2010-1011概率统计期末考试试卷A卷(3学时)

安徽大学江淮学院20 11 —20 12 学年第 1 学期《 概率论与数理统计 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号一、填空题（每小题3分，共15分）1. 设离散随机变量X 的概率分布为(),1,2...,2ka P X k k a ====则 .2. 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)2(2),P X P X ===则(35)D X -+=.3. 从一批零件中抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）的均值,9.19=x标准差2.0=s ，设零件直径服从正态分布2(,)N μσ，其中μ未知，0.21m m σ=则这批零件平均直径μ的置信度为0.95的置信区间为 . （0.950.9751.645, 1.96,u u ==0.950.975(8) 1.8595,(8) 2.306,t t ==0.950.975(9) 1.8331,(9) 2.2622t t ==）4．设随机变量~[0,1]X R ，用切比雪夫不等式估计1(||2P X -≥≤ .5．~(2,4),~(3,2)X N Y N 且X 与Y 相互独立，则2~X Y - ，(21)P X Y -<=.二、选择题（每小题3分，共15分）6．若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ ）A. 0D X DY⋅= B．()0D X Y ±= C ．,X Y 相互独立. D ．,X Y 不相关.7. 设随机变量22~(,),~()X N Y n μσχ，,X Y相互独立，Z =则以下结论正确的是（ ）A. ~(0,1)Z N B . ~()Z t n C . ~(1)Z t n - D . ~(1,)Z F n8．设A,B 为两个随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则有（ ）A ．()()P AB P A ⋃> B ．()()P A B P B ⋃>C ．()()P A B P A ⋃=D ．()()P A B P B ⋃=9. 下列各函数是随机变量分布函数的为（ ）A . 21(),1F x x x=-∞<<+∞+ B.()1F x xx⎧⎪=⎨⎪+⎩00x x ≤>C. (),xF x e x -=-∞<<+∞ D. 31()arctan ,42F x x x =+-∞<<+∞π10. 在假设检验中，原假设和备择假设（ ）A. 都有可能成立.B. 都有可能不成立.C. 只有一个成立而且必有一个成立.D. 原假设一定成立，备择假设不一定成立.三、计算题（共64分）11. （本小题10统单独使用时，其有效的概率A 为0.92，B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率.12.（本小题7分）在单位圆O 的一条直径MN 上随机取一点Q ，过点Q 做弦与MN 垂直，且弦的长度大于1，求满足条件的Q 的概率.13.（本小题9分）设随机变量(,)X Y 的联合分布律为求（1）,,,EX EY DX DY ；（2）2,2X Y X Y ξη=-=+，求ξη与的协方差.14.（本小题11分）设~(2)X E（1）求ln Y X =的密度函数()Y f y ；（2）求X Z e =的分布函数()Z F z .15. (本小题12)设二维随机变量()Y X ,具有联合概率密度4(,)0xy f x y ⎧=⎨⎩01,01x y <<<<其它(1)求,X Y 的边缘密度，并判断,X Y 是否独立 (2)求,,cov(,)EX EY X Y (3)求Z X Y =+的分布.16. (本小题8分) 设总体X 的概率密度函数为2()0xxef x λα-⎧⎪=⎨⎪⎩00x x >≤，其中0α>为常数，0λ>为未知参数，12(,,...)n X X X 是总体X 的一个子样，（1）确定常数α；（2）求λ的极大似然估计λ∧.17．(本小题7分) 机器自动包装食品，设每袋食品的净重量服从正态分布，规定每袋食品的标准重量为500克，某天开工后，为检查机器是否工作正常，随机抽查9袋，测得净含量为 497 507 510 475 488 524 491 515 511（单位：克）问：在已知216σ=的情况下能否以为每袋重量符合标准？（取0.05α=） （0.950.9751.645, 1.96,u u ==0.950.975(8) 1.8595,(8) 2.306,t t ==0.950.975(9) 1.8331,(9) 2.2622t t ==）四、证明题（共6分）18.(本小题7分)设~()sin,cosπ，π，-==X R Y X Z X 证明：Y Z与不相关，且不独立.。

于是所求概率为 P(20X > 400 = P(X > 20 = 1 - P(X £ 20 = 1 - F( 20 - 25 18.75 . = F( 5 18.75 = F(1.15 = 0.8749. 4. (14 ¢设二维随机向量 (X,Y 有联合密度函数 f (x, y = ï í ì ïAx, 0 < y < x < 1, 0, ï ï î others ， (1 求 A ； (2 边缘密度 fX (x , fY (y ； (3 求 X 及Y 的期望与方差 E(X , D(X , E(Y , D(Y ; (4 求协方差Cov(X,Y ; (5 问： X 与Y 是否相关，是否独立，为什么？解答： (1 由有密度函数的归一性有 +¥ +¥ 1= -¥ -¥ A ò ò f (x, y dxdy = ò dx ò Axdy = 3 ， 0 0 1 x 故A = 3 ； (2 由边缘密度函数公式得 x ìï ï ïò 3xdy = 3x 2 , x Î (0, 1 fX (x = ò f (x, y dy = ï í0 ï ï -¥ 0, others ï ï î 1 ì ï +¥ ï 3xdx = 3(1 - y 2 2, y Î (0, 1 ï ò ï fY (y = ò f (x, y dx = í y ï ï -¥ 0, others ï ï î +¥ +¥ 1 (3 E(X =+¥ -¥ 1 ò xfX (x dx = ò x ⋅ 3x dx = 4 , 2 0 2 3 E(X 2 = -¥ ò x 2 fX (x dx = òx 0 ⋅ 3x 2dx = 3 , 5 D(X = E(X 2 - (E(X 2 = 3 3 3 - ( 2 = ; 5 4 80+¥ 1 E(Y = -¥ +¥ ò yfY (y dx = 2 ò 0 y⋅ 1 3(1 - y 2 3 dx = , 2 8 3(1 - y 2 1 dx = , 2 5 E(Y = 2 -¥ ò y fY (y dx = ò 0 y2 ⋅ D(Y = E(Y 2 - (E(Y 2 = +¥ +¥ 1 3 3 - ( 2 = ; 5 8 320 1 x (4 E(XY = -¥ -¥ ò ò xyf (x, y dxdy = ò 0 3x 2dx ò ydy = 1 3 ; 10 Cov(X ,Y =E(XY - E(X E(Y = 3 3 3 3 - ´ = ; 10 4 8 160 (5 因Cov(X,Y ¹ 0, 故 X 与Y 相关，不独立. x ì ï x 2 -q ï e , x > 0, ï 5. (10¢设总体 X 的密度函数为 f (x, q = í 2q 3 其中 q > 0 为未知参数，是自 X 的样本，为样本观测值，求参数 q 的矩估计ˆ 和极大似然估计q ˆ . q M L 解答：矩估计法：因+¥ +¥ E(X = -¥ ò xf (x, q dx = ò 0 x 2 -q q x 3 e dx = 2 2q x +¥ ò 0 x - x q ( 2 e q d = G(3 = 3q; q q 2 x 故q = E(X ˆ = X; ，用 X 代替 E(X 得 q 的矩估计为 q M 3 3 n 极大似然估计法：似然函数为- xi q =2 q -n -3n - e 1 x n q ， n 1 n 从而有 ln L(q = -n ln 2 - 3n ln q - å x i + 2å ln xi ； q i =1 i =1 似然方程为；ˆ = 解似然方程得 q 的极大似然估计值为q L ˆ = 相应地， q 的极大似然估计量为 q L X . 3 1 3n åx i =1 n i = x , 3 6． (12¢对某厂的冷却水抽样检查一天中水中含氧量（单位： ppm ）7 次，得观测值为 1.15, 1.86, 0.75, 1.82, 1.14, 1.65, 1.90. 设水中含氧量服从正态分布 N (m, s 2 . ； (1 求冷却水中平均含氧量 m 的 95% 置信区间（小数点后保留三位） (2 可否认为该天冷却水中平均含氧量 m 超过 1.6(a = 0.05?n\p 附 t 分布表 6 7 0.95 1.9432 1.8946 0.975 2.4469 . 2.3646 2 2 解答：设该天冷却水中含氧量，此处 m, s 均未知. 由所给样本算得 x = 1.467143, s =0.45121. (1 因总体方差 s 2 ，于是总体均值 m 的置信区间为 (x - t1-a 2 (n - 1 s n , x - t1-a 2 (n - 1 0.45121 7 s n 0.45121 7 = (1.467143 - t1-0.05 2 (7 - 1 = (1.467143 - t0.975 (6 = (1.467143 - 2.4469 = (1.0498, 1.8844 ； , 1.467143 + t1-0.05 2 (7 - 1 0.45121 70.45121 7 0.45121 7 , 1.467143 + t0.975 (6 , 1.467143 + 2.4469 0.45121 7 (2 由题意，待检假设为： H 0 : m = m0 = 1.6, 因总体方差 s 未知，故用 t 检验法. 2 H 1 : m > m0 .当 H 0 成立时， t = X - - 1 ；对给定的 a = 0.05 ，查表得 t1-a (n -1 = t0.95 (6 = 1.9432 ，从而拒绝域为W = t > t1-a (n - 1 = t > 1.9432 ；代入观测值计算得 t = { } { } x - m0 s n = 1.467143 - 1.6 0.45121 7 = -0.779 < 1.9432, 故应不拒绝H 0 ，不能认为该天冷却水中平均含氧量 m 超过 1.6. 7. (6¢设二维随机变量 (X,Y的密度函数为 y y =x ì ï3x, 0 < y < x < 1, ，令 f (x, y = ï í 0, others ï ï î Z = X -Y , 求 Z 的密度函数. o 解答： (1 显然 Z 的有效取值范围为 R(Z = (0, 1; y = x -z 1 x (2 如图，对任意的 z Î R(Z , 即 z Î (0, 1, Z 的分布函数为 FZ (z = P(Z £ z = P(X -Y £ z = P(Y ³ X- z 1 x -z = 1 - P(Y < X - z = 1 1 y £x -z òò f (x, y dxdy = 1 - ò dx ò 3xdy z 0 = 1 - 3 ò x (x - z dx = z 3 1 z - z 3; 2 2 (3 对任意的 z Î (0, 1, Z 的密度函数为 fZ (z = FZ¢(z = d 3 1 3 ( z - z 3 = (1 - z 2 ; dz 2 2 2 ì ï ï 3 (1 - z 2 , z Î (0, 1 (4 从而， Z 的密度函数 fZ (z = ï . í2 ï z Ï (0, 1 0, ï ï î。

系别 专业 年级 姓名 学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 建工09专升本各 专 业 概率论与数理统计 课2009——2010学年度第一学期期末考查试卷(A 卷)一、单项选择题 (每小题3分, 共30分)1. 下列各项正确的是（ ）（A ）()A B C A B C = （B ）A B A AB -=- （C ）()()A B B A B B -=- （D ）()AB AB =Φ 2. 已知,()1()14AB P A P B =Φ==，则（ ）（A ）()112P A B = （B ）()712P A B = （C ）()12P A B = （D ）()34P = 3. 下列命题正确的是（ ）（A ）如果事件A 发生，事件B 就一定发生，那么()()P A P B <。

（B ）概率为0的事件为不可能事件。

（C ）连续型随机变量的分布函数在整个实数域内都是左连续的。

（D ）随机变量的数学期望反映了该变量取值的集中（或分散）程度。

4. 设随机变量X 的密度函数为,0;()0,x X e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其它.其中，未知参数0λ>，则下述命题不正确的是（ ）（A ）X 是连续型的随机变量。

（B ）随机变量X 的分布函数在整个实数域内都连续。

（C ）随机变量X 的方差不存在。

（D ）随机变量X 的分布函数的定义域是(,)-∞+∞。

5. 已知2(0,1),X N Y X = ，则下列选项不正确的是（ ）（A ）(0)12P Y ≥= （B ）(0)1P Y ≥= （C ）()1E Y = （D ）()2D Y = 6. 已知二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|,}(0)D x y a x a a y a a =-≤≤-≤≤>上服从均匀分布，则概率222()P X Y a +≤（ ）（A ）随a 的增大而增大 （B ）随a 的增大而减小 （C ）与a 无关的定值 （D ）随a 的变化增减不定 7. 已知随机变量X Y 与的相关系数0ρ<，则（ ）（A ）()())D X Y D X D Y +≥+( （B ）()())D X Y D X D Y +<+( （C ）()())D X Y D X D Y -≥+( （D ）()())D X Y D X D Y -<+( 8. 设随机变量(,)(3,2,4,9,0.4)X Y N ，则（ ）（A ）(,)0.4Cov X Y = （B ）(,)4Cov X Y = （C ）(,)9Cov X Y = （D ）(,) 2.4Cov X Y = 9.估计量的评选标准不包括下述的哪个选项（ ）（A ）无偏性 （B ）收敛性 （C ）相合性 （D ）有效性 10.在假设检验中，下列说法正确的是（A ）第一类错误又叫“受伪” 或“取伪” 的错误 （B ）第二类错误又叫“拒真”或“弃真” 的错误 （C ）第一类错误又叫“拒真”或“弃真” 的错误 （D ）以上都不对二、填空题（每小题2分，共10分）1.在10个产品中有8个次品，2个正品。

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B =U ()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+UC 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==L ，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。