最新人教版高一数学必修1第一章《二次函数》夯实基础
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2.6 二次函数
巩固·夯实基础 一、自主梳理
1.二次函数的三种表示法
y=ax 2+bx+c;y=a(x-x 1)(x-x 2);y=a(x-x 0)2
+n. 2.二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的单调区间是(-∞,-a b 2)、［-a
b 2,+∞］,顶点坐标是 (-a b 2,a
b a
c 442
-).它的图象是抛物线,当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.
3.当a>0,f(x)在区间［p,q ］上的最大值为M ，最小值为m,令x 0=
2
1
(p+q). 若-a
b
2<p,则f(p)=m,f(q)=M; 若p ≤-a b 2<x 0,则f(-a b
2)=m,f(q)=M;
若x 0≤-a b 2<q,则f(p)=M,f(-a b
2)=m;
若-a
b
2≥q,则f(p)=M,f(q)=m. 二、点击双基
1.设二次函数f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0),如果f(x 1)=f(x 2)(其中x 1≠x 2),则f(2
2
1x x +)等于( )
A.-a b 2
B.-a b
C.c
D.a b ac 442- 解析:f(221x x +)=f(-a b 2)=a
b a
c 442-.
答案:D
2.二次函数y=x 2-2(a+b)x+c 2
+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析:y=［x-(a+b)］2+c 2+2ab-(a+b)2=［x-(a+b)］2+c 2-a 2-b 2
.
∴顶点为(a+b,c 2-a 2-b 2
).
由题意知c 2-a 2-b 2
=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案:B
3.已知函数f(x)=4x 2
-ｍx+5在区间［-2，+∞］上是增函数，则f(1)的范围是( ) A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)＞25 解析:由y=f(x)的对称轴是x=
8m ，可知f(x)在［8m ,+∞］上递增，由题设只需8
m ≤-2⇒m
≤-16,
∴f(1)=9-m ≥25. 答案:A
4.函数f(x)=2x 2
-6x+1在区间［-1，1］上的最小值是____________，最大值是_____________. 解析:f(x)=2(x-
23)2-2
7
. 当x=1时，f(x)min =-3;当x=-1时，f(x)max =9.
答案:-3 9
5.若函数y=x 2
+(a+2)x+3,x ∈［a,b ］的图象关于直线x=1对称，则b=___________________.
解法一:二次函数y=x 2
+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称,说明二次函数的对称轴为1，即-
2
2
+a =1. ∴a=-4.而f(x)是定义在［a,b ］上的，即a 、b 关于x=1也是对称的， ∴
2
b
a +=1.∴b=6. 解法二:∵二次函数y=x 2
+(a+2)x+3的对称轴为x=1,
∴f(x)可表示为f(x)=(x-1)2
+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=-2. ∴a=-4.b 的计算同解法一. 解法三:∵二次函数的对称轴为x=1, ∴有f(x)=f(2-x),比较对应项系数. ∴a=-4.b 的计算同解法一. 答案:6
诱思·实例点拨
【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2
的最小值是( ) A.-12
41 B.18 C.8 D.4
3 解析:由Δ=(-2a)2
-4(a+6)≥0,得a ≤-2或a ≥3.
于是有(x-1)2+(y-1)2=x 2+y 2-2(x+y)+2=(x+y)2-2xy-2(x+y)+2=(2a)2
-2(a+6)-4a+2 =4a 2
-6a-10=4(a-43)2-4
49.
由此可知当a=3时，(x-1)2
+(y-1)2
取得最小值8.
答案:C
【例2】 (2004江苏高考) 二次函数y=ax 2
+bx+c(x ∈R)的部分对应值如下表:
则不等式ax +bx+c>0的解集是______________.
解析:由表知y=a(x+2)(x-3),又x=0,y=-6，代入知a=1. ∴y=(x+2)(x-3). 答案:{x|x>3或x<-2}
【例3】 已知二次函数f(x)=ax 2
+bx+1(a>0,b ∈R),设方程f(x)=x 有两个实根x 1、x 2. (1)如果x 1<2<x 2<4,设函数f(x)的对称轴为x=x 0,求证:x 0>-1;
(2)如果0<x 1<2,且f(x)=x 的两实根相差为2,求实数b 的取值范围.
(1)证明:设g(x)=f(x)-x=ax 2
+(b-1)x+1,且a>0,则由条件x 1<2<x 2<4,得g(2)<0且g(4)>0,
即⎩⎨
⎧>-+<-+0
34160124b a b a ⇒43-4a<b<21-2a. 所以43-4a<21-2a,得a>81
.
由
43-4a<b<21-2a,得1-a 41<-a b 2<2-a
83
.
所以x 0=-a b 2>1-a
41>1-8
141
⨯=-1,即x 0>-1. (2)解:由g(x)=ax 2
+(b-1)x+1=0,可知x 1x 2=a
1>0,即x 1与x 2同号.
因为0<x 1<2,所以x 2-x 1=2,
所以(x 2-x 1)2
=(x 2+x 1)2
-4x 1x 2=a a
b 4)1(2
2=-=4⇒2a+1=1)1(2
+-b . 将g(2)<0,即4a+2b-1<0代入上式有21)1(2
+-b <3-2b ⇒b<
4
1.。
