三角函数各单元

人教版七年级上册数学第五六单元知识点：
三角函数的诱导公式
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n (pi;/2)a的三角函数转化为角a的三角函数。

常用的诱导公式
公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kpi;+a)=sina kisin;z
cos(2kpi;+a)=cosa kisin;z
tan(2kpi;+a)=tana kisin;z
cot(2kpi;+a)=cota kisin;z
公式二：设a为任意角，pi;+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：
sin(pi;+a)=-sina
cos(pi;+a)=-cosa
tan(pi;+a)=tana
cot(pi;+a)=cota
现在是不是感觉为大家准备的七年级上册数学第五六
单元知识点很关键呢?欢迎大家阅读与选择!
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excel三角函数的计算方法
Excel中经常需要使用到三角函数进行计算，三角函数具体该如何使用呢?下面是店铺带来的关于excel三角函数的计算方法，希望阅读过后对你有所启发!
excel三角函数的计算方法：
三角函数计算步骤1：打开工作表，在A2单元格里输入要计算的角度值，在B2,C2,D2单元格中分别输入需要计算的三角函数。

三角函数计算步骤2：在B2单元格中输入正弦函数计算公式：=SIN(A1*PI()/180)
三角函数计算步骤3：在C2单元格中输入余弦函数计算公式：=COS(A1*PI()/180)
三角函数计算步骤4：在D2单元格中输入正切函数计算公式：=TAN(A1*PI()/180)
三角函数计算步骤5：选定B2,C2,D2三个单元格，用拖拉的方式将上面的公式复制到下面几个单元格
三角函数计算步骤6：在A2.....6单元格中输入不同的角度值，在对应的计算函数单元格中就显示出相应的计算结果。

三角函数第一部分1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角，2α是第 象限角。

5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）练习：1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）Α.终边相同的角一定相等。

张喜林制单元知识整合二、本章知识整合 1．角的概念的推广 (1)正角、负角、零角．(2)所有与α终边相同的角的集合：,360|{αββ+⋅= k }z k ∈或}.,2|{z k k ∈+=απββ (3)象限的角与轴线角．第一象限的角：}.,90360360|{z k k k ∈+⋅<<⋅ αα 第二象限的角：}.,180390360|{z k KJ k k o o o ∈+⋅<<+⋅ αα 第三象限的角：}.,270360180360|{z k k k ∈+⋅<<+⋅ αα 第四象限的角：}.,36090360|{z k k k o ∈⋅<<-⋅ αα终边落在x 轴非负半轴的角},,360|{z k k o ∈⋅=αα终边落在x 轴非正半轴上的角},,180360|{z k k ∈+⋅= αα终边落在x 轴上的角},,180|{z k k ∈⋅= αα终边落在y 轴非负半轴上的角},,)3|{z k k o ∈∞+⋅= ααα终边落在y 轴非正半轴上的角},,2703|{z k k ∈+⋅= ωαα 终边落在y 轴上的角.|{k =αα}.,90180z k ∈+ 2．弧度制(1)角度制、弧度制 角度制：规定周角的3601为1度角，记作.1用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，弧度制：我们把长度等于半径长的孤所对的圆心角叫1弧度的角，记作lrad ．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)弧度数公式角α的弧度数的绝对值,||rl=α其中l 是以角α作为圆心角时所对孤的孤长．r 是圆的半径． (3)孤长公式角度制下的孤长公式180rn l π=（其中l 为孤长．r 为圆半径，n 为圆心角度数）． 弧度制下的孤长公式r l ||α=（其中l 为弧长，α 为圆心角的弧度数，r 为圆半径）． (4)扇形的面积公式(s 为扇形面积，r 为圆半径，l 为孤长α为圆心角的弧度数).||21212r lr s α==(5)角度与弧度的换算方法,180,2360rad rad ππ==,01745.0~1801~rad rad π=.185730.57)180(1/=≈=πrad 3．任意角三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角．o 终边上任意一点P 的坐标是),,(y x 它与原点的距离,,||22y x r r OP +==则那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是===αααtan cos sin 、、r x r y 、、yxx y =αcot yrx r ==ααcsc sec 、它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，都叫做三角函数．(2)三角函数的定义域(3)三角函数的一种几何表示正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们是用与单位固有关的某些特定的有向线段的数值来表示的三角函数值．教材中图示说明，无论角a 的终边在哪一象限，都有=========ααγαtan ,01os ,1sin M x x r x c MP y r y .10AT AT A AT OM MP x y ==== 这里,10==A r 它为单位圆的半径；MP 、OM 、AT 是以两轴正向为正向，单位圆半径长为单位的有向线段．4．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：+=+=+1,sec tan 1,1cos sin2222αααα.csc cot 22αα=(2)商数关系：⋅==ααααααsin cos cot ,cos sin tan (3)倒数关系：.1csc sin ,1sec cos ,1cot .tan =⋅=⋅=⋅αααααα适用范围：对于;,1cos sin 22R ∈=+ααα对于,tan cos sin ααα=,0cos =/α所以);(2z k k ∈+=/ππα对于ααα,1cot tan =⋅的终边不在坐标轴上，即).(2z k k ∈=/πα 对于α允许值范围，不论角a 取什么值等式都成立，因此它们是恒等式． 5．诱导公式因为任意一个角都可表示为απ+⋅2k (其中）4||πα<的形式，我们可将上面的诱导公式概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，意思为当k 为偶数时，得仪的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．上式对于任意角α都成立． 6．三角函数的图象和性质(1)正弦、余弦、正切函数的主要性质可以归纳如下：(2)将正弦函数的图象通过平移变换、伸缩变换、周期变换等方法，得出函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω （其中)0,0>>ωA 的图象，因此正弦函数的图象和性质是研究函数+=x A y ωsin(R x ∈),ϕ（其中)0,0>>ωA 的图象和性质的基础．三、规律方法总结 1．三角函数值的符号三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形等问题中十分重要，根据三角函数的定义，可简记为：一全正，二正弦，三两切，四余弦． 2．诱导公式诱导公式是指角α的三角函数与诸如±±-90,180,ααααα±⋅±k o360,270,等角的三角函数之间的关系，内容相似，极易混淆，记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”．3．求解析式)sin(ϕω+=x A y求解析式)sin(φω+=x A y 中参数的顺序是：先求A → 再求∞ →最后求ϕ． 4．“五点法”作)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的简图 五点的取法是：设,ϕω+=x X 由X 取ππππ2,23,,2,0来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图． 5．变换作图法作)0,0)((>>+=ωϕωA x mAS y 的图象 (1)振幅变换：.sin sin x A y x y =→=将x y sin =的图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变）． (2)相位变换:⋅+=→=)sin(sin ϕx A y x A y将x y sin =图象上所有点向左)0(>ϕ或向右)0(<ϕ平移||ϕ个单位．(3)周期变换：⋅+=→+=)()sin(ϕωϕx mAS y x A y 将)sin(ϕ+=x A y 图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍纵坐标不变）．6．周期的求法)sin()1(ϕω+=x A y 的周期;||2ωπ=T )cos()2(ϕω+=x A y 的周期;||2ωπ=T )tan()3(ϕω+=x A y 的周期⋅=||ωπT 7．三角函数的单调性函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把ϕω+x 看做一个整体． 比如：由)(2222z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为增区间，由)(23222z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． 若函数)s i n (ϕω+=x A y 中,0,0<>ωA 可用诱导公式将函数变为),sin(ϕω---=x A y 则)sin(ϕω--=x y 的增区间为原函数的减区间；减区间为原函数的增区间，如=-=)4sin(x y π),4sin(π--x 故≤≤-⇒+≤-≤-x k k x k 4222422πππππππ432ππ+k 为原函数的减区间. 对于函数)tan(),cos(ϕωϕω+=+=x A y x A y 等的单调性 的讨论同上． 8．化归思想的应用(1)把未知化为已知，例如用诱导公式把求任意角的三角．函数逐步化归为求锐角的三角函数值； (2)化特殊为一般，把正弦函数的图象逐步化归为函数．)0,0(),sin(>>∈+=ωφωA R x x A y 的简图．四、重要专题选讲1．三角函数的对称性问题．关于三角函数的性质，教材已研究了它们的定义城、值域、单调性、奇偶性、周期性．但近年来有关它们的对称性问题时常考查，有必要对其作进一步探讨，列表如下：[例1] 已知函数,0,0[)sin )(>>++<=ωϕωA m x A x f )],(ππϕ-∈的最大值是4，最小值是0，最小正周期是,2π直线3π=x 是函数图象的一条对称轴，求它的解析式． [解析].4,2=∴=ωπT 又x y sin = 的对称轴是=x ).(234),(2z k k Z k k ∈+=+⨯∴∈+ππϕπππ令,0=k 则;65πϕ-=令,1=k 则⋅=6πϕ 又0,4⋅=+-=+m A m A 得.2,2==m A ∴ 函数的解析式为2)654sin(2)(+-=πx x f 或.2)64(2)(++=πx ms x f [例2] )43cot(2π-=x y 的图象的一个对称中心是( )．)0,34.(πA )0,2.(πB )0,43.(π-C )0,6.(πD [解析] a ．整体代换法；b ．代入验证法 解法一：由243ππk x =-得),(126z k k x ∈+=ππ当5-=k 时，∴-=,43πx 应选C ． 解法二：将A 、B 、C 、D 选项逐一代入，只有C 适合，当然有时不能忽视非定义点也是其对称中心，[答案] C2．三角函数的最值和值域问题．三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性．在求解时，一要注意三角函数式的变形；二要注意正、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活选用方法，近几年的高考中此类问题经常出现，下面就这类问题的解法进行归纳．(1)形如q x p x y ++=sin sin 2型的函数，这类问题通常是用配方法求最值，但要注意分类讨论．[例3] 求q x p x y ++=sin n si 2的最大值和最小值（其中p 、q 为常数）．[解析]44)2(sin sin sin 222p q p x q x p x y -++=++=,121.≤≤-p a 若即,22≤≤-p 则当2s i n px -=时，;442m i n p q y -=最大值在1s i n =x 或1sin -=x 时取得．b ．若,12-<-p即,2>p 则当1sin -=x 时，p y -=1min -;q 当1sin =x 时，⋅++=q p y 1maxc ．若,12>-p即,2-<p 则当1sin =x 时，q p y ++=1min 当1sin -=x 时，⋅+-=q p y 1max 如图1 -l(a)、(b)、(c)所示．[点拨] 由特殊情况归纳推广到一般情况，是解决问题的一般方法．(2)求x x cos sin 、的齐次三角函数的极值，可用和差换元（对偶式）求解． [例4] 函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为多少？ [解析] 解法一：令,cos ,sin n m x n m x -=+=由1cos sin 22=+x x 得 ⋅≤-=)22|(|2122m m n于是有,1)21(22222-+=+-=m m n m y 易见：当22=m 时，得.221+=mHx y 解法二：设,cos sin t x x =+则,cos sin 212t x x =+即 .2||,21cos .sin 2≤-=t t x x .1)1(212122-+=+-=∴t t t y∴ 当2=t 时，.221221)2(2+=+-=⨯mn y(3)形如d x b c x a y ++=sin sin 或dx b c x a y ++=cos cos 型的函数，解决此类函数的最值问题要利用正、余弦函数的有界性以及复合函数的有关性质．[例5] (1)求函数1sin 2sin --=x x y 的值域：(2)求2cos 2sin --=x x y 的值域．[解析] xx x x x y sin 1111sin 11sin 1sin 2sin )1(-+=---=--=∴ 当1sin -=x 时，,23211min =+=y∴ 函数值城为⋅+∞),23[(2)将已知函数看成是两点的斜率公式，即单位圆上的点)sin ,(cos x x 与点(2，2)连线的斜率．利用数形结合法求解值域为⋅+-]374,374[[点拨] 由以上的几种形式可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法来求：一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数在闭区间内求最大值、最小值的方法来求；此外 还可以利用重要不等式或数形结合的方法来解决．3．函数)(ϕω+=x mAS y 中角ϕ的确定， 由已知条件确定函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式，需要确定,A ϕω、、其中A 、∞易求，下面介绍求ϕ的几种方法，平衡点法，由]sin[)sin(⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ωϕωϕωx A x A y 知它的平衡点的横坐标为,ωϕ所以我们可以找与原点相邻且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为,1ωϕ-=x 则可求ϕ． [例6] 已知如图1-2是函数<+=|)(|sin(2ϕϕωx y )2π的图象上的一段，则( )．6,1110.πϕω==A 6,1110.πϕω-==B 6,2.πϕω==C 6,2.πϕω-==D[解析] =--=)12(1211ππT ,22,==∴ππωπ 又12π-处于递增部分的平衡点，⋅=--=--=∴6)12.(2)12(πππωϕ故选C ．[答案]C[例7] 函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的图象如图1-3，求函数的表达式． [解析] 由图易求得+=x y 4sin(2π,2)+ϕ下面求ϕ．由图1-3知当2-=x 时，,4max =y 即.42])2(4sin[2=++-⨯ϕπ).(222z k k ∈+=+-∴ ππϕπ取,0=k 得.πϕ=.2)4sin(2++=∴ππx y[例8] 已知函数)2sin(ϕ+=x y 的图象（如图1-4），求ϕ． [解析])21,3(πA 在递减段上．⋅++∈+∴]232,22[32ππππφπk k ,6532πϕπ=+∴即⋅=6πϕ 4．数学思想方法的运用在本章学习和复习的过程中，熟练掌握以下解题思想和方法，有利于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力．(1)数形结合的思想方法．[例9] 若方程a x =+)6sin(2π在[0，2n]上有两个不同的实数解，求α的取值范围．[解析] 如图1-5．由函数+=x y sin{2]2,0[),6ππ∈x 及a y =的图象知∈a )2,1()1,2( -时.方程a x =+)6sin(2π在]2,0[π上有两个不同的实根．[点拨]本题利用数形结合的思想方法显得简便、快捷，一般地，把方程两边看做两个函数，在同一坐标系中，画出它们的图象，它们交点的横坐标即是这个方程的解． (2)分类讨论的思想．[例10] 已知函数b x a y ++=)62sin(π在]2,0[π∈x 上的值域为[ -5，1]，求a 、b 的值． [解析] 先由x 的范围确定)62sin(π+x 的范围，再根据a 的符号，讨论a 、b 的取值，∈+∈+∴∈)62sin(],67,6[62],2,0[πππππx x x ∴-].1,21[当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+,52,1b a b a 解得⎩⎨⎧-==;3,4b a 当a<0时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-,5,121b a b a 解得⎩⎨⎧-=-=.1,4b aa 取4时，b 取-3；a 取-4时；b 取-1．[点拨] 本题先由定义域确定正弦函数)6.2sin(π+=x y 的值域，但整个函数的最值的取得与a 有关系，故对a 进行分类讨论．(3)换元的思想，[例11] 求函数．x x xx x f cos sin 1cos sin )(++=的最大值和最小值．[解析]设,cos sin t x x =+则,2[,21cos sin 2-∈-t t x x F ]2且,1-=/t 则⋅---∈-=+-=]2,1()1,2[,21)1(212 t t t t y解得当)(42z k k x ∈+=ππ时)(x f 的最大值为;212- 当)(432z k k x ∈-=ππ时)(,x f 的最小值为212+- [点拨] 在三角函数式中，若同时含有ααcos sin ±与,cos sin αα可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决．(4)转化与化归的思想．[例12] 已知函数],21,23[,1sin 2)(2-∈-+=x x x x f θ⋅∈)2,0[πθ求： (1)当6πθ=时)(x f 的最大值和最小值．(2)求θ的范围，使)(x f 在区间⋅-]21,23[上是单调函数． [解析] 45)21(/1)(*6)1(22-+=-+==x x x x f πθ 由⋅-∈]21,23[x 故当21-=x 时，)(x f 有最小值;45-当21=x 时)(,x f 有最大值⋅-411sin 2)()2(2-+=θx x x f 的对称轴为,sin θ-=x又)(x f 在]21,23[-上是单调函数，则23sin -≤-θ或⋅-≤≥≥-21sin 23sin ,21sin θθθ或 又323),2,0[πθππθ≤≤∴∈ 或.61167πθπ≤≤故所求疗的范围是⋅]611,67[]32,3[ππππ 新典考题分析[例1]（2007年海南高考题）设α是第二象限的角，,2cos|2cos |αα-=试判断2α是属于第几象限的角？[解析] 因为α是属于第二象限的角，所以<+22ππk ),(2z k k ∈+<ππα).(224z k k k ∈+<<+∴ππαππ当)(2z n n k ∈=时，+πn 22),(2224αππαπ∴∈+<<z n n是第一象限的角；当12+=n k )(z n ∈时，),(2322452z n n n ∈+<<+ππαππ2α∴是第三象限的角． 另一方面，由,02cos02cos|2cos |≤⇒≥-=ααα所以2α应为第二、三象限的角或终边落在x 轴负半轴上．综上所述，2α是第三象限的角． [例2] (20U7年山东高考题)(1)化简+-)sin (cos tan ααα;csc cot tan sin αααα++(2)化简;cos .sin 2cot cos tan sin22αααααα++⋅(3)化简⋅+---+++ααααααsin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 12[解析] (1)切化弦是解题的出发点，原式=.sin sin 1sin cos cos sin sin cos )sin (cos sin ααααααααααα=+++-(2)原式==+++)cos sin cot (cos )cos sin tan (sin22αααααααα)cos (cot )cos (sin tan 2222αααααα+++ms =+=ααcot tan .csc sec sin cos cos sin 22αααααα=+ (3)原式==----++αααααα221)sin 1(sin 1)1(sec cos 1ms m s ⋅+=--++|cos |2|sec |cos 1|cos |1|0|sin 1|sec |cos 1ααααααααααms m s s c当α在第一或第四象限时，原式=+=ααααcos sin 2sec .cos 1;tan 21α+当α在第二或第三象限时，原式=-+-=ααααcos sin 2)sec (cos 1;tan 21α--当z k k ∈=,2πα时，原式:1=当z k k ∈+=,)12(πα时，原式.1-= 综上所述：原式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--∈=∈+=-=.,tan 21;,tan 21;,2,1;,)12(,1是第一或第四象限的角是第二或第三象限的角ααααπαπαz k k z k k[例3] （2007年湖南高考题）求下列函数的定义域：;25cos )1(x x y -+=⋅+++=)3sin 2lg(cos 21)2(x x y[解析] (1)由题意，x 应满足的条件为⎩⎨⎧≥-≥,025,0cos 2x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≤≤-.55),(2222x z k k x k ππππ如图1 -6，于是原函数的定义域为 ]23,5[π--⋅-]5,23[]2,2[πππ (2)由题意，x 应满足的条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅->-≥⎩⎨⎧>+≥+23sin ,21cos ,03sin 2,0cos 21x x x x 即 由单位圆求交集如图1-7所示．于是原函数的定义域为⋅∈+≤<-)}(32232|{z k k x k x ππππ [例4]设),35sin()(π+=kx x f 其中.0=/k(1)写出)(x f 的最大值M 、最小值m 与最小正周期．(2)求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数之间（包括整数本身）变化时，函数)(x f 至少有一个值是M 、一个值是m [解析] 由于),0)(35sin()(=/+=k kx x f π所以 ⋅==-==||10|5|2,1,1)1(k k T m M ππ (2)欲使在任意两个整数间函数)(x f 至少有一个值是M 、一个值是m ，必须且只需)(x f 的周期不大于1，即,1||10≤k π解得.4.3110||≈≥πk故所求的最小正整数.32=k[点拨]任意两个整数间的距离的最小值是1（相邻的两整数）．[例5] 已知某海滨浴场的海浪高度，(t)是时间≤0(t ,24≤t 单位：小时）的函数，记作).(t f y =经长期观测，)(t f y =的曲线可近似地看成是函数=y .cos b t A +ω(1)根据以上数据，求出函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8:00至晚上20:00，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[解析] (1)由表中数据，知最小正周期.12=T⋅===61222πππωT ①得由;5.1,5.1,0=+==b A y t ②得由.0.1,0.1,3===b y t∴==∴⋅0.1,5.0b A 振幅为.16cos 2121+=∴t y π(2)由题意知，当1>y 时才可对冲浪者开放．.06cos ,116cos 21>∴>+∴t t ππ ,22622πππππ+<<-∴k t k 即③.312312+<<-k t k,240≤≤t 故可令③中k 分别为0、1、2，得.2421/159/30≤<⋅<<⋅<≤t k t R t∴ 在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9:00至下午15：00.[例6]如图1-8所示是周期为2π的三角函数)(x f y =的图象，那么)(x f 可以写成( )．)1sin(.x A + )1sin(.x B -- )1sin(.-x C )1sin(.x D -[解析] 方法一：设⋅+=)sin()(ϕx x f 由五点描图法的实质和已知图象可得,1πϕ=+ 故⋅-=-+=∴-=)1sin()1sin()(,1x x x f ππϕ方法二：由已知图象知：,0,1==y x 时从而排除A 、B ，又0=x 时，,0>y 又可排除C ，从而选D ． [答案] D[点拨】给出正弦函数在一个周期内的图象，求它的解析式，关键是求出A 、ω、ϕ，常采用待定系数法.求解的一般步骤是：(1)设函数的解析式为;)sin(h x A y ++=ϕω(2)观察图象的最高点与最低点，设其纵坐标分别为M 、m ，则;2,2mM h m M A +=-= (3)由始点与终点的横坐标,10x x 、求周期即;01x x T -= (4)依公式,2Tπω=求出ω； (5)通过图象的平移或“五点法”作图求ϕ．[例7] （2005年湖南高考题）把函数)(x f y =的图象与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[a ，b]上的面积．已知函数],0[sin n nx y π在=上的面积为*)(2N n n∈，则： (1)函数]32,0[3sin π在x y =上的面积为 (2)函数1)3sin(+-=πx y 在⋅]34,3[ππ上的面积为 [解析]数形结合，图l -9(2)中阴影1、2面积相等．类比图1 -9(1)知图1-9(2)中阴影1的面积为,32所以=⨯=322S ⋅34在图l -9(3)中，阴影l 、2、3面积相等，由图1-9(2)知阴影1的面积为,32所以 .321)334(231πππ+=-⨯-++=s s s S[答案] 34)1( 32)2(+π[例8] （2007年辽宁高考题）已知函数-=x x f ω（sin 2)(.,1)6R x ∈-π（其中)0>ω(1)求函数)(x f 的值域；(2)若对任意的,R a ∈函数],(),(π+∈=a a x x f y 的图象与直线1-=y 有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值（不必证明），并求函数R x x f y ∈=),(的单调增区间．[解析] (1)由 .1)6sin(2)(--=πωx x f)(,x f R x ∴∈ 的值域为[ -3，1].(2)由题意得函数)(x f 的周期为π，.2,2=∴=∴ωπωπ.1)62sin(2)(--=∴πx x f令,,226222z k k x k ∈+≤-≤-πππππ得.,36z k k x k ∈+≤≤-ππππ∴ 函数)(x f 的单调增区间为.],3,6[z k k k ∈+-ππππ[例9] 已知函数),42sin(221π-+=x y (1)求函数的最大值、最小值；(2)求函数的最小正周期； (3)求函数的单调区间； (4)题中函数的图象可由函数R x x y ∈=,2sin 22的图象经过怎样的变换得到？ [解析] ),42sin(221)1(π-+=x y 所以，当=-42πx ,22ππk +即)(83z k k x ∈+=ππ时，y 有最大值;221+当,22342πππk x +⋅=-即)(87z k k x ∈+=ππ时，y 有最小值⋅-221 (2)函数的最小正周期为π (3)由,224222πππππk x k +≤-≤+-得≤≤+-x k ππ8),(83z k k ∈+ππ由 ,2234222πππππk x k +≤-≤+得≤+ππk 83).(87z k k x ∈+≤ππ所以函数在区间)](83,8[z k k k ∈++-ππππ上是增函数，在区间)](87,83[z k k k ∈++ππππ 上是减函数．(4)题中函数的图象可由函数x y sin 22=的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．[例10] 某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的青少年游乐场，如图1-10所示，ABCD 是边长为50m 的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径为40m ，矩形AGHM 就是拟建的青少年游乐场，其中G 、M 分别在AB 与AD 上，H 在圆弧上：设矩形AGHM 的面积为S ，,θ=∠HCF 试将S 表示为日的函数，并求当0为多少时，青少年游乐场的面积最大，最大面积是多少？[解析] 解题关键在于将矩形AGHM 的两边HM 、HG 用参数p 表示出来，由图可知，,sin 4050θ-=HG),20(cos 4050πθθ≤≤-=HM则-=--=θθθθcos sin 1600)cos 4050)(sin 4050(s ⋅≤≤++)20(2500)cos (sin 2000πθθθ令),21(cos sin ≤≤=+t t θθ则),1(21cos sin 2-=t θθ 25002000)1(21.16002+--=∴t t S170020008002+-=t t ).21(450)45(8002≤≤+-=t t当,1=t 即0=θ或2πθ=时．S 取最大值500．答：当0=θ或2πθ=时，这个青少年游乐场的面积最大，最大面积是.5002m[点拨] 广义地说，一切数学概念，各种数学公式以及由公式系列构成的算法系统等都可称为数学模型．三角函数公式当然是其中的数学模型之一．学习数学模型的最好的方法就是经历数学建模的过程.。

三角函数单元教学分析一、三角函数基础知识三角函数是数学中的重要内容，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

学生需要了解这些函数的定义，以及它们与直角三角形的边长的关系。

同时，掌握基本的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°角的三角函数值，是后续学习的基础。

二、三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性、振幅性等基本性质。

学生需要理解这些性质，并能够利用这些性质进行三角函数的计算。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

三、三角函数的图像了解三角函数的图像对于理解其性质和应用具有重要意义。

学生需要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，并能够理解这些图像与函数性质的关系。

四、三角函数的变换三角函数的变换包括角度的变换、函数的变换等。

学生需要掌握和理解这些变换的方法，并能够在实际问题中应用这些变换。

五、三角函数的应用三角函数在日常生活和科学技术中有着广泛的应用。

学生需要理解这些应用，并能够利用三角函数解决实际问题。

例如，在物理中，三角函数常用于描述振动的幅度和相位；在工程中，三角函数常用于计算角度和距离等。

六、教学方法与策略在教学三角函数时，应采用多种教学方法与策略，包括讲解、演示、练习、讨论等。

通过生动的实例和形象的图表，帮助学生理解和掌握三角函数的概念和性质。

同时，应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。

七、学生学习难点与对策学生在学习三角函数时可能会遇到一些难点，如理解函数的周期性、奇偶性等性质，以及应用三角函数解决实际问题等。

针对这些难点，教师应采取有效的教学措施，如加强概念的理解、多做练习题、引导学生思考等。

同时，还应关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。

八、教学评估与反馈为了了解学生的学习情况，需要对教学进行评估。

评估的方式可以包括课堂测试、作业批改、小组讨论等。

通过评估，教师可以了解学生对三角函数的掌握情况，以及他们在学习中存在的问题。

第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。

三角形单元积分公式1.正弦函数的积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中，C为常数。

这个公式可以通过对sin(x)进行不定积分得到，即求出它的原函数。

由于sin'(x) = cos(x)，所以∫sin(x)dx = -cos(x) + C。

2.余弦函数的积分公式：∫cos(x)dx = sin(x) + C同样地，这个公式也可以通过对cos(x)进行不定积分得到。

由于cos'(x) = -sin(x)，所以∫cos(x)dx = sin(x) + C。

这两个基本的三角形单元积分公式是进一步积分计算的基础，它们可以用于求解复杂的三角函数积分表达式。

在使用这些积分公式进行具体计算时，有时候需要进行一些变换和代换。

1.倍角和半角的变换：三角函数中的倍角和半角变换是非常常见的，通过这些变换可以简化三角函数的积分计算。

例如，对于sin²(x)的积分，可以利用倍角公式将其转换为(1-cos(2x))/2，从而简化求解。

2.积分中的代换：有时候，为了进行计算的方便，可以进行一些代换。

例如，对于∫sin³(x)dx，可以将其转换为∫(1-cos²(x))s in(x)dx，进一步进行代换u = cos(x)，得到∫(1-u²)du，计算简化后，再换回原变量。

3.特殊角的积分：在计算三角形单元积分时，有时候需要考虑一些特殊角的情况。

例如，对于∫sinⁿ(x)dx，当n为奇数时，可以考虑利用积化和差公式将其转化为sinⁿ⁻²(x)sin²(x)dx的形式，进一步进行计算。

除了上述的基本三角形单元积分公式，还存在一些复杂的三角函数积分公式，需要通过部分积分、换元积分等方法进行计算。

此外，还有一些三角函数的积分无法直接通过公式计算得到，需要借助数值计算的方法或数学软件进行估算。

总之，三角形单元积分公式是积分计算中常用的工具之一，在进行三角函数积分时，采用这些公式可以简化计算，提高效率。

第五单元三角函数一教学要求1.了解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念.2.理解弧度的意义，掌握特殊角的弧度与角度的换算，会用计算器进行弧与角度的换算，培养学生正确使用科学型计算器的能力.3.理解任意角的正弦、余弦、正切函数的概念，熟记三角函数在各象限的符号.4.理解同角三角函数基本关系式，会用公式解决“已知任意角的一个三角函数值，求其他两个三角函数值”的问题，培养学生数据处理技能.5.了解诱导公式的推导及简单应用，提高学生数学思维能力.6.理解正弦函数的图像和性质，了解余弦函数的图像和性质，培养学生的观察能力.7.掌握利用计算器求角度，提高学生计算工具的使用技能.8.了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法，培养学生有条理的思考和解决问题.二教材分析和教学建议（一）编写思路本单元教材的内容是三角函数的定义、图像、性质及应用.三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用.本教材以单位圆及几何中的对称性为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生在学习过程中初步了解代数与几何的联系，这有利于培养学生综合应用数学知识解决某些实际问题的能力.高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都要应用到三角函数的知识，因此，这些知识既是解决生产技术实际问题的有力工具，又是进一步学习数学的必要基础.本单元知识可分为三大部分：第一部分主要介绍任意角的三角函数.教材从学生已有的知识实际出发，全面地阐述了角的概念及其推广，引入任意角的概念，特别强调了建立角的弧度制的意义，从而使角的集合与实数集之间建立起一种直接的一一对应关系.这里所讲的“直接”是指一个角的弧度数就是它所对应的那个实数，而较之角度制减少了单位换算的麻烦.正是在此基础上，教材把初中所学的三角函数推广到任意角的范围，并使角的度量由角度制（60进制）自然地过渡到弧度制（10进制）.由此三角函数可以看做是以实数为自变量的函数，从而使三角函数具有广泛的意义.任意角的三角函数应用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能体现初中所学锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有知识基础出发学习三角函数.接着讨论了任意角三角函数值的符号，从定义出发导出了特殊象限角的三角函数值.第二部分主要介绍三角函数公式.在三角函数定义的基础上推导出同角三角函数的两个最基本的关系式，同时以平面几何中图形的轴对称、中心对称为基础推导三角函数的简化公式，使得求任意角的三角函数值的问题更为方便.第三部分主要介绍三角函数的图像和性质.教材首先用描点法做出正弦函数和余弦函数的图像，在基本掌握正弦曲线和余弦曲线的形状特征的基础上，对学习基础较好的学生可以在归纳“五点法”作简图的方法.教材依据图像的直观性，直接阐述了正弦函数和余弦函数的主要性质.本单元教材的重点是三角函数的概念，同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性，正弦函数的图像和性质，并能利用计算器求任意角三角函数值及已知三角函数值求角的问题.难点是弧度制，周期的概念及综合应用三角公式进行化简和证明.（二）课时分配本单元教学时间约为18课时，分配如下（仅供参考）：5.1 角的概念的推广 2课时5.2 弧度制 1课时5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切 2课时5.4 利用计算器求三角函数值 1课时5.5 同角三角函数基本关系式 2课时5.6 诱导公式 3课时5.7 正弦函数的图像和性质 2课时5.8 余弦函数的图像和性质 1课时5.9 利用计算器求角度 1课时5.10 已知三角函数值求指定范围内的角 1课时归纳与总结 2课时（三）内容分析与教学建议5.1 角的概念的推广1.教材从初中有关角的知识出发，以螺帽拧紧，旋转一周、两周……所转过的角度为例，说明日常生活与生产实际中存在大量未曾认识的角.本小节主要任务帮助学生理解并掌握正角、负角的概念.2.从角的形成说起，由于客观上存在着因旋转方向相反而形成两种不同的角，因而根据习惯规定了正角和负角，零角的补充，目的在于使角的集合和实数集一样具有完备性.3.在教学中要强调任意大小的角在直角坐标系中的放置方法：（1）角的顶点和坐标原点重合；（2）使角的始边和x 轴的非负半轴重合.这样，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角，否则就不能根据它的终边位置来判断它属于第几象限.4.应该让学生明白，任意一个角可能属于某个象限也可能不属于任何象限，而不属于任何象限的角（即终边落在坐标轴上的角）是一种重要的特殊角，在三角函数值的计算、三角函数定义域的确定、三角方程求解等问题中经常会遇到，因此要求学习基础比较差的学生可以了解一下这些角，而对于基础较好的学生可以要求掌握这些角的表达式.5.准确区分0°～90°的角、锐角、小于90°的角、第一象限的角和第二象限的角、钝角等.角的概念推广后，应从角的集合的表达形式入手，通过反复练习，使学生能正确理解.{0°～90°的角}={x |0°≤x ≤90°}；{锐角}={x |0°＜x ＜90°}；{第一象限的角}={x |k ·360°＜x ＜90°+k ·360°，k ∈Z }；{第二象限的角}={x |90°+k ·360°＜x ＜180°+k ·360°，k ∈Z }；{钝角}={x |90°＜x ＜180°}.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，如-330°和750°都是第一象限角，但它们都不是锐角. 钝角亦然.6.教师讲解与角α终边相同的角的集合S ={x|x=α+k ·360°，k ∈Z }时，应指出：（1）k 是任意整数；（2）α是任意角（包括正角、负角和零角）；（3）α与︒⋅360k 之间是用“+”号连接的，如︒⋅-360k α应变成︒⋅-+360)(k α；（4）终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.7.在教学中应使学生明白，与某一个角α终边相同的角的表达形式不是唯一的.如与-45°角终边相同的角的表达式可写成︒⋅360k -45°，也可以写成︒⋅360k +315°或︒⋅360k -405°等等，这里k ∈Z .尽管表达式不同，但它们都表示与-45°终边相同的角.8.对于终边在特殊位置的角的集合，列表表示如下：（1）象限角的集合：（2）终边在坐标轴上的角的集合：象限角集合和轴线角集合，集合的表达形式也不是唯一的，它们还有其他表达形式.如第四象限角的集合还可以表示为{x |k ·360°-90°＜x ＜k ·360°，k ∈Z }；终边在y 轴负半轴上角的集合可以表示为{ x | x =270°+k ·360°，k ∈Z }。