几何学概论期末试题及答案

《几何学概论》试题（１）1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1）的象为原点.(51')2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8')6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21')7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01')8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01')9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01')《高等几何》试题（２）1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01')4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. (01')7.求两对对应元素,其参数为121→,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')8.两个重叠一维基本形B A B A λλ'++,成为对合的充要条件是对应点的参数λ与λ'满足以下方程: )0(0)(2≠-=+'++'b ad d b a λλλλ (51')《高等几何》试题（３）1. 求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (51')7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (02')[2005—2006第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（A ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为3、 过点（1,i,0）的实直线方程为4、 二重元素参数为2与3的对合方程为5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程二、 判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应容是射影几何对应容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。

（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线222123420u u u +-=的直线十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点，如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求《高等几何》试题（B ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 仿射变换//71424x x y y x y ⎧=-+⎨=++⎩的不变点为 2、 两点决定一条直线的对偶命题为3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为4、 若交比(,)2AB CD = 则(,)AD BC =5、 二次曲线中的配极原则二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点 （ ）2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ）4、射影群⊃仿射群⊃正交群 （ ）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ）三、(7分)经过(3,2)(6,1)A B -和的直线AB 与直线360x y +-=相交于P ，求 ()ABP四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线1234,,,L L L L 的方程分别为：210,320,70,510x y x y x y x -+=+-=-=-=求证四直线共点，并求1234(,)L L L L六、(10分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线22212313230x x x x x -+-=过点的切线方程 （2）二级曲线222123170u u u +-=在直线L[1，4，1] 上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++=（1） 求点(1,2,1)P 关于曲线的极线（2） 求直线123360x x x -+=关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（C ）一、填空题（每题3分共15分）6、 直线20x y +-=在仿射变换//213x x y y x y ⎧=+-⎨=-+⎩下的像直线 7、 X 轴Y 轴上的无穷远点坐标分别为8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为9、 射影变换'230λλλ--=自对应元素的参数为10、 二级曲线222123170u u u +-=在直线上[1,4,1]的切点方程三、 判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）4、 如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点 （ ）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX 轴上的射影变换'213x x x -=+，求坐标原点，无穷远点的对应点四、（8分）已知直线,,a c d 的方程分别为123123120,00x x x x x x x +-=-+==， 且2(,)3ab cd =-求直线b 的方程。

五、（10 分）已知同一直线上的三点,,A B C 求一射影变换使此三点顺次变为,,B C A 并判断变换的类型，六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10分）求射影变换'112'22'33x x x x x x x ρρρ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩的不变点坐标八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线222123420u u u +-=的直线十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 'P P →,与其两个二重元素E,F 调和共轭即(',PP EF )=-1[参考答案] 高等几何标准答案（A ）一、 填空题：（每空3分共15分）1、单比，交比2、（1,-3,0）3、30x =4、''25()120λλλλ-++=5、123127260x x x +-=二、判断题（每题2分共10分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线210x y +-=上任取两点(1,0),(1,1)A B - 2分由(1,0)(1,0),(1,1)(1,1),(1,1)(1,2)A A B B →-→--→- 设仿射变换为'111213'212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩ 将点的坐标代入可解得 ''22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩ 7分四、证明：因为1211120305--=- 所以三点共线 4分 由：3,20,25t s t s t s -=+=-+=- 解得 1,2t s ==-所以 12,(1,2,3)i i c a b i =-= 8分 五、证明：令''232204x x x x x x x +==+-=+由得 解得121,2x x ==- 即有两个 自对应点 4分设k 与'324k k k +=+ 对应，有'5((1)(2),)2kk -=为常数 10分 注：结果 有25也对，不过顺序有别。

六、证明：设两直线为：1122:,:a y k x b b y k x b =+=+相似变换为：''''x a x by c y bx ay d⎧=++⎨=-++⎩ 220a b +≠ 将变换代入直线a 的方程得：''121212k a b k a b k k a k b a k b++==--同理可得 5分 ''2121''212111k k k k k k k k --∴=++ 即''tan ,tan ,a b a b <>=<> 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分七、解：（1）设（5，1，7）为P 点坐标， 二阶曲线矩阵为A=231332121--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以点P 的极线为S P =0即 123231(5,1,7)3320121P x S x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭得 x 2=0 5分（2）略八（在后边）九、解：通过直线[1,3,1],[1,5,1]a b -的交点的直线的线坐标为[1,35,1]k k k ++- 2分若此直线属于二阶曲线则有 2224(1)(35)2(1)0k k k +++--=即 22742110k k ++= 解得111,39k k =-=- 10分 十、解：设123,,P A k B Q A k B R A k B =+=+=+由1122(,)1,(,)1(,)(,)(,)2,2PA QB PA QB PQ AB k AB PQ PQ AB k k k =-=-====得 由2323(,)1,(,)1k qr ab AB QR k k k =-==-⇒=-得 所以13(,)(,)2k PR AB AB PR k ===- 10分八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。