, 因为z在第三象 , 限
所以 arc ta 2 1n 2πarcta3n3
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故,由z1到z2的直线段的参数方程为
z z 1 t ( z 2 z 1 ) 0 t 1
若取t 1, 2
得线z段 1z2的中点坐z 标z1 为 2 z2 .
例10 试用复数表示圆的方程:
a (x 2 y 2 ) b x c y d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
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解： 将 xzz,yzz,代 入
(1 52)0(1 52)0 i 7 1i.
25
55
z 1 7 1i. z2 5 5
10
例5 求下列复数的辐角主值:
(1 )z 1 2 2 i; (2 )z 1 i;
解 ( 1 ) 因为z在第三象 , 限
所以 arc ta 2 1n 2πarcta3n3
5 6
,
( 2 ) 因 为 z在 第 四 象 限 ,
20
例 计3算 1i的.值
解
1i
2
1 2
12i
2cos 4isin 4
3 1i 6 2cos432kisin432k (k0,1,2).
21
即 w 062 co 1 s 2 isi n 1 2 , w162co7 1 s2 isi7 1n 2, w262co54 sisi5n 4.
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
r
30
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
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lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2百度文库
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
22
例 计4算 1i的.值
解 1i 2co 4sisi 4 n 41i82co 4s42kisin 442k (k0,1,2,3). 即 w082co1s6 isi1n 6,
w182co9 1 s6 isi9 1n 6,
23
w 282 co 1 1s 7 6 isi1 1 n 7 6 ,
f(z)uivuiu x x x y
viuviv. y y y x
定理 2 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:u要 (x,y条 )与v件 (x,y是 )在 D内可,并 微且满足柯西 程. －黎曼方
5、解析函数的判定方法
(a)如果能用求导 导公 法式 则与 证求 实复变 数f(z)的导数在 D内 区处 域处,则 存可 在根据 解析函数的定 f(z)义 在D断 内定 是解. 析的
例 将 通 过 两 点 z 1 x 1 iy 1与 z 2 x 2 iy 2的 直 线 用 复 数 形 式 的 方 程 来 表 示 .
解 通过 (x1两 ,y1)与 点 (x2,y2)的直线的
xx1t(x2x1) yy1t(y2y1)
参t 数 (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z 1 t( z 2 z 1 )参t 数 (, ),
性(a 质 )对任 z,ez意 ex 0 复 ,则 ez 数 0 ; (b)ez在 z平面上处 ,而处 (且 ez) 解 ez;析 (c)ez1ez2ez1z2; (d)ez是以 2i为周期的周期. 函数
2)三角函数 定义sinzeiz eiz,称为 正弦函. 数
2i coszeiz eiz,称为 余弦函. 数
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x
y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(c o iss i)n
指数表示法
利用欧拉公式 eico sisin ,
复数可以表示成 zrei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w nzrn 1 c o 2 sk π isi n 2 k π
所以w1z21iy42yiy2 uiv
u42y2, v4yy2
因为 u2v2(44yy22)2
1 4 y2
u, 2
所以 u2v2u0u12v2 1
2
4
16
表示 w平面上以
1 4
, 0 为圆心，1
4
为半径的圆.
放映结束，按Esc退出.
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例2 证明函 f(z) 数 Rez)当 ( z0时的极限 z
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
复变函数的连续性
z l im z0f(z)f(z0), z C .
连续的充要条件 函f数 (z)u(x,y)i(vx,y)在 z0x0i0 y
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
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三、典型例题
例 1 已 知 x 2 x 1 0 ,求 x 1 1 x 7 x 3 的 值 . 解 因 x 3 1 为 ( x 1 )x 2 ( x 1 ), 而x2x10,故x是一个三次, 单位 从 x 1而 1 x 2 ,x 7 x ,x 3 1 所 x 1 1 x 以 7 x 3 x 2 x 1 0 .
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
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第二章
1. 复变函数的导数与微分
1）导数的定义
f(z0)d d w zz z0 lizm 0f(z0 zz )f(z0).
2)复变函数的微分
dwf(z)dz.
2. 解析函数
解析
可微
可导
连续
极限存在 有定义
3. 奇点