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常微分方程发展简史--适定性理论阶段

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第二讲 常微分方程发展简史——适定性理论阶段高阶方程● 1734年12月, Bernoulli Daniel 在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说, 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程444,d y k y dx = 其中k 是常数, x 是横梁上距自由端的距离, y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在1735年6月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程, 除了用级数外无法积分. 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时Euler 没有了解到这一点.1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中指出, 上述方程的解可以表示成1[(cos cosh )(sin sinh )],x x x x y a k k b k k=+-- 其中b 可由条件()0y l =来确定.● 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. ● 在1743年至1750年间, Euler 考虑了$n$阶常系数齐次线性方程()(1)11(),n n n n y a y a y a y f x --'++⋅⋅⋅++=第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数, 而且是由n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法. 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.● 1750年至1751年, Euler 讨论了n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法. Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的``欧拉折线法"不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768年至1769年, Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. ● 在Euler 工作的基础上, 1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.● 1762年至1765年间, Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程 (这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的, Lagrange 并未给它取名), 同时发现一个定理: 非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程, 就是原来方程对应的齐次方程. Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果推广到了变系数线性齐次方程. Lagrange 发现, 齐次方程的通解是由一些独立的特解分别乘以任意常数后相加而成的, 而且若已知高阶方程的m 个特解就可以将方程降低m 阶.● 1774-1775年, Lagrange 提出了“常数变易法”, 解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程. 这是18世纪微分方程求解的最高成就.● Newton I 在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;1842年Cauchy A 完善了“待定系数法”.探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了, 此后100年没有出现新的重大的新方法, 直到19世纪末才引进了Laplace 变换法和算子法.从总体上看, 17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分, 并未单独形成一个分支学科. 在18世纪, 由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程, 已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支. 这段时期, 数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上, 并且取得了一系列重大进展. 对解的理解和寻求, 在本质上逐渐起了变化. 最初, 数学家们用初等函数找解, 接着是用一个没有积出的积分来表示解. 在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后, 数学家们转向用无穷级数求解了. 但后来人们逐渐发现, 很多常微分方程求解是非常困难的, 甚至是不可能的.2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。

数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期。

常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发展的第二个阶段。

Riccati 方程在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati 方程2()()()dy p x y q x y r x dx=++. 它最早是由研究声学的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco 伯爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程. Riccati 的工作之所以者的重视, 不仅由于他处理了二阶微分方程, 而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法, 使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一.1686年, Leibniz 向数学界推出求解方程 22y x y '=+ (Riccati 方程的特例)的通解的这一挑战性问题, 且直言自己研究多年而未果. 如此伟大的数学家, 如此简单的方程, 激发了许多数学家的研究热情. 虽然此方程形式简单, 但经过几代数学家的努力仍不得其解.1725年, Daniel Bernoulli 用初等方法求解了一个特殊的Riccati 方程, 他证明了Riccati 方程, 2(0)m dy ay bx a dx +=≠, 当40,2,21k m k ≠--± (k 为正整数) 时能化为变量可分离方程.1760年至1761年, Euler L 证明方程2ny y ax '+=在已知一个特解1y 的情况下, 通过变换11/z y y =-可化为线性方程; D'Alembert J 最先研究了一般形式的Riccati 方程, 而且对这类方程采用了“Riccati 方程”这一名称. Abel N 研究了Abel 第一类和第二类方程的若干特殊类型, 特别是对于Jacobi 方程得到了通解.1841年, 法国数学家Liouville 证明了Riccati 方程除了某些特殊情形外, 对一般的,,p q r , 不能用初等积分法求其通解. 当然, 对于一般的非线性方程将更是如此, 这与代数学中, 五次和五次以上方程没有根式公式解的结论有相似的理论意义.Poincare J 曾经将代数方程求根的问题（见代数学）和常微分方程求解问题的历史发展作过对比，这种对比既直观又富有成果。

例如：① 1824年，Abel N H 证明五次代数方程没有一般的用根式求解的公式，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图。

类似地，1841年Liouville 证明了Riccati 方程除了某些特殊情形外, 对一般的,,p q r , 不能用初等积分法求其通解, 从而结束了一般常微分方程求通解的企图。

② 1832年,Gailois E 创造了群的概念，并将代数方程的根用根式表达的可能性和代数方程的根组成的置换群的可解性相联系，得到可能性的充分必要条件是可解性。

类似地，1874年Lie M S 将群的概念用于常微分方程，引入了将常微分方程的解变为解的连续变换群的概念。

当连续变换群已知时，常微分方程的积分因子即可显式地写出，从而解决了解的可积性问题。

这些工作从正反两方面将常微分方程的理论提高到一个新的水平。

Riccati 的工作迫使人们另辟蹊径, 考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质(周期性、有界性、稳定性等), 以及寻找各种近似求解的方法, 从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期.在物理,力学上所提出的微分方程问题, 又大都要求满足某种附加条件的特解, 即所谓定解问题的解. 这样, 人们开始改变了原来的想法, 不去求通解, 而从事定解问题的研究. 研究热潮逐渐由求方程的通解转向常微分方程定解问题的适定性. 18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题, 也迫使数学家转向对解的存在性问题的思考. 常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在? 如果有解存在, 其解是否唯一? 这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的探索, 而且直接影响并导致微分方程的基本理论. 这些基本理论包括: 解的存在及唯一性、延展性、解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等.初值问题解的存在性19世纪初期, Cauchy A 等人建立了数学分析（又称分析学）的基础。

无限、极限、连续、可微等等概念得到了精确的意义。

Cauchy 也是复变函数论的奠基人之一. Cauchy 的一个考虑了微分方程的解的存在性问题, 在相当一般条件下解的存在唯一性定理, 为ODEs 的研究奠定了坚实的基础, 后来又有许多数学家做了大量工作, 逐渐形成了常微分方程的基本理论.1768年, L. Euler 最早考虑了一般常微分方程的解的存在性问题, 并提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的积分曲线--后人称这种方法为Euler 折线法(差分法), 它标志了微分方程近似计算方法的开端. 1890年, Peano G在方程右端函数连续的假设下解是否存在的问题进行了研究. 1892年G. Peano(1889年给出用集合定义自然数的Peano公理;1890年第一次构造出充满正方形的连续曲线的例子, 即Peano曲线) 第一次对此问题给与了正面的回答, 证明了著名的Peano存在性定理. 这一结果通常被称为Cauchy-Peano定理. 1915年, Perron 在更一般条件下研究了解的存在性.Cauchy-Peano存在性定理证明方法很多, 例如: Euler折线法, Cauchy的优级数法, Schauder不动点定理方法等. 在数学史上, 用拓扑学方法证明Caucy-Peano存在性定理是1922年G. Birkhoff和O. Kellogg第一个给出的. 1976年, Gardner给出了Cauchy-Peano存在性定理的一个新的初等证明, 它没有用到Arzela-Ascoli定理, 而且也没有用到积分的概念. 更为有趣的是, 在没有积分概念的情况下, 应用Garder方法可以证明关于连续函数的原函数的存在定理. 众所周知, 在微积分学中, 原函数的存在定理是通过Newton-Leibniz公式给出的, 积分是不可缺少的概念.初值问题解的唯一性Cauchy在1820年首先严格证明了在相当一般的条件下微分方程解的存在唯一性定理, 为微分方程理论的发展奠定了坚实的基础, 1825年他开始对解的延拓等问题进行研究; 1836年用优级数法证明了解析系数微分方程解的存在性; 1896年, E Lindelof用取绝对值的方法得到了最好的优级数. 1876年, 德国数学家Lipschitz R把Cauchy的条件作了适当的减弱, 提出了著名的Lipschitz条件.1838年, Liouville J在研究热传导方程时提出了逐次逼近法; 1890年, Picard C给出了逐次逼近法的普遍形式, 并逐渐形成了微分方程的一般理论, 这一理论无论是对于求解还是研究解的各种性质都是最基本的.在微分方程理论中, 逐次逼近法是比较经典的方法. 最早, Cauchy, Lipschitz, Peano等曾使用这种方法解决某些特殊类型方程解的存在性问题. E Lindelof在1897年也使用过逐次逼近法解决微分方程解的存在性问题, 并且还在1899年证明了隐函数定理. 在此之前, A Cauchy和R Lipschitz在对右端函数加上较强的条件得到过同样的结论. 1893年, Picard C把这一方法应用到一般非线性微分方程上来, 因而又称为Picard逐次逼近法, 建立了Cauchy-Pichard解的存在唯一性定理。

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常微分第五章

常微分第五章


(1)唯一的一条轨线.
动力系统概念 自治系统的基本概念
本讲要点
了解相空间、向量场、轨线（奇点和闭轨）。 了解定性理论的研究对象和主要任务。 掌握自治系统区别于非自治系统的特殊性质。
动力系统概念 自治系统的基本概念
第三讲 Liapunov直接法 Liapunov直接法
第五章 定性和稳定性理论简介
一、Liapunov直接法的思想 Liapunov直接法的思想
这称之为函数V (x)通过系统(1)的全导数 全导数. 全导数
动力系统概念 直接法 Liapunov直接法 Liapunov
三、Liapunov稳定性判别法则 Liapunov稳定性判别法则
(i) 若存在正定 正定函数 V (x) ,其通过系统(1)的 正定 全导数为常负 常负函数（或恒为零）,则(1)的零解稳定 稳定. 常负 稳定 (ii) 若存在正定 正定函数 V (x) 使得全导数是负定 负定的, 正定 负定 则(1)的零解渐近稳定 渐近稳定. 渐近稳定 (iii) 若存在正定 正定函数 V (x) 使得全导数是正定 正定 正定 的,则(1)的零解不稳定 不稳定. 不稳定
动力系统概念 直接法 Liapunov直接法 Liapunov
四、Liapunov直接法的几何意义 Liapunov直接法的几何意义
以二维为例,系统(1)的解x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t )) 可看成 平面上以 t 为参数的轨线. 设 V ( x1 , x2 )正定, 当 c充分小时, 随着 c 逐渐增大, 曲线族
动力系统概念 自治系统的基本概念
把这种空间以及在其上面每一点处都定义的速度 的整体称为一个向量场 向量场,把物体在这个向量场支 向量场 轨线. 配下走出的曲线称为（相）轨线 轨线 自治系统(1)在满足解的存在唯一性条件下对 任何初值条件 x(t0 ) = x 0都确定唯一的一条在 tx 空 间R × R n上的积分曲线. 它相应地在相空间上确定 了一条轨线,而这条轨线是该积分曲线沿t 轴方向 的投影.因此物体从不同的点出发可能会有不同 的轨线.
常微分方程的发展史

常微分方程的发展史

常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。

17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。

但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。

1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。

雅可比·伯努利自己解决了前者。

翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。

有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。

常微分方程发展简史—经典阶段

常微分方程发展简史—经典阶段

第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t+∆-=-∆ 令0t ∆→，可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。

(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分

(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。

级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。