高等数学(第二章第八节洛必达法则)

x →1
1 x + . 1 − x ln x
解
1 ln (1 + x ) − x 1 = lim lim − x →0 x x → 0 ln (1 + x ) x ln (1 + x )
解
1 −1 1 + x = lim = lim x →0 x →0 x2 2x −x 1 = lim =− . x →0 2 x (1 + x ) 2 ln (1 + x ) − x
0 ∞ 类型为 和 . 以及这两种形式的变形. 0 ∞
lim
x →0
sin x = 1, x
lim
x →0
x − sin x sin x = lim 1 − = 1 − 1 = 0, x →0 x x
而
x2 1 − cos x 1 lim = lim 23 = lim = ∞. x →0 x →0 x x →0 2 x x3
问题的提出： 问题的提出：考虑下列极限
第八节 洛必达法则 本节要点 本节要点
本节用求导的方法， 本节用求导的方法，来求出某些未定型的极限. 基本
lim
x →0
sin x x − sin x 1 − cos x , lim , lim x → 0 x → 0 x x x3
0 型极限. 0
当 x → 0 时分子、 时分子、分母极限都是0，因此都是 但是
x →0
+
xx .
(00 型）
幂指型的未定式有 幂指型的未定式有 0 ,1 , ∞ 三种类型， 三种类型， 对幂指函数类的极限， 对幂指函数类的极限，常用的方法就是取对数将其转 化成前面的类型. 解
x →0 +
lim x x = lim e x ln x , +
x →0
1 ln x x = lim (− x ) = 0, lim x ln x = lim = lim x →0 + x →0+ 1 x →0 + 1 x →0+ − 2 x x
f ( x)
= lim
x → x0
f ′( x) . g′( x)
例6 求 lim
ln x ( n > 0 ). x →+∞ x n 1 解 ln x 1 lim = lim x = lim n = 0. x →+∞ x n x →+∞ nx n−1 x →+∞ nx
例7 求 解
xn . ( n ∈ Z + , λ > 0) x →+∞ e λ x lim
43
1000 6.9 31.6 6908 106 10434
ln x
x
x ln x
x2 ex
±∞ ± ∞ 型,可以通过通分的方法将其转换成上面
的两种类型. 我们通过下面的例子来说明这种方法.
3
例8 求 lim
x →0
1 1 x − ln (1 + x ) .
例9 求 lim
lim
x→∞
= lim
（这里多次使用洛必达法则， 这里多次使用洛必达法则，注意每次 使用之前必须检验是否
2
2.
∞ 型 ∞
定理2也称为洛必达法则， 也称为洛必达法则，其中自变量同样可以是 各种其它变化过程。 各种其它变化过程。
并且 g ′ ( x ) ≠ 0, 又满足条件:
x → x0 x → x0
所以
x →0 +
lim x x = e0 = 1.
练习 求 lim 解
x →0
x →0+
xsin x .
x →0
(00 型）
例13 求 lim
x →0
lim xsin x = lim esin x ln x , + +
1 sin 2 x x = lim+ = lim = 0, + x →0 − csc x cot x x →0 − x cos x
下面从数值上 下面从数值上比较 从数值上比较上列 比较上列函数增大的速度 上列函数增大的速度
x
10 2.3 3.2 23 100 2.2×10
4
二、其它类型
除了前面的两种基本类型外， 除了前面的两种基本类型外，还有其它三中未定式， 还有其它三中未定式， 它们分别是: 对∞ 1. ∞
100 4.6 10 461 10000 2.7×10
f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0,
x → x0
所要证明的结论。 所要证明的结论。 定理1称为洛必达法则 称为洛必达法则。 洛必达法则。 注1 在使用该法则的过程中， 在使用该法则的过程中，若 lim
x → x0
从而函数 f ( x ) , g ( x ) 在点 x0 的某邻域内连续. 设 x 是 该邻域内的一点， 该邻域内的一点，且 x ≠ x0 , 则在以 x 及 x0为端点的 区间上， 区间上，函数 f ( x ) , g ( x ) 满足柯西定理的条件， 满足柯西定理的条件，故有
（注意计算过程尽量使用等价无穷小来化简） 注意计算过程尽量使用等价无穷小来化简）
1 x ln x + 1 − x x lim + = lim x →1 1 − x ln x x →1 (1 − x ) ln x
令t = 1 − x lim
t →0
(1 − t )ln(1 − t ) + t (1 − t ) ln(1 − t ) + t = lim 0 t → t ln(1 − t ) −t 2
e x − e− x e x + e− x = lim = 2. x →0 sin x x →0 cos x
0 ∞ 型或 型。） 0 ∞
故而不满足洛必达法则的条件(2),不能用洛必达法则， 不能用洛必达法则， 实际上
x + sin x sin x = lim(1 + ) = 1. x→∞ x x 1 x 2 sin x. 练习： 练习： 求 lim x →0 sin x
lim
x →∞
g ( x)
f ( x)
= lim
x →∞
g′( x)
f ′( x)
,
等等， 等等，为了统一上面的极限形式， 为了统一上面的极限形式，我们用
f ′( x) lim+ = lim , x → x0 g ( x ) x → x0+ g ′ ( x )
− x x)
= lim
t →0
− ln(1 − t ) − 1 + 1 ln(1 − t ) −t 1 = lim = lim = − . t →0 t →0 2t −2t 2t 2
( sec x − tan x ) . 例10 求 lim π
x→
2.
解
2
0⋅∞ 型
原式＝ 原式＝ lim
x→
π
2
1 − sin x − cos x = lim =0 π cos x x → − sin x
x →0
( x sin x + cos x )
1/ x 2
1/ x 2
(1∞ 型）
ln( x sin x +cos x ) x2
lim+ sin x ln x = lim +
x →0
ln x csc x
解
lim ( x sin x + cos x )
x →0
x →0
= lim e
x →0
所以 lim
定理2 设 f ( x ) , g ( x ) 在点 x0 的某空心邻域内可导， 的某空心邻域内可导， ⑴ lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ ；
f ′( x) ⑵极限 lim 存在或为无穷大， 存在或为无穷大， x → x0 g ′ ( x )
则：
x → x0
lim
g ( x)
一、基本类型
0 1. 型未定式 0
定理1 设 f ( x ) , g ( x ) 在点 x0 的某空心邻域内可导， 的某空心邻域内可导， ⑴ lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ；
0 上面的三个例子尽管均为无穷小的商的极限（ 上面的三个例子尽管均为无穷小的商的极限（ 0 型），
x →0
1 ln x x = lim ( − x ) = 0. lim = lim 1 x → 0+ x → 0+ 1 x → 0+ − 2 x x
x 1 = lim 1 1 1 x →0 + − 2 ⋅ ln x ln x x 2 = lim − x ln x , ( ) +
x →0
在这题中， 在这题中，若将 ln x 放到分母上， 放到分母上，将会使问题复杂 化. 这是因为
xn nx n −1 n! = lim λ x = ⋯ = lim n λ x = 0. λ x x→+∞ e x →+∞ λ e x→+∞ λ e lim
x → +∞ 时，x n 增大的速度比ln x 快的多。 上述极限表明， 上述极限表明， 快的多。
x → +∞ 时，eλ x 增大的速度比 x n 快的多。 上述极限表明， 上述极限表明， 快的多。
x → x0
lim
g ( x)
f ( x)
= lim
x → x0
g′( x)
f ′( x)
= lim
x → x0
g ′′ ( x )
f ′′ ( x )
.
1
注2 在使用洛必达法则之前， 在使用洛必达法则之前，适当地使用一些等价无 穷小的代换会简化某些计算. 注3 若把洛必达法则中的极限过程 x → x0 换成其它的 极限过程， 极限过程，则有相应的结论。 则有相应的结论。如