2020年浙江高三数学总复习：基本不等式 复习讲义

复习目标学法指导1.会推导基本不等式.2.会用基本不等式求最值.1.基本不等式具有放缩功能.2.基本不等式可以用来求函数式的最值,但必须具备三个条件,即一正、二定、三相等. —3.合理配凑基本不等式的三个条件求最值.4.求最值时尽量避免多次使用基本不等式,若多次使用,必须保证它们等号成立的条件一致,否则会出现错误.(对应学生用书第50页)一、基本不等式 基本不等式:ab ≤2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. }(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,ab 称为正数a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 、(1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0). (5)211a b+≤ab ≤2a b+≤222a b +(a>0,b>0).(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大) …2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥2P ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 *用f(x)+()b f x ≥2b (b>0)或f(x)+()bf x ≤-2b (b>0),求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +ab ( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +ab .!当2a b +ab ,有两个结论出现:20,0,a b ab ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a +4a b )]≥1292, 当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩"即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C.3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1, &所以原式=(1+a b a +)(1+a bb +)=(2+b a )(2+ab ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)(考点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( ) (A)3(B)72(C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ; (4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 . 解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x y xy +,.因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab, 可得b=231a aa-->0,解得1<a<3. —故2a+b=2a+231a a a--=a-1+21a -+3≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0,所以3 =1a +2b≥ab ≥89. 当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立,[所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3,所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy+-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+=2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥"f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增,所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1(1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B ) (A)1 (B)6(C)9(D)16】解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1,所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥19(1)1a a ⋅--当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, }x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x+ 1y)=3+x y +2y x≥3+22x y y x⋅=3+22,当且仅当x y =2yx, 即x=1+2,y=22+时取等号. 】答案:1 3+22考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b +1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a +1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b+b c)≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,取等号. 利用基本不等式证明不等式的策略[(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件; (2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换;(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +b a≥2+2=4. ,所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明12a +12b +2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1, 12a +12b +1()12a +⨯1()12b +⨯≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. (考点三 基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)设所用时间为t=130x(小时), y=130x ×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥2610,:当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即x=1810时,等号成立.故当x=1810千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.—1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少最少值是多少(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x⨯ =560+48x+10800x(x ≥10,x ∈N *). (2)因为x>0, )所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元). 故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大解:(1)由题意有1=4-1k,得k=3,故x=4-321t +.}故y=×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥ 故y=27-1821t +-t=[912t ++(t+12)]≤=. 当且仅当912t +=t+12,即t=时,等号成立,y 有最大值. ~所以,该厂家这一年的年促销费用投入万元时,厂家利润最大,最大利润为万元.考点四 易错辨析【例4】 已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,[即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥214ab ab⋅=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即222,2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取得等号. `故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).|(对应学生用书第53页)类型一 利用基本不等式比较大小 1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )(A)a<b<2a b + 2a b +<b2a b + 2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab<b 2,即a<又因a+b<2b,所以2a b+<b,2a b+,:所以a<2a b +<b.故选B.类型二 利用基本不等式求最值2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3] 解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y=1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4yx =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 .解析:由题意得y=232x x-, 所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, ￥当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg2xx -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b 的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2bb-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b=2a b +(3a +1b)=12(4+3b a +ab)≥12,当且仅当3ba=a b,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是.答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b +恒成立,则m 的最大值为 . 解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b+恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b )=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三 基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立, 即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a⊗为正实数).若1⊗k=3,则k的值为,此时函数的最小值为.解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”.答案:138.已知a>0,b>0,设M=max(a,ba+9ab),则M的最小值为.解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9bba+的图象(图略),可得M=9,,,bbaa a a⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a≤a0,其中a0是函数y=a,y=9bba+图象的交点横坐标,即2a=b+9b≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M的最小值为a0,而a0所以M答案。

第五节基本不等式．基本不等式≤()基本不等式成立的条件：.＞，＞()等号成立的条件：当且仅当＝.．几个重要的不等式()＋≥ (，∈)；()＋≥(，同号)；()≤(，∈)；()≤(，∈)．．算术平均数与几何平均数设＞，＞，则，的算术平均数为两个正数的算，几何平均数为，基本不等式可叙述为：术平均数不小于它们的几何平均数．．利用基本不等式求最值问题已知＞，＞，则()如果是定值，那么当且仅当＝时，＋有最小值是(简记：积定和最小)．()如果＋是定值，那么当且仅当＝时，有最大值是(简记：和定积最大)．[小题体验]．(教材习题改编)设，∈＋，且＋＝，则的最大值为．答案：．若实数，满足＝，则＋的最小值为．解析：＋＝＋()≥()＝，所以＋的最小值为.答案：．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．．“当且仅当＝时等号成立”的含义是“＝”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]．下列不等式一定成立的是( )．＞ (＞)．＋)≥(≠π，∈)．＋≥(∈)＞(∈)解析：选对于选项，当＝时，＝，故不一定正确；选项，需要满足当＞时，不等式才成立，故也不正确；选项等价于(－)≥，显然正确；选项不正确，∵＋≥，∴＜≤.．若()＝＋(＞)在＝处取得最小值，则等于( )．．答案：．函数()＝＋的值域为．答案：(－∞，－]∪[，＋∞)利用基本不等式求最值)[典例引领]．设直角坐标系平面内的三点(，－)，(，－)，(－，)，其中＞，＞，若，，三点共线，则＋的最小值为( )．．．．解析：选由题意得，＝(－)，＝(－－)．因为，，三点共线，所以(－)－(－－)＝，即＋＝.又＞，＞，所以＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝＝时等号成立，故选.．设＞＞，则＋＋的最小值是( )．．．．解析：选＋＋＝(－)＋＋＋≥ ＋＝，当且仅当－＝且＝，即＝，＝时取等号．．(·嘉兴高三测试)已知＞，＞，且满足＋＝＋，则＋的最小值为．解析：由＞，＞＋＝＋，可得＝＞，解得＜＜.故＋＝＋＝－＋＋≥＋＝＋，当且仅当－＝，即＝＋，＝时取等号．故＋的最小值为＋.答案：＋[由题悟法]利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路()对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．()条件变形，进行“”的代换求目标函数最值．[即时应用]．若＞，＞，＝＋＋，则＋的最小值为．解析：＋＋＝≤，∴(＋)－(＋)－≥.∴＋≤－或＋≥＋.∵＞，＞，∴＋≥＋.∴＋的最小值为＋.答案：＋．(·杭州质检)已知正数，满足＋－＝，则＋的最小值是．解析：由题意得＝，∴＋＝＋＝＝≥，当且仅当＝＝时，等号成立．答案：．已知正数，满足＋＝，求＋的最小值．解：∵，为正数，且＋＝，∴＋＝(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即当＝－，＝－时等号成立．∴＋的最小值为＋.基本不等式的实际应用)[典例引领]如图，设矩形(＞)的周长为，把它沿翻折，翻折后′交于点，设＝.()用表示；()用表示△的面积；()求△面积的最大值及此时的值．解：()∵＝，∴＝－，又＝′，∴＝′－′＝－＝－，∴由勾股定理有(－)＋＝(－)，∴＝－(＜＜)．()△＝·＝(－)＝－(＜＜)．()∵＜＜，∴＋≥ ＝，∴△＝－≤－，当且仅当＝，即＝时取等号．∴当＝时，△的面积取最大值－.[由题悟法]解实际应用题的个注意点()设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．()根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．()在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由形状为长方形的休闲区和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区的面积为，人行道的宽分别为和 (如图所示)．()设休闲区的长和宽的比＝(＞)，求公园所占面积关于的函数()的解析式；()要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？解：()设休闲区的宽为，则长为，由＝，得＝.则()＝(＋)(＋)＝＋(＋)＋＝＋(＋)·＋＝＋ (＞)．()()＝＋≥×＋＝＋＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立，此时＝，＝.所以要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别设计为 .利用基本不等式求参数的取值范围)[典例引领]．已知函数()＝＋＋的值域为(－∞，]∪[，＋∞)，则的值是( )．．解析：选由题意可得＞，①当＞时，()＝＋＋≥＋，当且仅当＝时取等号；②当＜时，()＝＋＋≤－＋，当且仅当＝－时取等号，所以(\\(－()＝，()＋＝，))解得＝.．已知函数()＝(∈)，若对于任意的∈*，()≥恒成立，则的取值范围是．解析：对任意∈*，()≥，即≥恒成立，即≥－＋.设()＝＋，∈*，则()＝＋≥，当＝时等号成立，又()＝，()＝.∵()＞()，∴()＝.∴－＋≤－，∴≥－，故的取值范围是.答案：[由题悟法]求解含参数不等式的求解策略()观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．()在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]．已知不等式(＋)≥对任意的正实数，恒成立，则正实数的最小值为( )．．．．解析：选(＋)＝＋＋＋≥＋＋＝(＋)(，，＞)，当且仅当＝时取等号，所以(＋)·的最小值为(＋)，于是(＋)≥恒成立．所以≥，故选.．已知正数，满足＋≤λ(＋)恒成立，则实数λ的最小值为．解析：依题意得＋≤＋(＋)＝(＋)，即≤(当且仅当＝时取等号)，即的最大值为.又λ≥，因此有λ≥，即λ的最小值为.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快．已知()＝，则()在上的最小值为( )．－．解析：选因为∈，所以()＝＝＋－≥－＝，当且仅当＝，即＝时取等号．所以()在上的最小值为.．当＞时，()＝的最大值为( )．．．解析：选∵＞，∴()＝＝≤＝，当且仅当＝，即＝时取等号．．(·哈尔滨二模)若＋＝，则＋的取值范围是( )．[－]．[]．(－∞，－]．[－，＋∞)解析：选由＝＋≥，变形为＋≤，即＋≤－，当且仅当＝时取等号，故＋的取值范围是(－∞，－]．．(·宁波模拟)已知实数，均大于零，且＋＝，则＋的最大值为．解析：因为＋＝－≤－＝－＝，当且仅当＝＝，即＝，＝时等号成立，所以＋的最大值为.答案：．若正数，满足＋＋＝，则的最大值为．解析：因为＞，＞，所以＝＋＋≥＋＝，所以≤，当且仅当＝，即＝，＝时等号成立．故的最大值为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．若，∈，且＞，则下列不等式中，恒成立的是( )．＋≥．＋＞＋＞＋≥解析：选∵＞，∴，是同号，∴＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．故选.．已知＞，＞，，的等比中项是，且＝＋，＝＋，则＋的最小值是( )．．．．解析：选由题意知＝，∴＝＋＝，＝＋＝，∴＋＝(＋)≥＝，当且仅当＝＝时取等号．．(·义乌六校统测)，∈，且＋＝，则＋的最小值是( )．．．．解析：选＋＝＋≥＝，当且仅当＝，＝时取等号，∴最小值为.．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )．．．解析：选设两段长分别为，(－)，则＝＋＝≥×＝，当且仅当＝－，即＝时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为 .．若实数，满足＋＝，则的最小值为( )．．．解析：选因为＋＝，所以＞，＞，由＝＋≥ ＝，得≥(当且仅当＝时取等号)，所以的最小值为.．已知＞，＞，若不等式＋≥恒成立，则的最大值为( )．．．．解析：选由＋≥，得≤(＋)＝＋＋.又＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝时等号成立，∴≤，∴的最大值为.．(·金华十校联考)已知实数，，满足(\\(＋＝，＋＋＝，))则的最小值为．解析：由＋＝，得＝，所以＝＋＋≥＋，即(\\(≥，＋－≤))或(\\(＜，－－≤，))解得≤≤－＋或－≤＜，所以＝·＝－＋.综上，知当＝－时，取得最小值－.答案：－．已知函数()＝(＋)－(＞且≠)的图象恒过定点，若直线＋＝－(＞，＞)也经过点，则＋的最小值为．解析：由题意，函数()＝(＋)－(＞且≠)，令＋＝，可得＝－，代入可得＝－，∴图象恒过定点(－，－)．∵直线＋＝－(＞，＞)也经过点，∴＋＝，即＋＝.∴＋＝(＋)＝＋＋＋≥ ＋＝，当且仅当＝＝时，取等号，∴＋的最小值为.答案：．()当＜时，求函数＝＋的最大值；()已知＞＞，求＋的最小值．解：()＝(－)＋＋＝－＋.当＜时，有－＞，∴＋≥ ＝，当且仅当＝，即＝－时取等号．于是≤－＋＝－，故函数的最大值为－.()∵(－)≤＝，∴＋≥＋≥.当且仅当(\\(＝－，＝，))即(\\(＝()，＝()))时取等号．故＋的最小值为.．已知＞，＞，且＋－＝，求：()的最小值；()＋的最小值．解：()由＋－＝，得＋＝，又＞，＞，则＝＋≥ ＝，得≥，当且仅当＝，＝时，等号成立．所以的最小值为.()由＋－＝，得＋＝，则＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝.当且仅当＝且＝时等号成立，所以＋的最小值为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数，满足＋＋＋＝，则(＋)＋的最大值为．解析：由题意，得(＋)＋()＝，记＋＝，＝，≥，则＋＝，令(\\(()＝θ，＝θ，))∵(＋)＝＋＋≥，∴≥，即θ))≥ θ，∴θ≥θ，∴－θ≥θ，解得≤ θ≤，∴≤ θ≤.故(＋)＋＝＋＝θ＋θ＝(θ＋φ)φ＝()))，当θ＝，θ＝时，(＋)＋取得最大值，最大值为＋.答案：＋．(·台州三区适应性测试)设＞＞＞，若不等式＋≥·对所有满足题设的，，均成立，则实数的最大值是．解析：不等式＋≥·⇔－ )＋－ )≥·－ )，即－ )＋－ )≥－ )，又＞＞＞，故＞＞，即≤－ )＋( － )))( － )＝－ )＋( － )))·( －＋－ )＝＋－－ )＋－－ ).又－－ )＋－－ )≥－－ )·( －－ ))＝，当且仅当－－ )＝－－ )，即＝时取等号，故≤，即＝.答案：命题点一不等关系与一元二次不等式．(·北京高考)设集合＝{(，)－≥，＋＞，－≤}，则( )．对任意实数，()∈．对任意实数，()∉．当且仅当＜时，()∉．当且仅当≤时，()∉解析：选若点()∈，则不等式－≥显然成立，且同时要满足(\\(＋＞，－≤，))即(\\(＞()，≥，))解得＞.即点()∈⇒＞，其等价命题为≤⇒点()∉成立．故选.．(·浙江高考)已知函数()＝＋＋＋，且＜(－)＝(－)＝(－)≤，则( )．＜≤．≤．＜≤．＞解析：选由题意，不妨设()＝＋＋＋－，∈(]，则()的三个零点分别为＝－，＝－，＝－，因此有(＋)(＋)(＋)＝＋＋＋－，则－＝，因此＝＋∈(]．．(·浙江高考)已知实数，，，( )．若＋＋＋＋＋≤，则＋＋＜．若＋＋＋＋－≤，则＋＋＜．若＋＋＋＋－≤，则＋＋＜．若＋＋＋＋－≤，则＋＋＜解析：选对于，取＝＝，＝－，显然＋＋＋＋＋≤成立，但＋＋＞，即＋＋＜不成立．对于，取＝，＝－，＝，显然＋＋＋＋－≤成立，但＋＋＝，即＋＋＜不成立．对于，取＝，＝－，＝，显然＋＋＋＋－≤成立，但＋＋＝，即＋＋＜不成立．综上知，、、均不成立，所以选.命题点二简单的线性规划问题．(·浙江高考)若，满足约束条件(\\(≥，＋－≥，－≤，))则＝＋的取值范围是( )．[]．[]．[，＋∞)．[，＋∞)解析：选作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由＝＋，得＝－＋，∴是直线＝－＋在轴上的截距，根据图形知，当直线＝－＋过点时，取得最小值．由(\\(－＝，＋－＝，))得＝，＝，即()，此时，＝，∴＝＋的取值范围是[，＋∞)．．(·天津高考)设变量，满足约束条件(\\(＋≤，－≤，,－＋≤，≥，))则目标函数＝＋的最大值为( )．．．．解析：选作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由＝＋得＝－＋.设直线为＝－，平移直线，当直线＝－＋过点时，取得最大值．联立(\\(－＋＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝，))即()，所以＝×＋×＝.．(·浙江高考)若平面区域(\\(＋－≥，－－≤，－＋≥))夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )解析：选根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，当斜率为的直线分别过点和点时满足条件，联立方程组(\\(＋－＝，－＋＝))求得()，联立方程组(\\(－－＝，＋－＝))求得()，可求得分别过，两点且斜率为的两条直线方程为－＋＝和－－＝，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选.．(·北京高考)若，满足＋≤≤，则－的最小值是．解析：由条件得(\\(＋≤，≤，))即(\\(－＋≤，－≥，))作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设＝－，即＝＋，作直线：＝并向上平移，显然当过点()时，取得最小值，＝×－＝.答案：．(·浙江高考)若，满足约束条件(\\(－≥，＋≤，＋≥，))则＝＋的最小值是，最大值是．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由(\\(＋＝，＋＝，))解得(，－)．由(\\(－＝，＋＝，))解得()．将函数＝－的图象平移可知，当目标函数的图象经过(，－)时，＝＋×(－)＝－；当目标函数的图象经过()时，＝＋×＝.答案：－命题点三基本不等式．(·天津高考)已知，∈，且－＋＝，则＋的最小值为．解析：∵－＋＝，∴－＝－.∴＋＝＋－≥＝＝＝×－＝，当且仅当(\\(＝－，－＋＝，))即(\\(＝－，＝))时等号成立．答案：．(·江苏高考)在△中，角，，所对的边分别为，，，∠＝°，∠的平分线交于点，且＝，则＋的最小值为．解析：如图，∵△＝△＋△，∴· °＝×× °＋×× °，∴＝＋.∴＋＝.∴＋＝(＋)＝＋＋≥ ＋＝，当且仅当＝，即＝时取等号．故＋的最小值为.答案：．(·天津高考)若，∈，＞，则的最小值为．解析：因为＞，所以≥＝＝＋≥＝，当且仅当(\\(＝，＝()))时取等号，故的最小值是.答案：．(·江苏高考)某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是．解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×＋＝≥＝，当且仅当＝时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时的值是.答案：命题点四绝对值不等式．(·天津高考)已知函数()＝(\\(－＋，≤，＋()，＞.))设∈，若关于的不等式()≥在上恒成立，则的取值范围是( )．[－，]解析：选法一：根据题意，作出()的大致图象，如图所示．当≤时，若要()≥恒成立，结合图象，只需－＋≥－，即－＋＋≥，故对于方程－＋＋＝，Δ＝－(＋)≤，解得≥－；当＞时，若要()≥恒成立，结合图象，只需＋≥＋，即＋≥.又＋≥，当且仅当＝，即＝时等号成立，所以≤.综上，的取值范围是.法二：关于的不等式()≥在上恒成立等价于－()≤＋≤()，即－()－≤≤()－在上恒成立，令()＝－()－.当≤时，()＝－(－＋)－＝－＋－＝－－，当＝时，()＝－；当＞时，()＝－－＝－≤－，当且仅当＝，且＞，即＝时，“＝”成立，故()＝－.综上，()＝－.令()＝()－，当≤时，()＝－＋－＝－＋＝＋，当＝时，()＝；当＞时，()＝＋－＝＋≥，当且仅当＝，且＞，即＝时，“＝”成立，故()＝.综上，()＝.故的取值范围为.．(·江苏高考)设＞，－＜，－＜，求证：＋－＜.证明：因为－＜，－＜，所以＋－＝(－)＋(－)≤－＋－＜×＋＝.．(·全国卷Ⅰ)已知()＝＋－－.()当＝时，求不等式()＞的解集；()若∈()时不等式()＞成立，求的取值范围．解：()当＝时，()＝＋－－，即()＝(\\(－，≤－，，－＜＜，，≥.))故不等式()＞的解集为错误!.()当∈()时＋－－＞成立等价于当∈(，)时－＜成立．若≤，则当∈()时，－≥，不满足题意；若＞，则－＜的解集为错误!，所以≥，故＜≤.综上，的取值范围为(]．．(·全国卷Ⅱ)设函数()＝－＋－－.()当＝时，求不等式()≥的解集；()若()≤，求的取值范围．解：()当＝时，()＝(\\(＋，＜－，，－≤≤，,－＋，＞.))当＜－时，由＋≥，解得－≤＜－；当－≤≤时，显然满足题意；当＞时，由－＋≥，解得＜≤，故()≥的解集为{－≤≤}．()()≤等价于＋＋－≥.而＋＋－≥＋，且当＝时等号成立．故()≤等价于＋≥.由＋≥，可得≤－或≥，所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．。

第三节二次函数与不等式备考方向明确1. 一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二 次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又 要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数图象揭示解2. 解一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后解得其 对应的一元二次方程的两个根，再借用图象写出不等式的解集.网络构建 复习目标 学法指导 1. 二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系.2. 一元二次不等式的一般解法.3. 含绝对值的一元二次不等式、含参数的一元二次不等式的解法.（集）的几何特征.二机崩歆ax 2+bx+c=0(a>0)的根X l ,X 2(x X l =X 2 2八ax +bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x i 或 X>X 2}{X|X 半订} ax 2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x 1VXVX 2} 、二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系△ >0 △ =0<0 二次函数 y=ax 2+bx+c(a>0)的图象有两相异实根 有两相等实根 没有实 一元二次方程三个“二次”间关系二次函数、一元二次不等式、一元二次方程可以相互转化.即令二次函数y=ax2+bx+c的y=0,则原式变为一元二次方程ax2+bx+c=0,令一元二次不等式ax2+bx+c>0的不等号变为等号，则原式转变为一元二次方程ax2+bx+c=0.二、一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)的解法解一元二次不等式首先应将二次项系数化为正值，然后根据不等式对应的二次方程的根的情况得出解集.关于ax2+bx+c>0,x € R恒成立可等价为心“或c _0a 0,.-■：<o.［拓1. 解法理解(1) 表达式中最高次项前含有字母参数，注意是否需要讨论.(2) 解一元二次不等式的一般步骤：①一解：解出方程ax2+bx+c=0的实根；②二画：画出函数y=ax +bx+c的图象；③三读:读出不等式的解集(结合原不等式和图象).2. 相关联知识(1) 对于含参数的不等式，必须进行讨论，在讨论时常用逻辑划分的思想进行分类,然后对划分的每一类分别进行求解，再综合解出答案.(2) 含绝对值不等式的常见解法主要有以下几种：①|f(x)|>c 与|f(x)|vc(c>0) 型；②I f(x)|>g(x)(f(x)vg(x)) 型；③|f(x)| 士|g(x)|>c 型；④a<|f(x)|<b 型.1. 若不等式x2+2x+a>-y2-2y对任意实数x,y都成立，则实数a的取值范围是(C )(A) [0,+ 乂) (B)[1,+ 乂) (C)[2,+ 乂) (D)[3,+ 乂)解析：由已知得a>-(x+1) 2-(y+1) 2+2,而-(x+1) 2-(y+i) 2+2的最大值为2,所以a>2,故选C.2. 不等式x2-|x|-2<0 的解集是(A )(A){x|-2<x<2} (B){x|<-2 或x>2}(C){x|-1<x<1} (D){x|x<-1 或x>1}解析：原不等式=|x| 2-|x|-2<0 二(|x|-2)(|x|+1)<0 =|x|-2<0 =-2<x<2.3. 若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(A )(A)(- 乂,-2) (B)(-2,+ 乂)(C)(-6,+ 乂) (D)(- 乂,-6)解析：不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于2a<(x -4x-2) maq令f(x)=x 2-4x-2,x € (1,4),所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.故选A.4. (2018 •浙江温州中学高三模拟)设函数f(x)二x 2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则 (C ) (A)f(m+1) > 0 (B)f(m+1) < 0 (C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<0 解析:f(0)=f(-1)=a>0,f(m)<0, 所以-1<m<0,0<m+1<1,f(x)在(-丄,+ 乂)上单调递增, 2 所以 f(m+1)>f(0)>0. 故选C. -高频考点突破 ' ------------------------- 走謝尊中旺挝，左 --- 考点一 一元二次不等式与一元二次方程之间的关系 【例1】已知不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-「3),求不等式cx 2+bx+a<0的解集. 解：法一 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-2 ,3), 和3是方程ax +bx+c=0的两个根. a <0,由一・一「3=5,a 2 2 £=〔_! \<3=^ a \ 2 ) 2cx 2+bx+a=c(x 2+b x+a )c c=c(x 2+5x--)\ 3 3/=c(x+2)(x- 1), 所以不等式cx 2+bx+a<0的解集为(-2,彳).法二 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-1,3),得a<0且--和3是方程ax 2+bx+c=0的两个根.2在方程cx 2+bx+a=0中,因为a ^ 0,得x 工0.所以a<0,且-- 2 c ：：:0,b 5c =3,得a _ 2C 一飞‘设y=1,方程cx2+bx+a=0 可化为ay2+by+c=0.x由-1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根，得-2和」是方程cx2+bx+a=0的两个根.2 3又方程的两根异号及a<0,得c>0.所以，不等式cx2+bx+a<0的解集为(-2, 3).3◎冬◎学：二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(抛物线)与x轴的两交点的横坐标x i,X2(x i<X2),即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，同时，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x<x i 或x>X2};对于ax2+bx+c<0(a>0),解集是{x|x i<x<x2}. 考点二lf(x)|>c 与|f(x)|vc(c>0) 型含绝对值一元二次不等式【例2】解不等式|x2-2x-1|<1.解：原不等式可化为-1<x2-2x-1<1,解不等式x2-2x-1>-1得,x<0或x>2;解不等式x2-2x-1<1 得,1- 3<x<1+ 3 ,所以原不等式解集为{x|1- 3<x<0或2<x<1+ 3}.陽撞頊述,对|f(x)|>c 与|f(x)|<c(c>0) 型含绝对值不等式问题，有两种方法.法1:将f(x)看作整体,转化为|x|<c或|x|>c型,利用|x|<c和|x|>c同解变形原理化为不含绝对值的不等式求解；法2:利用绝对值的意义，对绝对值内部通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.[辻移wm]设max{a,b}二a,a _b,已知x,y € R,m+n=6则F=max{|x2-4y+m|,|y 2-2x+n|}的最小b,a G,值为________ .解析：因为max{a,b}二a,a山且m+n=6,b,a :::b.2 2F=max{|x -4y+m|,|y -2x+n|},故F> |x 2-4y+m|,F > |y 2-2x+n|所以2F> |x 2-4y+m|+|y 2-2x+n| > |x 2-4y+m+y2-2x+n|=|(x-1) 2+(y-2) 2+1| > 1,所以F> 1,2故F=max{|x2-4y+m|,|y 2-2x+n|}的最小值为1.答案：丄2考点三易错辨析【例3】已知f(x)=(x+1) • |x-1|,若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.解：函数解析式f(x)=(x+1) • |x-1| =x2 _1,x _1,(1)x > 1 时，由x2-1=x+m,1 -x2, x ：:：1.由两根之和为1,得此方程大于1的解至多一个.设x=1+t,原方程可化为t2+t-1-m=0.原方程有一个大于1的解,即此方程有一个正解.由-1-m<0,得m>-1时，方程f(x)=x+m有一个大于1的解；⑵x<1 时，由1-x 2=x+m得x2+x-1+m=0.设x=1+t,原方程可化为t2+3t+1+m=0•原方程有两个小于1的解,即此方程有两个负解. 由人=9_4_4m=5_4m.0,得-i<m<5时,方程f(x)=x+m有两个小于1的解；1 m .0, 4综合(1),(2),当-1<m<5时，关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解.易错分新易错点有两处:(1)采用数形结合易发现，它的图象是由两段抛物线弧组成，因此方程f(x)=x+m的三个不同的实数解表现为直线y=x+m与其中一段抛物线弧有两个交点，与另一段抛物线弧仅有一个交点，边界值容易混淆出错.(2) 观察它们的图象易知，应对x分类讨论，容易被忽略.即当x> 1时,方程有一解；当x<1时,方程有两解.［辻移明蛛］已知函数f(x)= I 7，x3,若方程f(x)=x+a在区间［-2,4］内有3个不等实根, ］2f x -2 ,x 二j0, ■ f , 则实数a的取值范围是(C )(A) {a|-2<a<0}(B) {a|-2<a < 0}(C) {a|-2<a<0 或a=1}(D) {a|-2<a<0 或1<a<2}解析：画出函数f(x)的大致图象如图，平移直线y=x+a知当a=1或-2<a<0时,y=x+a与y=f(x)图象有3个交点.故选C.。

第3讲 基本不等式：ab ≤a ＋b2最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (3)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( ) (5)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5. (5)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C. 答案 C3.(2015·福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.答案 C 4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号. 答案 15 1526.(2017·浙江五校联考)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy 的最小值为________. 解析 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1， ∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ， ∴x －y ＝2x －1，又0<x <1， ∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1， 即x －y 的取值范围为(－1，1). 1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋xy 的最小值为3. 答案 (－1，1) 3考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2（5－4x ）15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t ＋1， 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)(2017·丽水模拟)若对任意的x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________. (2)(2016·东阳检测)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8B.4C.2D.0解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]). (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】 (2017·湖州月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”. ∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. [易错防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.答案 C2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 D3.(2017·浙江省名校协作体联考)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C. 答案 C4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D5.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C6.(2017·日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A.2－ 2 B.2＋ 2 C.4＋2 2D.4－2 2解析 x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号.故选D.答案 D7.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C8.(2017·瑞安市调研)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，得ab ＝1， 则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B.答案 B 二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10.(2016·嘉兴一中检测)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________.解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4. 答案 －411.若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x， 因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则13＋x ＋1x≤13＋2＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞12.(2017·嵊州月考)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. 解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元. 答案 2 20能力提升题组(建议用时：15分钟)13.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A.0B.1C.94D.3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B14.(2017·金华十校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b 2的最小值为________.解析 不等式组所表示的平面区域是以(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1，1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1，1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8. 答案 815.点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________.解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，所以ab 的最大值为1.答案 116.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.解析因为a＞0，b＞0，1a＋9b＝1，所以a＋b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋9b＝10＋ba＋9ab≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案[6，＋∞)17.(2017·浙江五校联考)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值为________.解析由于a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b，由于b>0，|a|>0，所以b4|a|＋|a|b≥2b4|a|·|a|b＝1，因此当a>0时，12|a|＋|a|b的最小值是14＋1＝54.当a<0时，12|a|＋|a|b的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋|a|b的最小值为34，此时⎩⎨⎧b4|a|＝|a|b，a<0，即a＝－2.答案－23 4。