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压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。
它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号[1]。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。
他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，[2]并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
编辑本段基本知识现代信号处理的一个关键基础是Shannon 采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。
但是Shannon 采样定理是一个信号重建的充分非必要条件。
在过去的几年内，压缩感知作为一个新的采样理论，它可以在远小于Nyquist 采样率的条件下获取信号的离散样本，保证信号的无失真重建。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业的界的广泛关注。
[3]压缩感知理论的核心思想主要包括两点。
第一个是信号的稀疏结构。
传统的Shannon 信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。
但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。
相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。
换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。
所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号（或者近似稀疏信号、可压缩信号）。
另外一点是不相关特性。
稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。
理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。
这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。
压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。
它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。
这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。
第28卷第10期V ol.28No.10控制与决策Control and Decision2013年10月Oct.2013压缩感知综述文章编号:1001-0920(2013)10-1441-05尹宏鹏a,刘兆栋a,柴毅a,b,焦绪国a(重庆大学a.自动化学院，b.输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆400044)摘要:压缩感知理论的诞生使得采样速率与信号的结构和内容相关,并以低于奈奎斯特采样定理要求的频率采样、编码和重构.在实际应用中,为解决数据冗余和资源浪费的瓶颈问题开拓了一条新道路,也为其他学科发展提供了新的契机.从发展历史和研究现状等方面入手,对稀疏表示、测量矩阵的构造、稀疏重构算法和主要应用方面进行了详细的梳理和研究.对当前研究的热点、难点作了分析和探讨,并指出了未来的发展方向和应用前景.关键词:压缩感知；稀疏表示；测量矩阵；稀疏重构算法中图分类号:TP13文献标志码:ASurvey of compressed sensingYIN Hong-peng a,LIU Zhao-dong a,CHAI Yi a,b,JIAO Xu-guo a(a.College of Automation，b.State Key Laboratory of Power Transmission Equipment and System Security and New Technology，Chongqing University，Chongqing400044，China．Correspondent：YIN Hong-peng，E-mail: yinhongpeng@)Abstract:The presence of compressed sensing theory makes the sample rate relate to the signal structure and content.The sample rate of compressed sensing for the signal sample,coding and reconstruction is less than the Nyquist theorem methods. Therefore,a method is proposed to solve the bottleneck problem of data redundancy and resource-wasting.Moreover,it offers new developing chances for other researchfields.The development and current situation of compressed sensing theory are involved.A detailed carding and research on the sparse representation,measurement matrix design,reconstruction algorithm and application aspects is discussed.Therefore,the current hot spots and difficulties are analyzed and discussed.Finally,the direction of future development and application prospect are discussed.Key words:compressed sensing；sparse representation；measurement matrix；reconstruction algorithm0引言信号处理中基本的原理依据是奈奎斯特采样定理,在信号采样时,只有满足大于信号最高频率两倍的频率进行信号采样,才能精确地重构原始信号.信号采样过程中产生大量的冗余数据,最终只有部分重要的信息被应用,造成了大量资源的浪费和在特殊环境中数据使用的限制.由此学者们提出,可否利用被采样数据精确地重构原始信号或图像,这部分重要数据是可以直接采集到的.最初,Mistretta等[1]提出:能否利用有限的采样数据使得原始信号或图像被精确或近似精确地重构,以缩减核磁共振成像的时间.Mistretta等依据此观念进行模拟实验,实验采用经典的图像重构算法.实验结构证明重构的图像边缘模糊,且分辨率低.之后, Candes等[2]利用有限的采样数据精确地重构了原始信号,但采用的是惩罚思想,实验结果证明,在图像的稀疏表示中,随机选取的稀疏系数只有不少于2K个(K是非零稀疏系数的个数),原始信号或图像才能被精确地重构,且具有惟一性的特点,由此诞生了压缩传感理论.针对可稀疏压缩信号,Donoho等[3-6]在稀疏分解和信号恢复等思想的基础上提出压缩感知(CS)理论框架,随后该理论迅速发展,为解决瓶颈问题提供了理论基础.在此基础上,Donoho[3]正式提出了“压缩传感”这一术语,此后文献[2-3,6-7]针对稀疏表示的稀疏性和不相干性、稳健的压缩采样、随机测量等方收稿日期:2012-10-16；修回日期:2013-01-25.基金项目:国家自然科学基金项目(61203321)；中国博士后基金项目(2012M521676)；中央高校基金科研业务费项目(106112013CD-JZR170005).作者简介:尹宏鹏(1981−),男,副教授,博士,从事压缩感知、计算机视觉等研究；刘兆栋(1985−),男,硕士生,从事压缩感知、计算机视觉的研究.DOI:10.13195/j.kzyjc.2013.10.0131442控制与决策第28卷面进行了许多研究,并将压缩感知作为测量技术应用于天文学、核磁共振、模式识别等领域,取得了良好的发展.压缩感知引起了国外众多学者和组织机构的关注,被美国科技评为2007年度十大科技进展之一,如Waheed等[8]提出了网络数据的压缩传感;西雅图Intel、贝尔实验室、Google等知名公司也开始研究压缩感知;莱斯大学提出了一种利用光域压缩的新颖的压缩图像照相机框架和新的数字图像/视频照相机以直接获取随机映射,并建立CS专业网站,涵盖了理论和应用的各个方面[9].在国内,近几年对CS理论和实际应用的研究也成为热门的研究方向.以压缩感知为检索主题词在国家自然科学基金网络信息系统(ISIS)[10]中查询近3年的项目资助情况,其资助力度呈逐年递增趋势(2010年资助39项,合计1627万元; 2011年资助54项,合计2691万元;2012年资助77项,合计4135万元).以上结果显示,对压缩感知的研究已经受到国家层面的大力重视,也吸引了越来越多的优秀学者参与.国内众多学者对压缩感知进行了深入研究,其中具有代表性的有:文献[11]针对压缩感知稀疏重建算法进行了研究;文献[12]详细探讨了压缩传感的理论框架及其关键技术问题;文献[13]深入研究了压缩感知的理论框架和基本思想,并讨论了未来的应用前景;文献[14]探索了在探地雷达三维成像中压缩感知理论的应用;文献[15]将压缩感知理论应用于无线传感网,并在分布式压缩传感理论基础上提出了一种数据抽样压缩和重构的方法;文献[16]将可压缩传感理论运用于实际传感器网络数据恢复问题.在各个领域,压缩传感虽然已经取得了显著的成果,但是国内外学者认为仍存在很多问题需要研究[12]:1)对于越来越完善的重构算法,如何使构造的确定性测量矩阵是最好的;2)如何探索稳定的重构算法,使得原始可压缩信号或图像被精确地重构,且所构造的重构算法要求计算复杂度低、对观测次数限制少;3)如何在冗余字典或非正交分解下找到一种快速有效的稀疏分解算法;4)如何运用压缩感知理论设计有效的软硬件解决大量的实际问题;5)针对p-范数的最优化求解问题,如何深入研究;6)如何在含噪信号的重构或采样过程中收入噪声后寻求最优的信号重构算法.此外,将压缩感知理论应用于其他领域,如医学信号检测、特征提取、故障诊断、图像融合等,也是众多学者研究的难点和热点.压缩感知理论是新颖的理论,是对经典信号处理领域的补充和完善,其研究成果显著影响了图像处理、数据融合等其他领域,然而专家学者认为还有许多问题有待研究.1压缩感知研究方向在信号处理过程中,抽样的目的是运用最少的抽样点数获得有效的信息.在设计抽样系统时,完整恢复信号所需的最少抽样点数是必须考虑的问题,经典奈奎斯特定理给出了关于带限信号的答案,而在经典理论的基础上提出的压缩传感理论,由于低于奈奎斯特采样定理要求的频率采样、编码和重构,适用于更广泛的信号类型.CS理论主要涉及信号的稀疏表示、稀疏测量和重构3个基本核心问题.1.1稀疏表示稀疏表示的基本思想是假设自然信号可以被压缩表示,从数学角度而言,是对多维数据进行线性分解的一种表示方法.稀疏表示具有两个特征:过完备性和稀疏性.字典的过完备性表示字典的行数大于列数,即信号的维数小于原子的个数.相比于正交变换基,构造的过完备字典含有的原子数目更多,能提供更稳定的稀疏表示.因此,稀疏表示(即构造具有稀疏表示能力的基或者设计过完备字典Ψ)的目的是希望信号非零元个数足够少,即令Ψ足够稀疏以确保信号或图像“少采样”.目前较流行的信号稀疏表示方法多数基于稀疏变换,对信号的Fourier变换、小波变换、Gabor变换等都具有一定的稀疏性.多尺度几何分析为一些特殊形态提供了最稀疏的表示,如Curvelet变换、Bandelet变换、Contourlet变换等.部分学者研究了在混合基下的信号稀疏表示,如文献[17]将其应用于形态成分分析,文献[11]应用于图像CS重构,文献[18]应用于MRI(magnetic resonance imaging)重构等,均取得了比单一稀疏表示下更好的效果.传统的信号分解方法都是将信号分解到一组完备的正交基上,有较大的局限性.在表达任意信号时,当选用某个特定函数作为基时,基函数便决定了信号的展开形式.伴随着信息技术不断发展,信号或图像处理的理论也日新月异,更有效的非正交分解方法也因此产生.非正交分解日益引起专家学者们的重视,给信号的稀疏分解指明了一个新方向.信号在冗余字典下的稀疏分解是稀疏表示的研究热点,而构造稀疏字典的研究热点是过完备字典.冗余字典设计或学习必须遵循的基本准则是:对于信号本身的各种固有特征,在构造字典的过程中各元素应尽可能匹配.在稀疏基或字典的构造过程中,选择合适的稀疏字典能够确保信号的表示系数足够稀疏,进而确保直接与非零系数相关的压缩测量数目足够少,同时能够高概率地重构信号或图像.第10期尹宏鹏等:压缩感知综述1443经过对国内外众多优秀学者的研究和理论进行梳理,常用的稀疏表示算法主要包括基追踪算法(BP)[19]、贪婪匹配追踪算法(MP)[20]、正交匹配追踪算法(OMP)[21]等.在稀疏分解算法研究中,大多数只从原子库构造或分解算法角度出发,然后对稀疏分解算法进行各种改进.未来利用原子库自身结构特性的稀疏分解算法是压缩感知理论研究的热点之一.从现有的文献来看,众多学者对稀疏表示的研究重点主要集中在两个方面:如何找到信号的最佳稀疏基和如何从这些基或字典中找到最佳的K项组合来逼近源信号;针对已有算法如何实现冗余字典的快速计算或者设计新的低复杂度的稀疏分解算法.1.2稀疏测量为了保证精确地重构原始信号,对信号的线性投影采用一个与稀疏变换矩阵不相关的测量矩阵,从而得到感知测量值,即所谓的稀疏测量.因此,稀疏测量主要集中在两个方面:如何构造随机测量矩阵使得测量值的数目尽可能的少和如何使构造的测量矩阵与系统不相关.从原理角度看,测量矩阵的选择需要满足非相干性和限制等容性(RIP)两个基本原则.文献[22]给出并证明了测量矩阵必须满足RIP条件;文献[23]给出了测量矩阵的一个等价条件是测量矩阵与稀疏基之间不相关,即若运用与稀疏变换基不相关的测量矩阵对信号压缩测量,则原始信号可以经过某种变换后稀疏表示.构造一个与稀疏矩阵不相关的M×N(M≪N)测量矩阵Φ对信号进行线性投影,获取感知测量值y=Φf,y是M×1矩阵,使测量对象从N维降为M维[22-23].稀疏测量过程是非自适应的,即测量矩阵Φ的选择不依赖于信号f.构造的测量矩阵要求信号从f转换为y的过程中获取的K个测量值能够保留原始信号的全部信息,以保证信号的精确重构.在测量矩阵的设计过程中,有y=Φf=ΦΨα=Aα,其中A需满足有限等距性质[22-23],即对于任意K值的稀疏信号f和常数δk∈(0,1),有1−δk⩽∥Af∥22∥f∥22⩽1+δk,(1)由此K个系数可根据M个感知测量值准确重构.依据测量矩阵的限制性条件,专家学者提出的随机性测量矩阵有随机高斯测量矩阵[2-4,7]、随机贝努力矩阵[2-4]、部分正交矩阵[2]、稀疏随机矩阵[24].当前,随机性测量矩阵的劣势是存在一定的不确定性,若要消除压缩测量的不确定性,则必须进行后续处理.此外,利用实际硬件生成随机测量矩阵也较为困难.针对随机测量矩阵的不确定性和不易用硬件实现两大缺点,学者展开了对确定性测量矩阵的研究.确定性测量矩阵有利于降低内存、设计快速的恢复算法,主要分为托普利兹和循环矩[25-29]、轮换矩阵[30-31]、哈达玛矩阵[4]、改进的轮换矩阵的构造[32]等.目前,一些学者提出了通过QR分解、正交变换改进的随机测量矩阵和改进非线性相关性的确定性测量矩阵的方法.通常,压缩测量过程中存在难以在硬件上实现和采样过程中数据多等难题,测量矩阵的构造还不够完善,因此,将压缩传感理论推向实际应用的关键是构造高效且在硬件上易于实现的测量矩阵.1.3信号重构信号重构算法是指运用压缩测量的低维数据精确地重构高维的原始信号或图像,即利用M维测量值重建N(M≪N)维信号的过程.重构是压缩感知研究中最为重要且关键的部分,在信号重构方面,最初研究的是对最小化l2范数约束求解的优化问题,获取的解通常是不稀疏的,于是转而对最小化l0范数和l1范数约束求解.目前,重构算法主要分为3类:1)基于l1范数的凸优化算法;2)基于l0范数的贪婪算法;3)组合算法.对于大规模的数据问题,重构速度有时候会很快,但是原始信号的采样要支持快速分组测试重建.凸松弛算法有基追踪算法[25]、梯度投影法[30]、凸集交替投影算法[5-6]和内点迭代法[31]等;贪婪算法有匹配追踪算法[20]、正交匹配追踪算法[33]、分段式正交匹配追踪算法[34]和一些改进算法等;组合算法有链式追踪算法[35]、HHS(heavy hitter on steroids)追踪算法[36]和I-wen算法[37]等.凸优化方法是基于l1范数最小进行求解的方法,相比于其他算法,重建效果较好.因其计算量大、时间复杂度高,在大规模信号处理中不便广泛应用.然而,近些年来,一些凸优化方法在重建稀疏信号方面获得了较快的重构速度,例如交替方向算法等[38].该算法不同于其他算法将凸优化问题视为一般的极小化问题而忽略了其可分离结构,在求解凸优化问题时将各变量分离求解,极大地提高了算法的速度.相对基于l1范数最小的凸优化算法模型而言,贪婪追踪算法计算速度很快,但精度稍差,然而也能满足实际应用的一般要求.因此,基于l0范数最小的贪婪追踪算法很实用,应用广泛.此类算法针对l0范数最小化问题求解,但是改进系列算法允许在重建过程中存在一定的误差.此外,迭代阈值法也得到了广泛的应用,此类算法也较易实现,计算量适中,在贪婪算法和凸优化算法中都有应用.但是,迭代阈值法对于迭代初值和阈值的选取均较为敏感,且不能保证求出的解是稀疏的.1444控制与决策第28卷Gilbert等[35-36]提出链追踪、HHS追踪等组合优化算法,采用结构式采样矩阵线性投影,利用群测试实现精确重构.此类算法运算速度高,但采样测量矩阵复杂,现实中难以推广应用.目前,重构算法可以精确地重构原始信号或图像,但这些稀疏重构算法都存在一些无法改善的缺点.此外,现有的算法对含有噪声信号或采样过程中收入噪声信号的重构效果较差,鲁棒性也较差,如何改善有待进一步研究.2压缩感知理论的应用压缩感知理论可以高效地采集稀疏信号的信息,通过非相关性感知测量值,此特性使得压缩传感广泛地应用于现实生活中.CS理论解决了信息采集和处理技术目前遇到的瓶颈,带来了革命性的突破,受到各国学者的广泛关注,从医学成像和信号编码到天文学和地球物理学均有所应用.其中代表性的有“单像素”压缩数码照相机[9]、MRI RF脉冲设备[39]、超谱成像仪[40]、DNA微阵列传感器[41]、MPST(multi-pixel but single time)相机[42]等.此外,压缩感知表现出强大的生命力,已发展形成了分布式CS理论、贝叶斯CS理论、无限维CS理论等,并得到广泛应用,如文献[43]利用分布式CS理论实现视频的压缩和联合重构;文献[44]利用贝叶斯CS理论改善了分布式认知网络中频谱感知的精度.目前,压缩感知理论在数据压缩、信道编码、数据获取等方面获得了广泛应用,然而其自身理论还不够完善,在应用方面也是新兴学科,未来的研究中尚有许多难点问题需要解决和突破.3结论压缩感知理论的应用已经引起众多学者的高度重视,其采样速率与信号的结构和内容相关,以低于奈奎斯特采样定理要求的频率采样、编码和重构.压缩感知理论在压缩成像系统、医学成像、信息转换、雷达成像、天文和通讯等[45]领域均获得了较好的应用.通过对国内外众多学者文献的梳理和研究,总结了压缩感知理论进一步的研究方向:1)算法层面.在非正交分解或适合某一类冗余字典中,探索更有效更快速的稀疏分解算法;在多信息、多误差、多故障融合的情况下,研究新的复杂度低、精确率高的重构算法,并在测量次数、重建误差和重建速度上达到最优的平衡.2)理论层面.在随机测量矩阵方面,提高列向量之间的非线性相关性和类似噪声的独立随机性,构造一个平稳观测矩阵寻求占用存储空间小、测量数和信号长度最优的确定性测量矩阵,并给出相应的理论条件验证方法.3)应用层面.针对现实生活中噪声等实际问题,探索基于压缩感知的软硬件设计;结合现有的贝叶斯、分布式等压缩感知理论的优点,进一步探讨压缩感知与其他领域的融合.参考文献(References)[1]Marple S L.Digital spectral analysis with applications[M].Englewood Cliffs:Prentice-Hall,1987:35-101.[2]Candès E J,Romberg J,Tao T.Robust uncertaintyprinciples:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Trans on Information Theory,2006,52(2):489-509.[3]Donoho D pressed sensing[J].IEEE Trans onInformation Theory,2006,52(4):1289-1306.[4]Donoho D L,Tsaig Y.Extensions of compressedsensing[J].Signal Processing,2006,86(3):533-548. [5]Candès pressive sampling[C].Proc of the IntCongress of Mathematicians.Madrid,2006,3:1433-1452.[6]Candès E,Romberg J.Quantitative robust uncertaintyprinciples and optimally sparse decompositions[J].Foundations of Computational Mathematics,2006,6(2): 227-254.[7]Candès E,Romberg J,Tao T.Stable signal recovery fromincomplete and inaccurate measurements[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006, 59(8):1207-1223.[8]Waheed Bajwa,Jarvis Haupt,Akbar pressivewireless sensing[C].Proc of the5th Int Conf on Information Processing in Sensor Networks.New York: Nashville,2006:134-142.[9]Duarte M F,Davenport M A,Takhar D,et al.Single-pixel imaging via compressive sampling[J].IEEE Signal Processing Magazine,2008,25(2):83-91.[10]国家自然科学基金网络信息系统(ISIS)[EB/OL].[2012-12-27]./portal/Proj-List.asp. [11]王艳,练秋生,李凯.基于联合正则化及压缩传感的MRI图像重构[J].光学技术,2010,36(3):350-355.(Wang Y,Lian Q S,Li K.Based on joint regularization and compressed sensing MRI image reconstruction[J].Beijing: Optical Technology,2010,36(3):350-355.)[12]石光明,刘丹华,高大化,等.压缩感知理论及其研究发展[J].电子学报,2009,37(5):1070-1081.(Shi G M,Liu D H,Gao D pressive sensing theory and its research and development[J].Beijing:Acta Electronica Sinica,2009,37(5):1070-1081.)[13]戴琼海,付长军,季向阳.压缩感知研究[J].计算机学报,2011,34(3)425-434.(Dai Q H,Fu C J,Ji X pressive sensing research[J].Chinese J of Computers,2011,34(3):425-434.)第10期尹宏鹏等:压缩感知综述1445[14]余慧敏,方广有.压缩感知理论在探地雷达三维成像中的应用[J].电子与信息学报,2010,1(32):12-16.(Yu H M,Fang G Y.The application of compressive sensing in the ground penetrating radar three dimensional imaging[J].J of Electronics and Information Technology, 2010,1(32):12-16.)[15]Du Bing,Liu Liang,Zhang Jun.Multisensor informationcompression and reconstruction[C].Proc of Society of Photo Optical Instrumentation Engineers,Multisensor, Multisource Information Fusion:Architectures, Algorithms and Applications.Orlando,2009,7345:1-11.[16]Guo Di,Qu Xiao-bo,Xiao parativeanalysis on transform and reconstruction of compressed sensing in sensor networks[C].World Resources Institute International Conf.Kunming,2009,1:441-445.[17]Starck J L,Elad M,Donoho D.Redundant multiscaletransforms and their application for morphological component analysis[J].Advances in Imaging and Electron Physics,2004,132(82):287-348.[18]Qu Xiao-bo,Guo Di,Ning Ben-de.Undersampled MRIreconstruction with the patch-based directional wavelets[J].Magnetic Resonance Imaging,2012,30(7):964-977. [19]Chen S S,Donoho D L,Saunders M A.Atomicdecomposition by basis pursuit[J].Society for Industrial and Applied Mathematics J of Scientific Computing,1999, 20(1):33-61.[20]Mallat S,Zhang Z.Matching pursuits with time frequencydictionaries[J].IEEE Trans on Signal Process,1993, 41(12):3397-3415.[21]Pati Y,Rezaiifar R,Krishnaprasad P.Orthogonal matchingpursuit:Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition[C].IEEE Proc of the27th Annual Asilomar Conf on Signals,Systems and Computers.Los Alamitos,1993,1(11):40-44.[22]Candès E.The restricted isometry property and itsimplications for compressed sensing[J].Computers Rendus Mathematique,2008,346(9/10):589-592.[23]Richard Baraniuk,Mark Davenport,Ronald DeV ore,et al.A simple proof of the restricted isometry property forrandom matrices[J].Constructive Approximation,2008, 28(3):253-263.[24]方红,章权兵,韦穗.基于非常稀疏随机投影的图像重构方法[J].计算机工程与应用,2007,43(22):25-27.(Fang H,Zhang B Q,Wei S.Image reconstruction methods based on the very sparse random projection[J].Beijing: Computer Engineering and Applications,2007,43(22):25-27.)[25]Yin W T,Morgan S P,Yang J F,et al.Practicalcompressive sensing with toeplitz and circulant matrices[C].Proc of Visual Communications and Image Processing.Huangshan,2010,7744:1-10.[26]Bajwa W,Haupt J,Raz G,et al.Toeplitz structuredcompressed sensing matrices[C].Proc of the IEEE Workshop on Statistical Signal Processing.Washington, 2007:294-298.[27]Sebert F,Zou Y M,Ying L.Toeplitz block matrices incompressed sensing and their Applications in imaging[C].Proc of Int Conf on Technology and Applications in Biomedicine.Washington,2008:47-50.[28]Holger Rauhut.Circulant and toeplitz matrices incompressed sensing[C].Proc of Signal Processing with Adaptive Sparse Structured Representations.Saint Malo, 2009:1-6.[29]Berinde R,Piotr Indyk.Sparse recovery using sparserandom matrices[R].Cambridge:MIT’s Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory,2008.[30]Lorne Applebaum,Stephen Howard,Stephen Searle,et al.Chirp sensing codes:Deterministic compressed sensing measurements for fast recovery[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2009,26(2):283-290.[31]Romberg pressive sensing by randomconvolution[J].Society for Industrial and Applied Mathematics(SIAM)J on Imaging Sciences,2009,2(4): 1098-1128.[32]付强,李琼.压缩感知中构造测量矩阵的研究[J].电脑与电信,2011,7(1):39-41.(Fu Q,Li Q.The research of constructing the measurement matrix in compressive sensing[J].Computer and Telecommunication,2011,7(1):39-41.)[33]Trop J A,Gilbert A C.Signal recovery from randommeasurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans on Information Theory,2007,53(12):4655-4666.[34]Donoho D L,Tsaig Y,Drori I,et al.Sparse solution ofunderdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching pursuit[R].Standford,2006.[35]Gilbert A,Strauss M,Tropp J,et al.Algorithmic lineardimension reduction in the norm for sparse vectors[C].Proc of the44th Annual Allerton Conf on Communication.Allerton,2006:9.[36]Gilbert A,Strauss M,Tropp J,et al.One sketch for all:Fast algorithms for compressed sensing[C]．Proc of39th Association for Computing Machinery(ACM)Symposium: Theory of Computing.San Diego,2007,7:237-246.(下转第1453页)第10期简惠云等:“报童问题”中风险偏好下的条件风险值及其优化1453for“company+farmer”contract-farming with CVaR criterion[J].Systems Engineering-Theory&Practice, 2011,31(3):450-460.)[8]马利军,李四杰,严厚民.具有风险厌恶零售商的供应链合作博弈分析[J].运筹与管理,2010,19(2):12-21.(Ma L J,Li S J,Yan H M.Channel bargaining with risk-averse retailer[J].Operations Research and Management Science,2010,19(2):12-21.)[9]Gan Xiang-hua,Suresh P Sethi,Yan Hou-min.Channelcoordination with a risk-neutral supplier and a downside-risk-averse retailer[J].Production and Operations Management,2005,14(1):80-89.[10]许明辉,于刚,张汉勤.带有缺货惩罚的报童模型中的CVaR研究[J].系统工程理论与实践,2006,26(10):1-8.(Xu M H,Yu G,Zhang H Q.CVaR in a newsvendor model with lost sale penalty cost[J].Systems Engineering -Theory&Practice,2006,26(10):1-8.)[11]Gotoh Jun-ya,Takano Yui-chi.Newsvendor solutions viaconditional value-at-risk minimization[J].European J ofOperational Research,2007,179(1):80-96.[12]Hsieh Chung-chi,Lu Yu-ting.Manufacturer’s returnpolicy in a two-stage supply chain with two risk-averse retailers and random demand[J].European J of Operational Research,2010,207(1):514-523.[13]Worner Jammernegg,Peter Kischka.Risk-arerse andrisk-taking newsvendor:A conditional expected value approach[J].Review of Managerial Science,2007,1(4): 93-110.[14]邱若臻,黄小原.基于条件风险值准则的供应链回购契约协调策略[J].运筹与管理,2011,20(4):10-16.(Qiu R Z,Huang X Y.The supply chain buyback contract coordination strategy based on conditional value-at-risk criterion[J].Operations Research and Management Science,2011,20(4):10-16.)[15]Tyrrell Rockafellar R,Stanislav Uryasev.Optimization ofconditional value-at-risk[J].J of risk,2000,2(3):21-42. [16]Tyrrell Rockafellar R,Stanislav Uryasev.Conditionalvalue-at-risk for general loss distributions[J].J of Banking &Finance,2002,26(7):1443-1471.(上接第1445页)[37]Iwen Mark.A deterministic sublinear time sparseforier algorithm via non-adaptive compressed seining methods[C].Proc of ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms Society for Industrial and Applied Mathematics.Philadelphia,2008:20-29.[38]Yang J F,Zhang Y.Alternating direction algorithmsfor l1−problems in compressive sensing[J].Society for Industrial and Applied Mathematics(SIAM)J on Scientific Computing,2011,33(1):250-278.[39]Zelinski A C,Wald L L,Setsompop K.Sparsity-enforcedslice-selective MRI RF excitation pulse design[J].IEEE Trans on Medical Imaging,2008,27(9):1213-1229. [40]Willett R M,Gehm M E,Brady D J.Multiscalereconstruction for computational spectral imaging[C].Proc of Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE)and Electronic Imaging-computational Imaging.Bellingham,2007,6498:64980L.[41]Dai W,Sheikh M,Milenkovic O,et pressivesensing DNA microbarrays[J].EURASIP J on Bioinformatics and Systems Biology,2009,162824:12.[42]Zhang Y,Mei S,Chen Q,et al.A novel image/videocoding method based on compressed sensing theory[C].IEEE Int Conf on Acoustics,Speech and Signal Processing(ICASSP).Las Vegas,2008:1361-1364. [43]Prades-Nebot J,Ma Y,Htlang T.Distributed video codingusing compressive sampling[C].Proc of the27th Conf on Picture Coding SymPosium.Chicago,2009:165-168. [44]汪振兴,杨涛,胡波.基于互信息的分布式贝叶斯压缩感知[J].中国科学技术大学学报,2009,39(10):1045-1051.(Wang Z X,Yang T,Hu B.Bayesian compressive sensing based on mutual information[J].J of University of Science and Technology of China,2009,39(10):1045-1051.) [45]朱丰,张群.一种新的基于遗传算法的压缩感知重构方法及其在SAR高分辨距离像重构中的应用[J].控制与决策,2012,27(11):1669-1675.(Zhu F,Zhang Q.A novel compressive sensing reconstruction method based on genetic algorithm and its application in high resolution range of SAR image reconstruction[J].Control and Decision,2012,27(11): 1669-1675.)。
分布式压缩感知理论研究综述及应用【摘要】分布式压缩感知是一种新兴的信号采样和重构技术，能够显著减少传感器网络中的数据通信量。
本文首先对分布式压缩感知理论进行概述，然后探讨了在图像处理、视频传输和无线传感器网络中的应用案例。
接着介绍了分布式压缩感知理论研究的最新进展，包括算法优化和理论探索。
在分析了分布式压缩感知理论的潜在应用，同时总结了当前研究的局限性和未来发展方向。
通过本文的研究，我们可以更好地了解分布式压缩感知技术在不同领域的应用前景，为相关领域的研究和应用提供重要参考。
【关键词】分布式压缩感知、理论研究、应用、图像处理、视频传输、无线传感器网络、进展、潜在应用、总结、展望1. 引言1.1 研究背景随着大数据和物联网技术的快速发展，传感器网络、图像处理和视频传输等领域数据的处理和传输需求不断增加。
传统的数据处理和传输方法往往会消耗大量的时间和资源，限制了数据的高效处理和传输。
分布式压缩感知理论应运而生，它能够较少地采样原始数据，同时具有较高的重建精度，可以有效地减少数据的处理和传输开销。
分布式压缩感知理论结合了信号处理和信息理论的相关理论，致力于在分布式系统中利用稀疏性和压缩感知技术来实现高效的数据处理和传输。
通过对信号进行低维度测量，再基于这些测量的信息来重建信号，从而实现数据的高效压缩和传输。
分布式压缩感知理论的提出极大地推动了数据处理和传输的效率，为大数据时代的数据处理和传输提供了新的解决方案。
在不同领域的应用中，分布式压缩感知理论都展现出了其独特的优势和潜力。
1.2 研究意义分布式压缩感知理论的研究意义在于为解决传统压缩技术在大数据处理中面临的困难和挑战提供了新的思路和方法。
传统压缩技术在处理大规模数据时存在计算复杂度高、通信开销大、存储需求大等问题，而分布式压缩感知理论正是针对这些问题提出的一种新型数据压缩方法。
通过在数据采集端对数据进行压缩处理，可以有效减少数据传输过程中的数据量，降低通信成本和存储需求，同时保持数据的重要信息，实现对数据的高效压缩和传输。
基于压缩感知的信号重构算法研究共3篇基于压缩感知的信号重构算法研究1基于压缩感知的信号重构算法研究随着信息技术的发展以及现代通信系统的广泛应用，人们对于信号重构算法的研究也越来越深入。
其中，基于压缩感知的信号重构算法受到了广泛关注。
本文将从以下四个方面来探讨该算法的研究。
一、压缩感知的基本原理压缩感知的核心思想是将一个高维信号（如图像、音频等）映射到一个较低维的空间中，然后再通过一个线性投影方式将数据压缩。
利用测量矩阵可以将压缩后的数据重构到原来的高维空间中，并且能够利用未知信号的稀疏性完成恢复过程。
这种低维的表示方式可以使数据占用的空间大大减小，因此压缩感知成为了高效的信号采样方式。
二、常见的压缩感知算法常见的压缩感知算法包括OMP算法、CoSaMP算法、MPCP算法等。
其中OMP算法是一种迭代算法，用于寻找稀疏表示向量。
CoSaMP算法考虑到了噪声的影响，能够更准确地进行稀疏重构。
MPCP算法则是多向量压缩感知的拓展，用于处理多个信号的联合稀疏性问题。
三、压缩感知在图像压缩方面的应用基于压缩感知的信号重构算法在图像压缩方面的应用也是较为广泛的。
传统的JPEG和PNG等图像压缩算法虽然能够将图像进行压缩，但是重构后的图像质量较差，并且对于稀疏性较强的图像处理能力有限。
基于压缩感知的算法能够更好地处理稀疏性强的图像，同时也能够提高图像的显示效果。
四、压缩感知在音频处理方面的应用除了在图像处理方面的应用，基于压缩感知的信号重构算法在音频处理方面也具有广泛的应用前景。
例如在音频采样、去噪、提取声音等方面都有着极为广泛的应用。
此外，利用压缩感知的技术，人们还可以用较小的存储空间存储大量音乐等高质量音频数据。
综上所述，基于压缩感知的信号重构算法是一种高效且优越的信号处理方法，具有较广泛的应用前景。
在未来的研究中，我们可以结合更多的数据处理技术来提高算法的效率和精度基于压缩感知的信号重构算法在信号处理中具有广泛应用前景，能够更好地处理稀疏性较强的信号，并提高信号质量。
基于压缩感知的无线通信信息处理方法作者：王琦来源：《中国新通信》2021年第13期【摘要】为实现5G通信高速发展，促进无线通信技术，基于压缩感知对无线通信信息处理方法进行研究设计，将压缩感知的采样理论与无线通信的信息相结合，利用其进行信息采样，认知识别相关通信信息，对其进行分类整合，处理列阵信号，对通信信息进行加工后，基于信息的稀疏特征，对其设置稀疏信道估计，以此将通信信息进行进一步处理，使其在通信过程中，保障其信息的准确性。
通过实验研究，论证基于压缩感知的无线通信信息处理方法更符合时代的发展，相较传统的处理方法，其处理结果更具有准确性。
【关键词】压缩感知无线通信稀疏信道估计引言：目前通信网络不断地发展，利用无线电波进行信息传导属于促进发展必不可少的环节之一，随着5G的投入开发，在进行无线通信技术研究的过程中，为实现信息传播的准确性[1]。
本文将压缩感知与无线通信产业结合起来，利用压缩感知对信息采集的特殊性与优越性，使无线通信产业对信息处理的方法更加精进，能够提高无线通信信息的准确性，保障其进行有效的输出。
一、基于压缩感知的无线通信信息处理方法设计1.1利用压缩感知采样信息在采样前需对现代信号进行处理，其采样原则主要是以重建为主要原理，在無线电信号传播的途中，根据离散标准对其进行信号截获，基于Shannon采样理论进一步进化，形成压缩感知采样理论，将信号群体进行捕捉，再将信号群体中的离散样本进行获取，获取成功后，根据离散样本的特征，对其进行信息重建工作[2]。
在采样过程中应注意采样频率与信号频谱之间的关系，采样频率与信号频谱之间倍数的差值是决定采样离散样本标准的关键点。
对通信信息进行采样，其主要依靠无线电波进行信息传播的工作，在压缩感知的过程中，将信号进行分类，传统的信息采集以先验信息为标准，其主要指信号的带宽度，与传统采集方式不同的是，压缩感知的采样理论以信号自身的稀疏特征[3]，对其进行采样，主要在于无线电通信信号自身的构成，其除了先验信息的标准外，自身还具有其一小部分的特点，而利用这个特点对其进行离散样本采样，该特点可以通过很少的数字信息即可表示，减少了任务的工作量。
压缩感知回顾与展望焦李成,杨淑媛,刘 芳,侯 彪(智能感知与图像理解教育部重点实验室,西安电子科技大学,陕西西安710071)摘 要: 压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析等基础上的一种全新的信息获取与处理的理论框架.它基于信号的可压缩性,通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist 采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知.压缩感知不仅让我们重新审视线性问题,而且丰富了关于信号恢复的优化策略,极大的促进了数学理论和工程应用的结合.目前,压缩感知的研究正从早期的概念理解、数值仿真、原理验证、系统初步设计等阶段,转入到理论的进一步深化,以及实际系统的开发与应用阶段.本文分析了压缩感知的原理与应用,综述了压缩感知的最新进展及存在的问题,指出了进一步研究的方向.关键词: 压缩感知;稀疏表示;压缩观测;优化恢复中图分类号: TN911 72 文献标识码: A 文章编号: 0372 2112(2011)07 1651 12Development and Prospect of Compressive SensingJIAO Li cheng,YANG Shu yuan,LI U Fang,HOU Biao(K e y Lab o f Inte lligent Pe rce ption and Image Unde rstanding o f Ministry o f Education ,Xidian U ni versity,Xi an ,Shaanxi 710071,China )Abstract: Compressive Sensing (CS)is a new developed theoretical framework for information acquisition and processing,which is based on matrix analysis,statis tical probability theory,topological geometry,opti mization and opsearch,fu nctional analysis and so on.T he high di mensional signals can be recovered from the low dimensional and sub Nyquis t sampling data based on the compressibility of signals.It not only ins pires us to survey the linear problem again,but also enriches the optimization approaches for signal recovery to promote the combination of mathematics with engineering application.Nowadays the researches on compressive sensing have developed from the earlier concept unders tanding,numerical simulation,principle verification,and pri mary system des ignation,to the deeper researches on theory,development and application of practical system.In this paper,we introduce the basic idea of compressive sensi ng,and the development his tory,current and fu ture challenges.Key words: compressive sensing;sparse representation;compressive measu rement;optimization recovery1 引言众所周知,在奈奎斯特(Nyquist )采样定理为基础的传统数字信号处理框架下,若要从采样得到的离散信号中无失真地恢复模拟信号,采样速率必须至少是信号带宽的两倍.然而,随着当前信息需求量的日益增加,信号带宽越来越宽,在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求.最近由D Donoho 、E Cand s 及华裔科学家T Tao 等人提出的压缩感知(Co mpressive Sens ing,CS)理论[1~5]指出了一条将模拟信号 经济地 转化为数字形式的压缩信号的有效途径:利用变换空间描述信号,通过直接采集得到少数 精挑细选 的线性观测数据(这些数据是包含了信号全部信息的压缩数据),将信号的采样转变成信息的采样,通过解一个优化问题就可以从压缩观测的数据中恢复原始信号.在该理论下,信号的采样速率不再取决于信号的带宽,而是取决于信息在信号中的结构与内容,因此在满足(1)信号的可压缩性,(2)表示系统与观测系统的不相关性两大条件下,从低分辨观测中恢复高分辨信号就成为了可能.压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析与时频分析等基础上的一种新的信号描述与处理的理论框架.CS 理论避开了高速采样,一旦实践成功,就意味着信号的采样与处理都可以以非常低的速率进行,这将显著降低数据存储和传输代价,以及信号处理时间和计算成本,给信号处理领域带来新的冲击.另一方面,这种压缩观测的思想也给收稿日期:2011 05 20;修回日期:2011 06 06基金项目:国家自然科学基金(No.61072108,No.60971112,No.61072106,No.60971128,No.60970067,No.61072108);中央高校基本科研业务费专项资金(No.J Y10000902041,No.J54510020160,No.J Y10000902001,No.K50510020001);高等学校学科创新引智计划(111计划)(No.B07048)第7期2011年7月电 子 学 报ACTA ELECTRONICA SINICA Vol.39 No.7Jul. 2011高维数据分析指出了一条新的途径.因此,CS 理论一经提出,就在信息论[6~8]、医疗成像[9~15]、光学/遥感成像[16~21]、无线通信[22~26]、模式识别[27~31]、生物传感[32~35]、雷达探测[36,37]、地质勘探[38,39]、天文[40]、集成电路分析[41]、超谱图像处理[42]、图像压缩[43]、图像超分辨重建[44]等领域受到高度关注,并被美国科技评论评为 2007年度十大科技进展 ,D Donoho 因此还获得了 2008年I EEE I T 学会最佳论文奖 .如今CS 理论自身也表现出强大的生命力,已发展了分布式CS 理论[45~47],1 BI T CS 理论[48,49],Bayesian CS 理论[50~52],无限维CS 理论[53],变形CS 理论[54]、谱CS [55]、边缘CS 理论[56]、Kronec ker CS 理论[57]、块CS 理论[58]等.它们不仅为许多应用科学如统计学、信息论、编码理论、计算机科学等带来了新的启发,而且在许多工程领域如低成本数码相机和音频采集设备、节电型图像采集设备、高分辨率地理资源观测、分布式传感器网络、超宽带信号处理等都具有重要的实践意义.尤其是在成像方面如地震勘探成像和核磁共振成像中,基于CS 理论的新型传感器已经设计成功,将对昂贵的成像器件的设计产生重要的影响[9~11].在宽带无线频率信号分析中,基于CS 理论的欠Nyquist 采样设备的出现,将摆脱目前A/D 转换器技术的限制困扰[59~61].目前,CS 理论与应用研究正在如火如荼地进行:在美国、欧洲等许多国家的知名大学如麻省理工学院、莱斯大学、斯坦福大学、杜克大学等都成立了专门课题组对CS 进行研究;2008年,贝尔实验室,Intel,Google 等知名公司也开始组织研究CS;2009年,美国空军实验室和杜克大学联合召开了CS 研讨会,美国国防先期研究计划署(DARPA)和国家地理空间情报局(NG A)等政府部门成员与数学、信号处理、微波遥感等领域的专家共同探讨了CS 应用中的关键问题;第二次以 压缩感知和高维数据分析 为主题的研讨会也将在2011年的7月26~28日在杜克大学召开.在国内,一些高校和科研机构也开始跟踪CS 的研究,如清华大学、中科院电子所、西安交通大学和西安电子科技大学等.自从2006年CS 的提出,在IEEE 的信号处理汇刊、信号处理快报汇刊、信号处理杂志、信息论汇刊等国际知名期刊上开始涌现出上百篇关于CS 理论与应用方面的文献.2010年,I EEE Journal of Selected Topics in Signal Proce ssing 专门出版了一期关于CS 的专刊,促进了CS 理论在各个领域应用成果的交流.2011年4月,第一本关于CS 的专著 Compressed Se nsing:The ory and Applications 出版,不仅系统的介绍了CS 的概念,而且汇集了世界各国学者在CS 理论和应用上的观点和成功范例.国家自然科学基金委也自2009年资助了多项压缩感知方法的研究,涉及认知无线电、雷达成像、信号稀疏表示、多媒体编码、人脸识别等领域.本文将以压缩感知的理论与应用为主线,综述压缩感知基础理论、关键问题以及典型的应用,展望未来的研究方向.2 压缩感知基础理论在介绍压缩感知理论之前,需要指出的是:尽管压缩感知理论最初的提出是为了克服传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制,但是它与传统采样定理有所不同.首先,传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号,而压缩感知理论描述的是有限维观测向量空间的向量;其次,传统采样理论是通过均匀采样(在很少情况下也采用非均匀采样)获取数据,压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积获得观测数据;再次,传统采样恢复是通过对采样数据的Sinc 函数线性内插获得(在不均匀采样下不再是线性内插,而是非线性的插值恢复),压缩感知采用的则是从线性观测数据中通过求解一个高度非线性的优化问题恢复信号的方法.首先介绍压缩感知的数学模型.2.1 压缩感知的数学模型若将N 维实信号x R N 1在某组正交基{ i }Ni =1( i 为N 维列向量)下进行展开,即:x =Ni=1i i (1)其中展开系数 i =<x, i >= Ti x .写成矩阵的形式,可以得到:x = (2)这里 =[ 1, 2, , N ] RN N为正交基字典矩阵(满足 T = T =I ),展开系数向量 =[ 1, 2,, N ]T .假设系数向量 是K 稀疏的,即其中非零系数的个数K <<N ,那么采用另一个与正交基字典 不相关的观测矩阵 :M N (M <<N )(这里 的每一行可以看作是一个传感器,它与系数相乘,获取了信号的部分信息),对信号x 执行一个压缩观测:y = x(3)就可以得到M 个线性观测(或投影)y R M ,这些少量线性投影中则包含了重构信号x 的足够信息,如图1所示.1652 电 子 学 报2011年从y 中恢复x 是一个解线性方程组的问题,但从方程(3)上看,这似乎是不可能的,因为这是一个未知数个数大于方程个数的病态方程,存在无穷多个解.但是,将式(2)带入式(3),记CS 信息算子A CS = ,可以得到:y = =A CS(4)虽然从y 中恢复 也是一个病态问题,但是因为系数 是稀疏的,这样未知数个数大大减少,使得信号重构成为可能.那么在什么情况下式(4)的解是存在的呢?可以证明:只要矩阵A CS 中任意2K 列都是线性独立的,那么至少存在一个K 稀疏的系数向量 满足y =A CS .换言之,在满足上述要求的情况下,通过求解一个非线性优化问题就能从观测y 、观测矩阵 和字典矩阵 中近乎完美的重建信号x.信号压缩感知的过程如图2所示:2.2 压缩感知的条件从信号的压缩观测中实现信号的重建是需要满足一定条件的:首先,对于由正交基字典矩阵 确定的表示系统,要满足信号在 下的稀疏性或可压缩性,即信号需要在变换空间下的展开系数足够的稀疏;其次,假设在表示系统中能够获得K 稀疏的系数,对于由观测系统 所确定的CS 信息算子A C S ,需要满足任意2K 列都是线性无关的.在这两个条件都同时满足时,就可以通过求解如下问题:min0s.t .y = x =A C S(5)获得一个唯一确定的解,即稀疏系数向量 ,将它与字典相乘,就可以得到信号x = .观察式(5)就会发现:为了求得稀疏系数,需要穷举 中所有可能的NK个非零项的组合,这是一个NP hard .目前求解该问题主要有两类方法:以匹配追踪(Ma tching Pursuit,MP )[62]和正交匹配追踪(Orthogonal Ma tching Pursuit,OMP)[63]为代表的贪婪算法,以及迭代阈值收缩为代表的门限算法[64].贪婪算法存在的问题是时间代价过高,无法保证收敛到全局最优;而门限算法虽然时间代价低,但对数据噪声十分敏感,解不具有连续性,且不能保证收敛到全局极小.由Cand s 和Donoho 提出的l 1范数下的凸化压缩感知恢复框架是一个里程碑式的工作,它的基本思想是将式(5)的非凸的优化目标用l 1范数来代替[3]:min1s.t .y =A CS(6)这就将式(5)的优化问题变成了一个凸优化问题,可以方便地转化为线性规划问题求解,因此称之为凸化的压缩感知框架.CS 理论提出之初,绝大多数研究都建立在此基础上.在有限等距性质(Restricted Iso me try Proper ty,RIP)和有限等距常数(Restric ted Isometry Constant,RIC)框架下[3,65~67],一些学者证明了l 1范数和l 0范数的等价条件,2008年,Cand s 给出了有限等距常数需满足的条件[2]: 2S <0 414;2009年,Foucart and Lai 等人将此界放松: 2S <0 4531[65];之后Cai 等人又证明: 2S <0 472[66].2010年,Cai 等人给出新的RIC 界: S <0 307[67].但是,判断一个矩阵是否满足RI P,以及其RIC 的计算都是非常困难的,除RI P 理论可以衡量某个测量矩阵能处理稀疏信号的能力外,Donoho 还提出了相关性判别理论[68],Elad 提出了矩阵Spark 判别理论[69]、Kashin 和Temlakov 提出了测量算子零空间理论[70],以及Donoho 和Tanner 的k neighborly 理论等.相关性判别理论采用矩阵A C S的互相关系数(mutual cohe rence coef ficie nt )衡量压缩重建的条件.互相关系数定义为矩阵任意两个归一化列向量之间的相关系数的最大值,该值介于0和1之间,取值越小则说明矩阵A C S 列之间的相关性越弱,即观测矩阵与字典矩阵之间具有低相关性.Spark 常数定义为矩阵线性相关向量组的最小数目,取值越大则说明矩阵A C S 列之间的相关性越弱.Donoho 和Elad 早在2003就指出:对于式(4)的欠定系统,若要通过求解式(5)的非线性优化问题唯一确定地得到一个K 稀疏的解 ,矩阵A C S的Spark 常数至少要等于2K,但是矩阵Spark 常数的计算也是一个NP 难问题.总结来说,关于压缩重建的条件可以通过矩阵A C S 的三个定量指标衡量,即互相关系数、Spark 常数和RIC.在这些理论中,只有Donoho 提出的相关性判别理论可以较为直观的用来判别某一测量矩阵的形态.2.3 压缩感知的关键要素从上述数学模型可知,压缩感知理论的实现包含三个关键要素:稀疏性、非相关观测、非线性优化重建,其中信号的稀疏性是压缩感知的必备条件,非相关观测是压缩感知的关键,非线性优化是压缩感知重建信号的手段.信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提,并且直接影响着信号感知的效率.由统计理论和组合优化理论可知:在满足重构条件时,通过选择合适的观测方式和重建算法,仅需要K +1次观测就可将N 维空1653第 7 期焦李成:压缩感知回顾与展望间的K -稀疏信号精确地重建.2007年Cand s 也指出,对于随机高斯和随机 1的Rade mac her 观测矩阵,O (K *log (N /K ))的采样就能将N 维信号的K 个最大值以较高的概率稳定重建.因此,信号在字典矩阵 下的表示越稀疏,高概率精确重构所需要的观测数目就越少.压缩感知的关键是观测矩阵的构造.作为感知的前端,观测系统要求物理上容易实现,并且与表示系统所形成的CS 信息算子矩阵A C S 具有较小的RI C .观测矩阵设计中的两个关键内容就是观测波形和采样方式,设计的主要原则是:(1)观测波形在理论上的最优性能,即A C S要具有良好的性质;(2)观测波形的普适性,即要满足和一般的字典或表示系统都具有不相关性;(3)实用性,包括快速计算、低存储量、硬件易实现等.目前常采用的测量波形是独立同分布的高斯随机波形、贝努利分布随机波形、Fourie r 正交函数系、半Fourier 矩阵、Chirp 序列、Alltop 序列等.随机观测矩阵在理论上能满足其最优性,2006年,Cand s 和Tao 等证明了:独立同分布的高斯随机变量形成的观测矩阵与任意正交字典都具有较强的不相关性[4].2011年,Cand s 指出:在独立同分布的高斯随机变量形成的观测矩阵和任意超完备冗余字典的条件下,压缩观测信号的精确恢复仍然是有可能的[71],因此高斯随机矩阵可成为普适的CS 观测矩阵.但是,在实际实现中,其计算复杂度较高,占用的内存较多,因此不适合大规模应用.半Fourier 矩阵计算快速、但不满足普适性,即只能用于时域稀疏的信号,不适用于自然图像等信号.在采样方式上,目前主要的有均匀采样、随机采样等.非线性优化是CS 重建信号的手段,也是从低分辨观测中恢复出高分辨信号所必须付出的软件代价.如前所述,Cand s 和Donoho 提出的l 1范数下的凸化压缩感知恢复是一个里程碑式的工作,对该框架的研究产生了丰富的关于优化恢复的工具,极大的促进了数学理论与工程实践的结合.此外,有些学者放松了l 0范数的稀疏测度,使用非凸的l p (0<p <1)稀疏测度代替,研究松弛压缩感知框架下的信号恢复[72~74].国内学者徐宗本证明了p =0 5时解的最优性,并给出了最优解的解析形式[75].在下一节中,我们将详细分析这三个要素,回顾取得的成果,指出关键问题,并结合已做的工作,指出后续研究的方向.3 稀疏表示(描述)系统稀疏表示是信息优化建模的终极目标,也是信息处理中一个古老而又崭新的课题,利用稀疏性可以解决信号处理中许多复杂的问题,各种数学分析和信号处理的理论为字典的构建提供了许多良好的工具,如图3所示.稀疏表示的研究兴起于二十世纪九十年代,在本世纪初得到蓬勃发展,压缩感知的提出更是为其提供了工程应用的土壤,极大地丰富了该领域的研究成果.在压缩感知中,稀疏表示系统的设计归结为稀疏字典 的设计.从不同的角度,我们可以将字典进行不同的分类.例如按照字典中原子是否正交,可以分为正交基字典和过完备冗余字典,按照字典中原子的来源又可以分为正交变换字典、框架字典和统计学习获得的字典等.根据 的不同形式,本节将讨论如下几种情况下的稀疏表示.3.1 正交基字典压缩感知提出之初均假设字典为标准正交基字典.标准正交基字典一般由一个正交变换得到,如Fourier 变换、DCT 变换、沃尔什变换、小波变换等,其特点是构造简单、实现快速、表示过程的复杂度较低.在信号特征与字典中原子特征一致的时候,能够得到高效精确的表示.但是,对于实际信号来说,信号的稀疏度是未知的,极少数信号在上述常见正交基上的投影系数只存在少量非零值,或者说,这些固定的正交基不足够灵活的来表示信号如声音或自然图像所具有的复杂未知规则性,使信号在变换域足够稀疏.例如,DCT 字典的基函数缺乏时间/空间分辨率,因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征;小波分析对于多维信号来说并不是最优的,不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征.因此从字典的构成来说,由于实际信号之间千差万别,在不知道信号先验的前提下,我们希望字典应自适应于信号本身所固有的特性或结构.在正交基字典的定义下,能否构造自适应的基函数,以求得信号的最优稀疏表示呢?当然,答案是肯定的.Peyr 证明了自适应正交字典的可行性的,他指出一维信号的非平稳的正交小波包系数,具有任意C a 规则性图像信1654 电 子 学 报2011年号的Bandelet系数都具有足够的稀疏性[76].那么我们就可以在CS框架下,根据不同的信号寻找最适合其特征的一个正交基,以代替原有的Fourie r基、DCT等,使得信号在它下面具有最稀疏的表示.这种方法的缺点是对于高维信号如图像、视频等,常需要构造规模很大的字典,并且在某些情况下其解析形式不易给出.3.2 正交基级联字典对于时频变化范围很广且已知一些稀疏性先验的信号,我们可以采用多组正交基级联的字典.某些实际信号可能会表现出是一些自然现象的混合体,有两种或更多种结构类型同时出现在信号里,但它们之间却完全不同,其中一个都不能有效地模拟另一个,这些混合信号虽然在单一的正交基变换中不能非常有效地表现,但是在多个正交基级联字典下能得到较好效果,其中信号的每一部分都能在相应基字典下得到好的表示.例如,一个含有脉冲和正弦波形的混合信号,在脉冲基函数字典和正弦基函数字典下就能够得到有效的表示.上世纪九十年代初期,有研究人员在实验中发现:如果图像信号f在字典D中有非常稀疏的表示,并且D是由三角函数和冲击函数组成的字典,那么在1范数凸化CS框架下,这个稀疏表示就可以完全重构.实验的观察结果很快转入一系列的理论证明,首先得到验证的是两个正交基的联合,然后是数个不相干基的联合以及更普遍的准不相干字典,也就是说正交字典级联恰好满足稀疏信号精确重构的条件.因此之后,试图将不同类型正交字典级联起来形成新的冗余字典,以实现图像信号的精确重构引起人们的浓厚兴趣.有学者指出:在N维有限空间中,假设两个或者更多个正交基级联组成的字典,若其相干系数为 =1/N,这个级联字典就被认为是(完全)不相干的,则信号在其上的稀疏表示就满足精确重构条件.除了冲激函数和三角函数级联字典外,常采用的有L2(0,1)上的Haar 函数和Walsh函数组成的级联正交字典,Daubec hie s系列小波基db1 db10构造的正交基级联字典,小波函数和Curvele t函数组成的级联正交字典等[77,78].通过这种级联,可以丰富字典的内容,能让各类原子互相弥补表示的不足,使稀疏表示更加有效.其缺点是虽然利用具有互补性的多类正交基系统构成了字典,但信号的特性要与字典的特性一致,在不一致的情况下就难以得到满意的结果.此外,当采用不同正交基系统级联成冗余字典之后,需要对字典矩阵的互相关系数做定量的评价,以及在理论上分析其完全重构的性能.3.3 框架字典众所周知,对于信号的稀疏表示问题,冗余的字典不仅可以使稀疏表示更加灵活,而且能提高信号表示的稀疏度.大量的研究表明:超完备冗余字典下的信号稀疏表示更加有效.这样,也可以将CS理论中的稀疏表示从正交基扩展到超完备冗余字典.在稀疏表示中很多学者很早就已指出:利用框架理论会带来更好的表示结果.框架理论最早是Duffin和Schaeffer[79]于1952年为解决从非正则样本值重构带限信号时给出,定义如下:在平方可求和空间L2(Z2)中,若存在两个正的常数A和B(0<A B< )使得式(7)对所有f(t) L2(R)恒成立:A f 2 m=- n=- |<f, mn>|2B f 2(7)则函数集合{ mn}组成一框架.正常数A和B分别表示框架的下边界和上边界,度量了框架的冗余性.利用框架理论进行稀疏表示的好处就是利用冗余性可以得到更加有效的表示[80].一方面,框架字典的设计具有较强的理论基础,一些常见的变换如冗余DCT 变换、二进小波、多小波、小波包等都能够构成冗余的框架.另一方面,框架字典由给定的框架结构决定,改变函数集合{mn}的参数取值,就可以方便地得到不同的字典原子,丰富的原子会更大可能地符合信号本身所固有的特性.当取极限情况A=B时,则称该框架是紧框架.当{ mn}是线性独立时,框架就不是冗余的,变为Riesz基.当A=B=1,则该框架变为正交基.3.4 字典学习以上字典均或多或少的需要利用信号的先验信息,原子类型一旦确定就不再变化,当研究的信号发生变化时,所确定的字典不一定再适合.在超完备冗余字典的情况下,为了对很多类型的信号都能得到较好的表示结果,需要自适应的冗余字典.自适应冗余字典设计的思路是通过字典学习算法获得更符合信号内容,特征,或者纹理信息的原则.但是,冗余性会带来字典中原子数目的剧增,而且在冗余字典下自适应求解信号的最佳稀疏逼近是一个NP难问题,那么如何设计快速、有效且复杂度低的优化算法,是需要考虑的问题.自适应冗余字典可以随着不同的输入信号做出调整[81~87],近年来在图像去噪、图像去马赛克、图像修复和识别等领域中均有着成功的应用.字典学习[81,82]就是从数据中学习稀疏表示下最优表示,使得字典中原子尺度和特性更接近于需要表示的图像信号.为实现上述功能,已涌现出众多的字典学习算法,其中大多数是基于贝叶斯模型的最大似然值和最大后验概率,通过获取图像信号的先验来选择更合适的原子组成自适应字典,获得字典原子.其中被广泛应用的有MOD算法[81],ILS DLA[83],RLS DLA[84],SL0 D LA[85],KSVD算法[82],以及在此基础上发展起来的多尺度KSVD版本, EK SVD[86],DK SVD[87]等.众多的应用实验结果表明,1655第 7 期焦李成:压缩感知回顾与展望。
《大规模MIMO系统下基于压缩感知的DOA估计算法研究》篇一一、引言随着无线通信技术的快速发展，大规模MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）系统因其能显著提高系统容量和频谱效率而备受关注。
在MIMO系统中，波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计是一项关键技术，对于雷达、声源定位、无线通信等领域具有重要意义。
传统的DOA估计算法在处理大规模MIMO 系统时面临计算复杂度高、精度不足等问题。
近年来，压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论为DOA估计提供了新的思路。
本文旨在研究大规模MIMO系统下基于压缩感知的DOA估计算法，以提高DOA估计的精度和效率。
二、压缩感知理论压缩感知理论是一种新型的信号处理技术，其核心思想是通过对稀疏信号的测量和重构实现信号的压缩与恢复。
在DOA估计中，压缩感知理论可以通过设计特定的测量矩阵，将高维的信号空间映射到低维的空间中，从而降低计算的复杂度。
同时，通过优化算法对低维信号进行重构，可以实现对信号源的精确估计。
三、基于压缩感知的DOA估计算法针对大规模MIMO系统的特点，本文提出了一种基于压缩感知的DOA估计算法。
该算法通过设计合适的测量矩阵，将接收到的信号进行压缩测量，然后利用优化算法对低维信号进行重构，实现DOA的精确估计。
首先，算法对接收到的信号进行预处理，提取出信号的特征信息。
然后，设计测量矩阵将高维信号映射到低维空间中，以降低计算的复杂度。
接着，利用优化算法对低维信号进行重构，实现对信号源的精确估计。
在优化算法中，本文采用了稀疏贝叶斯学习算法，通过迭代优化实现对信号的精确恢复。
四、算法性能分析本文对所提出的基于压缩感知的DOA估计算法进行了性能分析。
首先，通过仿真实验验证了算法在不同信噪比下的性能表现。
实验结果表明，在较低的信噪比下，该算法仍能实现较高的DOA估计精度。
其次，本文对算法的计算复杂度进行了分析。
压缩感知技术综述摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。
多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。
压缩感知（Compressed Sensing）提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。
本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展，并介绍了压缩感知的应用及基于压缩感知SAR成像的仿真。
关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；SAR成像；Abstract: Signal sampling is a necessary means of information world physical world to the digital simulation. Over the years, the base theory of signal sampling is the famous Nyquist sampling theorem, but a large amount of data generated by the waste of storage space. Compressed sensing and put forward a new kind of sampling theory, it can be much less than the Nyquist sampling signal sampling rate. This paper introduces the basic theory of compressed sensing, emphatically introduces the new progress in three aspects of signal sparse representation, design of measurement matrix and reconstruction algorithm, and introduces the application of compressed sensing and Simulation of SAR imaging based on Compressive Sensing Keywords: Compressed sensing; Sparse representation; The observation matrix; SAR imaging;0 引言Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。
压缩传感总结报告摘 要 随着信息技术的不断发展，人们对信息需求量越来越大，这给信号采样、传输和存储的实现带来的压力越来越大。
传统的采样方法容易造成信息的冗余，因此，人们寻求新的方法避免信息的冗余。
压缩传感的问世，打破了常规的信号处理的思路，它将压缩和采样合并进行，突破了香农采样定理的瓶颈。
本文主要围绕稀疏表示、编码测量、重构算法三个方面对压缩传感进行基本的介绍。
最后介绍了压缩传感的应用以及展望。
关键词 压缩传感，稀疏表示，编码测量，重构算法1 引言传统的信号获取和处理过程主要包括采样、压缩、传输和解压缩四个部分。
其采样过程必须满足香农采样定理, 即采样频率不能低于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
在信号压缩中,先对信号进行某种变换,如离散余弦变换或小波变换, 然后对少数绝对值较大的系数进行压缩编码, 舍弃零或接近于零的系数。
通过对数据进行压缩,舍弃了采样获得的大部分数据, 但不影响“感知效果”[1]。
但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量的采样数据在压缩过程中被丢弃了，而它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。
从这个意义而言，可得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist 采样机制是冗余的或者说是非信息的。
如果信号本身是可压缩的, 那么是否可以直接获取其压缩表示(即压缩数据),从而略去对大量无用信息的采样呢？换句话说，是否存在一种基于信息的采样理论框架，使得采样过程既能保持信号信息，又能只需远少于Nyquist 采样定理所要求的采样数目就可精确或近似精确重建原始信号？Cand és 在2006年从数学上证明了可以从部分傅立叶变换系数精确重构原始信号, 为压缩传感奠定了理论基础。
Cand és 和Donoho 在相关研究基础上于2006年正式提出了压缩传感的概念。
其核心思想是将压缩与采样合并进行,首先采集信号的非自适应线性投影(测量值), 然后根据相应重构算法由测量值重构原始信号[7]。
３期李卓凡等：压缩感知及应用１３重构原始信号或图像。
在２００４年，由Ｄｏｎｏｈｏ等人提出了压缩感知（ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ，简称ｃｓ）理论¨’９Ｊ。
压缩感知理论表示：如果信号通过某种变换（如傅立叶变换，小波变换等）后，是可稀疏表示或可压缩的，则可设计一个与变换基不相关的测量矩阵测量信号，得到的测量值通过求解优化问题，可实现信号的精确或近似重构。
测量后，信号门訇Ｎ维减少到Ｍ维（Ｍ＜＜Ｎ），这Ｍ个测量值只包含了信号的重要信息。
信号的观测过程是非自适应的，测量矩阵的设计不依赖于信号的结构。
压缩感知的应用很大程度地减少测量时间、采样速率及测量设备的数量。
２压缩感知基本理论假设有一信号／（ｆ∈Ｒ～），长度为Ⅳ，基向量为蛾（ｉ＝１，２，…，Ｊ７、ｒ），对信号进行变换：ｆ＝∑％砂。
或厂＝妣（１）显然，是信号在时域的表示，ａ是信号在缈域的表示。
信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若（１）式中的ａ只有Ｋ个是非零值（Ｎ＞＞Ｋ）；或者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。
信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。
在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为二步：（１）设计一个与变换基不相关的Ｍ×Ｎ（Ｍ＜＜Ｎ）维测量矩阵对信号进行观测，得到Ｍ×１维的测量向量。
（２）从Ｍ×１维的测量向量重构信号。
２．１测量矩阵用一个与变换矩阵不相关的Ｍ×Ⅳ（Ｍ＜＜Ｎ）测量矩阵中对信号进行线性投影，得到线性测量值Ｙ：Ｙ＝吖（２）测量值Ｙ是一个Ｍ×１矩阵，这样使测量对象从Ｎ维降为Ｍ维（如图１（ａ）所示）。
观测过程是非自适应的，即测量矩阵少的选择不依赖于信号／的。
测量矩阵的设计要求信号从／转换为Ｙ的过程中，所测量到的Ｋ个测量值不会破坏原始信号的信息，保证信号的精确重构。
由于信号，是可稀疏表示的，（２）式可以表示为下式：ｙ＝吖＝痧％＝９口（３）其中＠是一个Ｍ×Ｎ矩阵。
煤矿井下压缩感知图像处理算法尹珠;黄友锐;陈珍萍【摘要】针对煤矿井下无线传感网络因信息传输量大而导致传感节点能量消耗快、设备寿命缩减的问题,提出一种基于小波变换的压缩感知图像处理算法.该算法采用sym8小波基对图像进行稀疏化分块处理,经测量矩阵自适应采样测量,最后通过OMP算法和小波逆变换重构图像.实验结果表明,与传统的压缩感知算法相比,该算法能够以更低的采样率获得高质量的重构图像.【期刊名称】《工矿自动化》【年(卷),期】2016(042)011【总页数】4页(P38-41)【关键词】煤炭开采;井下图像处理;压缩感知;小波变换;自适应重构【作者】尹珠;黄友锐;陈珍萍【作者单位】安徽理工大学电气与信息工程学院,安徽淮南 232001;安徽理工大学电气与信息工程学院,安徽淮南 232001;安徽理工大学电气与信息工程学院,安徽淮南 232001【正文语种】中文【中图分类】TD679无线传感网络(Wireless Sensor Network，WSN)依托于低功耗的无线传感器节点，克服了有线传输存在的布线困难、监测信息不全、布设成本高昂、灵活性差等缺点，被广泛应用于煤矿信息传输中[1]。
传统的无线信息传输遵循香农采样定理，即采样率需大于信号最高频率的2倍，造成了WSN节点能量的耗散，缩短了设备的使用寿命。
压缩感知[2-3]理论提出将信号转换到其他空间进行稀疏处理，利用转换域空间信号的可压缩性对信号进行采样、压缩、编码。
近年来压缩感知理论被广泛应用于雷达信号传输、图像压缩传输、医学影像等，但是应用于煤矿井下图像压缩的相关介绍并不深入。
由于煤矿井下无人监控区图像信息传输量大，造成传感节点耗能加剧，寿命缩减，因而对设备提出了更高的要求[4]。
为此，本文提出了一种改进的压缩感知图像处理算法，即基于小波变换的压缩感知自适应重构算法。
该算法采用sym8小波基对矿井视频图像进行稀疏化分块处理，仅测量高频分量[5]，且进行自适应采样测量，最后通过正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[6]和小波逆变换重构视频图像。
压缩感知简介2011.No31 03.2 熟悉结构施⼯图结构施⼯图是关于承重构件的布置,使⽤的材料、形状、⼤⼩及内部构造的⼯程图样,是承重构件以及其他受⼒构件施⼯的依据。
看结构施⼯图最难的就是钢筋，要把结施图看懂就要知道钢筋的分布情况，现在都是在使⽤平法来标⽰钢筋，所以也要把平法弄懂才⾏。
在识读与熟悉结施图的过程中应该充分结合钢筋平法表⽰的系列图集，搞清楚：a 各结构构件的钢筋的品种，规格，以及受⼒钢筋在各构件的布置情况。
b 箍筋与纵向受⼒钢筋的位置关系。
c 各个构件纵向钢筋以及箍筋弯钩的⾓度及其长度。
d 熟悉各构件节点的钢筋的锚固长度。
e 熟悉各个构件钢筋的连接⽅式。
f 熟悉在钢筋的搭接区域内，钢筋的搭接长度。
g 核算钢筋的间距是否满⾜施⼯要求，尤其是各个构件节点处的钢筋间距。
h 弯起钢筋的弯折⾓度以及离连接点的距离。
除此以外，对于钢筋混凝⼟构件，还应该熟悉各个构件的砼保护层厚度，各个构件的尺⼨⼤⼩、布置位置等。
特别注意的是对于结施图的阅读应充分结合建施图进⾏。
4 结束语在熟悉施⼯图纸的过程中，施⼯技术⼈员对于施⼯图纸中的疑问，和⽐较好的建议应该做好记录，为后续⼯作（图纸⾃审和会审）做好准备。
参考⽂献[1]《建筑识图》周坚主编中国电⼒出版社 2007年；[2]《建筑⼯程项⽬管理》银花主编机械⼯业出版社 2010年；摘要压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论是⼀个充分利⽤信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论。
本⽂系⼀⽂献综述，主要介绍了压缩感知的三部分即信号的稀疏表⽰、测量矩阵的设计、信号恢复算法的设计。
关键词压缩感知稀疏表⽰测量矩阵信号恢复算法1 引⾔1928年由美国电信⼯程师H.奈奎斯特（Nyquist）⾸先提出，1948年信息论的创始⼈C.E.⾹农（Shannon）⼜对其加以明确说明并正式作为定理引⽤的奈奎斯特采样定理，是采样带限信号过程所遵循的规律。
它指出：在进⾏模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max⼤于信号中最⾼频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。
通信系统中的压缩感知技术研究与应用随着信息时代的不断推进，各种通信系统正逐渐成为我们生活中不可或缺的一部分。
在海量的数据传输中，信息的压缩与传输效率至关重要，而压缩感知技术就是一种适用于通信系统中对数据进行压缩和传输的新型技术。
本文将介绍通信系统中的压缩感知技术的研究和应用。
一、压缩感知技术的基本概念压缩感知技术是一种新兴的数据压缩技术，它通过采样和重构实现信号的压缩。
在传统的信号压缩方法中，需要先进行采样，即将信号转换成离散的数据点，然后再对数据点进行压缩处理。
而在压缩感知技术中，只需要在采样时对信号进行编码压缩，然后直接对编码结果进行解压缩重构即可。
压缩感知技术的核心原理是随机测量，即通过随机的方式对信号进行采样，从而降低采样的频率，达到压缩信号的目的。
具体而言，压缩感知技术需要两个重要的步骤：稀疏表示和随机测量。
稀疏表示是指将信号表示成一个稀疏向量或者在一个低维子空间内的向量，从而减少采样的维度。
而随机测量则是指通过一组随机矩阵对稀疏表示进行采样，从而得到压缩后的测量结果。
通过对测量结果进行解码，就可以得到原始信号的压缩表示，实现对信号的有效压缩。
二、压缩感知技术在通信系统中的应用在通信系统中，数据的传输速度和传输效率一直是重要的研究方向。
压缩感知技术在通信系统中的应用不仅可以大幅度减少数据的传输量，还可以提高传输效率和传输质量。
1. 图像和视频压缩图像和视频数据的传输量通常都较大，传输效率低下，而利用压缩感知技术可以实现对图像和视频数据的有效压缩。
通过对图像和视频信号进行稀疏表示和随机测量，可以得到信号的压缩表示，从而减少数据的传输量，提高传输效率。
2. 无线传感器网络无线传感器网络是一种广泛应用于环境监测、智能家居、物联网等领域的新型网络技术。
在无线传感器网络中，高效率的能耗管理和数据传输是关键的研究方向。
通过采用压缩感知技术对无线传感器网络中的数据进行压缩和传输，可以降低数据传输的能量消耗并提高数据传输效率，从而延长无线传感器网络的使用寿命。
