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§5-7 晶体中电子的能态密度5．7．1 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭h ……………………………………………………………………………（5-7-1） 而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2cos 12x x =-+L ，取前两项代入，可以得到：()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭k …………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02m a J =>h ……………………………………………………………………………………………（5-7-4） 代入后，可得到()22*()2s k E E m =Γ+h k …………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γhk ……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2 带顶附近的能态密度能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。
第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
电子态密度与固体能带理论在研究固体材料的性质时，电子态密度和固体能带理论是两个重要的概念。
它们在理解和解释材料的导电性、磁性、光学性质等方面起着关键作用。
一、电子态密度电子态密度指的是单位体积内能带中能量范围的电子态数。
在固体中，能量的分布是离散的，由一系列能带组成。
每个能带可以容纳一定数目的电子态。
电子态密度可以通过积分能带的能量分布函数得到。
在自由电子气模型中，能带理论认为固体中的电子行为可以类比于自由电子气体。
根据玻尔兹曼统计分布，我们可以得到电子的能量分布情况。
对于一维情况下的自由电子气体，电子态密度与能量成正比。
而在三维情况下，由于动量的离散化,电子态密度与能量平方根成正比。
这种能量依赖关系在实际材料中也具有一定的适用性。
电子态密度的变化对材料的性质有明显的影响。
当能带带宽较窄时，电子态密度会随着能级变化较大，导致材料的导电性较差。
而当能带带宽变大时，电子态密度增加，导电性也会相应提高。
二、固体能带理论固体能带理论是研究固体中电子行为的重要工具。
它是基于定量量子力学计算的理论框架。
能带理论认为固体中电子的运动受到周期势场的影响，而且这种势场周期性重复。
在周期性势场中，电子的运动可以用一组平面波来描述，这些平面波都服从薛定谔方程。
能带理论将材料中电子的能级分布成一个个能带，每个能带中包含着一系列电子能级。
能带理论通过计算固体中的能级分布情况，得到能带图谱，从而揭示材料的性质。
在能带理论中，准确计算能带图谱并不容易。
因此，通常采用近似方法来获得代表性的能带图像。
最简单的近似方法是累积轨道近似。
此外，还有密度泛函理论、紧束缚模型、半经典近似等方法。
能带理论解释了固体的导电性、绝缘性和半导体特性等现象。
通过分析能带图谱，我们可以得到带隙的信息，即导带和价带之间的能量差。
当带隙较小时，材料表现出半导体特性；当带隙为零时，材料呈现导电性；当带隙较大时，材料则显示出绝缘性。
电子态密度和固体能带理论是理解和解释固体材料性质的重要工具。
电子态密度与能量的关系电子态密度是指单位能量范围内的状态数，是与电子能带结构密切相关的一个物理量.为了计算电子的比热和晶体的输运性质，必须用较精确的方法计算出晶体的电子态密度.大多数教材中对该部分的处理通常采用简化模型，并不能反映一般情况下态密度的计算思路.本文从电子态密度的公式出发，详细说明了二维石墨烯和三维面心立方晶格态密度的计算步骤，并且对其中细节给出了基于数值计算的详细解释.The electronic density of states is the number of states in the unit energy range.It is a physical quantity closely related to electronic energy band structure.In order to calculate the specific heat of electrons and the transport properties of crystals,a more accurate method must be used to calculate the electronic density of states.The processing of this in general textbooks usually adopts simplified models,which does not reflect the calculation ideas of states density in general.In this article,two-dimensional graphene and three-dimensional face-centered cubic lattice are explained in detail based on the formula of electronic density of states.The calculation steps of the density and a detailed explanation based on numerical calculation are given.。
晶体中电子的能态密度5．7．1 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………（5-7-1）而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=−−++k …………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=−−k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2cos 12x x =−+，取前两项代入，可以得到：()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=−−−++=Γ−++ ⎪⎝⎭k …………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02m a J =>……………………………………………………………………………………………（5-7-4）代入后，可得到()22*()2s k E E m =Γ+k …………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E −Γk 及*m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]s m N E V E E π=−Γk ……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2 带顶附近的能态密度能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=−+k 。
固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。
金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。
晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
能带和态密度引言能带和态密度是固体物理学中的重要概念，它们对于理解物质的电子结构和导电性质具有重要意义。
能带理论是固体物理学中最基本的理论之一，它描述了电子在晶体中的运动方式和能量分布。
态密度则是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
本文将深入探讨能带和态密度的概念、性质以及在固体物理学研究中的应用。
一、能带1.1 能带结构在晶体中，原子之间存在相互作用力，导致了电子在晶格中运动时受到周期性势场的束缚。
根据量子力学原理，电子具有波粒二象性，在晶格势场下形成了波动性质。
根据布洛赫定理，在周期势场下，波函数可以表示为平面波与周期函数之积。
通过对波函数解析形式进行数学推导，可以得到离散化的能量分布。
根据离散化得到的能量分布图谱，在一维情况下可以将其表示为离散化点之间相连的线段，称为能带。
能带的形状和特征取决于晶体的结构和原子之间的相互作用。
晶体中存在多个能带，其中价带和导带是最为重要的两个能带。
价带是电子在晶体中受束缚状态下的能量分布，而导带则是电子在晶体中具有较高能量状态下的分布。
两者之间存在禁闭区域，称为禁闭区。
1.2 能带理论为了更好地理解电子在固体中运动和分布规律，科学家提出了多种模型和理论。
其中最著名且广泛应用于固体物理学研究中的是紧束缚模型和自由电子模型。
紧束缚模型假设原子之间存在较强相互作用力，电子主要局域在原子附近运动。
该模型通过考虑原子轨道之间的重叠以及相互作用力来描述电子在晶格中运动。
该模型更适用于描述局域化电子行为以及强关联效应。
自由电子模型则假设固体中的电子可以自由地运动，并且不受到其他粒子或者势场限制。
该模型通过简化数学形式，将电子视为自由粒子，从而得到了一维、二维和三维情况下的能带结构。
自由电子模型适用于描述弱关联电子行为以及导体、半导体等材料的电子结构。
二、态密度2.1 态密度的概念态密度是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
在固体物理学中，态密度是研究材料中电子行为和导电性质的重要物理量。
能态密度孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不同状态的电子；而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间隔10-21eV）。
电子能级非常密集，标明每个能级没有意义但能级的密集程度可以直接反映有多少电子存在这一能量区域。
如何表示这种情况下到底密集到什么程度？为了能够在表达固体中，每个能带中的各能级是非常密集的, 形成准连续分布，不可能标明每个能级及其状态数，引人“能态密度”的概念。
能态密度的定义能量在E〜E+AE的状态数宜能态密度：N（E）= iim茶N(E) = %clE物理意义：二：能带与态密度的关系由于Ejk)是k的函数，所以在k空间En(k)二常数表示一个等能面。
又由于能态(波矢k的代表点)在k空间是均匀分布的，密度为V/(2K)3,所以，E n (k)与氐(k) +AE n (k)两等能面之间的状态数目为V△Z =--- 7 • A W(2,)3AVk 为 En(k)与 En(k)+AEn(k)等能面之间在k空间的体积.AK = dsdkdk表示两个等能面间的垂直距离dS为面积元因为 dk\^k E\ = AEV k En(k)是En(k)的梯度，|V k En(k)|表示沿等能面法线方向能量的变化率.△E V将次=〒7声代入8 = (2/)3 考虑电子的自旋时 V f dS的能态密度 帅)四 能带密度岬)=寿丁晶状态密度与晶格振动 的模式密度是相类似。
例题：求自由电子的能态密度。
空间等能面 为球面，其半径clE在球面上v/=r ，v/ = dk 解1: 自由电子的能量: Pi 2k 2 2m trkm 在球面上为一常数。
将k=^^~代入得到:n 自由电子的能态密度为:2V ?/77 -- V 能态密度：BE )F dS。
第五章 晶体中电子能带理论 习题１．晶体常数为a 的一维晶体中，电子的波函数为（1）()x ai x k πψ3cos =,（2）()f la x f x k,)(-l ∑∞∞=-=ψ是某一函数，求电子在以上状态中的波矢．［解 答］由《固体物理教程》（5.14）式()()r e R r k R r i n k nψψ∙=+可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足()()x e a x k ika k ψψ=+由此得(1) ()()()()x e x x ai x a i a x a i a x k ika k k ψψππππψ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+3cos 3cos 3cos于是1-=ikae因此得 ,5,3,aa akπππ±±±= 若只取布里渊区内的值：ak aππ<-，则有ak π=(2) ()].)1([)(a l x f la a x f a x l l k ∑∑∞-∞=∞-∞=--=++=+ψ令1+='ll得 ()()()()x e x a l x f a x k ika k k ψψψ==-=+∑'.由上式知 ikae =1所以有 ,6,4,2,0aa a kπππ±±±= 因此得在布里渊区内的值为0=k2.一维周期势场为()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=.1,0,21222b na x b a n b na x b na na x b mW x V 当当其中b a 4=，W 为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值．［解 答］图5.1 一维周期势场如图5.1所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得Ｖ=a 1 ()dx x V a a ⎰-22=()dx x V b bb ⎰-2241 =dx x b mW b b b ⎰--][2141222 =b b x x b b mW --]31[8322 =2261b mW . 3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度． ［解 答］根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为 ng V E 2=，其中n V 是周期势场()x V傅里叶级数的系数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式n V = a 1 ()dx e x V nx ai a a π222--⎰求得，第一禁带宽度为112V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--222a 1π=2⎰---b b x ai dxex b mW b π2222][241=2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b 2cos ][241222π=3228πb mW .第二禁带宽度为222V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--224a 1π=2⎰---b b x bi dx e x b mW b π][241222 =2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b πcos ][241222=222πb mW4.已知一维晶格中电子的能带可写成()⎪⎭⎫⎝⎛+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722 ， 式中ａ是晶格常数．m 是电子的质量，求（1）能带宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量． ［解 答］（1）能带宽度为 .min max E E E -=∆由极值条件 ()0=dkk dE 得上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为 ak π,0=.当()k E k ,0时=取极小值min E ，且有 min E =()00=E当()k E ak,时π=，E(k)取极大值max E ,且有.222max ma a E E=⎪⎭⎫ ⎝⎛=π由以上可得能带宽度为.222m i nm a x ma E E E =-=∆（2）由《固体物理教程》（5.81）式，得电子的平均速度为 ().2sin 41sin 1⎪⎭⎫⎝⎛-==ka ka ma dk k dE v（3）由《固体物理教程》（5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos 21cos 1222m ka ka m k E mak ak ak -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=±=-±=*±=πππ.22cos 21cos 012220m ka ka m k E m k k k =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==-==*５．对简立方结构晶体，其晶格常数为a ．（1）用紧束缚方法求出对应非简并ｓ态电子的能带；（2）分别画出第一布里渊区［110］方向的能带﹑电子的平均速度、有效质量以及沿［110］方向有恒定电场时的加速度曲线．［解 答］（1）非简并ｓ态电子的能带().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E式中n R是晶体参考格点最近邻格矢．对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻．取参考格点的坐标为（0,0,0）,则6个最近邻点的坐标为()()().,0,0,0,,0,0,0,a a a ±±±简单立方体非简并s 态电子的能带则为()().cos cos cos 2a k a k a k J C E k E z y x s s at s s ++--=（2）在[110]方向上 ,22,0k k k k y x z === 能带变为(),22cos 40⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E k E s s其中 ,20ss at s J C E E --=在[110]方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图5.2所示.图5.2[110]方向电子的能带电子的平均速度.22sin 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂=ka a J k E v s 平均速度曲线如图5.3所示.图5.3 平均速度曲线电子的有效质量,22cos 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂=*ka a J k E m s 有效质量曲线如图5.4所示.图5.4 有效质量曲线 在[110]方向有恒定电场情况下,电子的受力 εe F -=电子的加速度2222cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==*ka a J e m F a s ε.设电场方向与[110]方向相反,加速度曲线则如图5.5所示.图5.5加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s 态电子,试导出其能带⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E E x z z y y x s s atss ,并求出能带底的有效质量. [解 答]用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据《固体物理教程》（5.60）式,其能带表示式为()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k e ,n R 是最近邻格矢.对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为 (2a ±,2a ±,0),( 2a ±,0, 2a ±),(0, 2a ±,2a±). 将上述12组坐标带入能带的表示式,得()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k es s ats J C E --=()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++---+-+---+-++---+-z y z y z y z k y k a i z k x k a i z k x k a i z k x k a i z x y x y x y x y x k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i e e e e e e e e e e e e 222222222222()()()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++-+++-++--=z y z y z x z x y x y x s s ats k k a k k a k k a k k a k k a k k a J C E 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E x z z y y x s s ats .能带底即()k E 的最小值对应的k为(0,0,0),有《固体物理教程》(5.87)可得在能带底处电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*.同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出 （1） s 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 8a k a k a k J C E k E z y x s s ats s --= ; （2） 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线;（3） 求出带顶和带底电子的有效质量. 【解 答】（1）用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E n R 是最近邻格矢.对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则8个最近邻格点的坐标为 （2,2,2aa a ±±±）. 将上述8组坐标代入能带的表示式,的().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++--=---+---+---++-+--+++z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k ai z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z y x e e e e e e e e J C E k k k a i s s ats 22222222()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--=--+--+2cos 2cos 2cos 2cos 22222a k e a k e a k e a k e J C E z zz z k k a i s s atsy k x k ai y k x k a i y k x k a i y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-2cos 2cos 422a k a k e e J C E z y k a i s s at s x k ai x 2cos 2cos 2cos 8ak a k a k J C E z y x s s at s --=.（2）在[111]方向上k k k k z y x 33=== , 且第一布里渊区边界在 ak k k z y x π±===,于是能带化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E E s 63cos 830,其中s ats C E E -=0.图5.6为第一布里渊区[111]方向的能带曲线.图5.6 [111]方向的能带曲线（3）由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当===z y x k k k 时,sE 取最小值,即0===z y x k k k 是能带底,电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±a a a πππ2,0,0,0,2,0,0,0,2处是能带顶,电子的有效质量为222a J m m m s zzyyxx-===***.其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E ,坐标轴1，2，3相互垂.（1） 求能态密度;（2）今加一磁场B , B与坐标轴的夹角的方向余弦分别为γβα,,,写出电子的运动方程;（3） 证明电子在磁场中的回旋频率*=m eB c ω, 其中2132********⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=*m m m m m m m γβα.【解 答】（1） 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为1222232322222121=++ E m k E m k E m k .将上式与椭球公式1222222=++c z b y a x 比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积abc π34比较可得到,能量为E 的等能面围成的椭球体积 2332132234E m m m πτ= 由上式可得dE E m m m d 21321324 πτ=.能量区间内电子的状态数目()dE E m m m V d V dz cc 1321323222πτπ== 是晶体体积.电子的能态密度()21321322E m m m VdE dz E N cπ==（2） 根据《固体物理教程》中（5.86）式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂=331222121212211F k k EF k k E F k E a ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂=332222221122221F k k E F k E F k k E a,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂=323222321132231F k E F k k E F k k E a .将⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E代入上述三式得运动方程为 333222111,,m F a m Fa m F a ===.即333222111,,F dtdvm F dt dv m F dt dv m ===. （1）当存在磁场B时,电子受到洛仑兹力B v e F⨯-=.其分量形式为 ()()23323223321v B v B v e B v B v e F ωνωβγ-=--=--=,()()31131331132v B v B v e B v B v e F ωνωγα-=--=--=, ()()12212112213v B v B v e B v B v e F ωνωαβ-=--=--=式中B B=,γωβωαωeB eB eB ===321,,.将上述结果代入运动方程（1）得.,,122133311322233211v v dt dvm v v dt dvm v v dt dv m ωωωωωω-=-=-= （2）(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件 ()1010v v =,()2020v v =,().0303v v =得[]11v pL m +[]23v L ω-[]32v L ω=101v m ,-[]13v L ω+[]22v pL m +[]31v L ω=202v m ,[]12v L ω-[]21v L ω+[]33v pL m =303v m .由此解出[]∆∆=11v L . 其中()()B p Ap m m m p m m m pm p m p m +≡+++=---=∆22332222113321312123231ωωωωωωωωω.321m m m A =,321233222211m m m m m m B ωωω++=.()()322130313202121021120332302323103213130312202231011C p C p C v m v m v m pv m m v m m p v m m m pm v m p m v m v m ++≡+++-+=--=∆ωωωωωωωωωωω()203302322103211,v v m m C v m m m C ωω+==,3031320212102113v m v m v m C ωωωωω++=.因此得[]()Bp A C B p p AB C B C p AB C B p Ap C p C p C v L +++-+=+++=22231323221111.上式两边取逆拉普拉斯变换得t B BA Ct B AB C B C p AB C v sin cos 123131+-+=.同理可得t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123132'+'-'+'=.()301103312203211,v v m m C v m m m C ωω+='=', 1021130323202223v m v m v m C ωωωωω++='.及t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123133''+''-''+''=.()102201212303211,v v m m C v m m m C ωω+=''=''2032210311302333v m v m v m C ωωωωω++=''.可见电子回旋频率为B .解法二：由于电子作周期运动，将试探解t i c e v v ω101=, t i c e v v ω202=t i c e v v ω303=（这里302010,,v v v 一般为复数，电子的真实速度应为321,,v v v 的实部或虚部.） 代入（2）式得 101v m i c ω+302v ω-203v ω=0,103v ω+202v m i c ω-301v ω=0,102v ω-201v ω+303v m i c ω=0.302010,,v v v 有不全为零的解的充要条件是0312123231=----m i m i m i c c c ωωωωωωωωω. 由此得 ()02332222113321=++-c c m m m m m m ωωωωω.于是B m m m m m m c=++=3212332222112ωωωω.这样，两种方法均给出电子回旋频率为21321233222211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==m m m m m m B c ωωωω.再将γωβωαωeB eB eB ===321,,,代入上式即得*=meBc ω, 其中2132********⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=*m m m m m m m γβα.9.求出一维、二维金属中自由的能态密度.[解 答]（1）一维情况自由电子的色散关系为 mk E 222 =.由此得dk E m dk m kdE 2121222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== ,即dE E m dk 212122-⎪⎭⎫⎝⎛= . 对应同一个dE ，在k ±方向各有一个dk ，因此空间中dE E E +与之间的区间为dE E m dk d 2121222-⎪⎭⎫⎝⎛== τ,在该范围内的状态数为dE E m L d LdZ 212122-⎪⎭⎫⎝⎛== πτπ,其中L 是晶格长度.于是，态密度()12122-⎪⎭⎫ ⎝⎛==E m L dE dZ E N π.（2）二维情况参照《固体物理教程》（5.102）式可知，二维情况下态密度的一般表示式为()⎰∇=Lk EdLS E N 22π.其中S 是晶格的面积，积分沿能量为E 的等能线进行.由()2222y x k k m E += 得 ()mk k k m E y x k 221222 =+=∇.于是有()21222222 mS k m k S E dL S E N Lk ππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇=-⎰.10.二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数A a2=,A b 4=，原子为单价的.(1) 试画出第一、二布里渊区； (2) 计算自由电子费密半径；(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状.【解 答】（1） 倒格子原胞基矢j bb i a b ππ2,221==.选定一倒格点为原点,原点的最近邻倒格矢有4个,它们是21,b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图5.7中Ⅰ所示区间.原点的次近邻倒格矢有4个,它们是21b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区.即图5.7中Ⅱ所示区间.图5.7 二维矩形晶格第一、二布里渊区（2）在绝对零度时,二维金属中导电电子若看成自由电子,电子的能量mk E 222 =,能量dE E E+→区间的电子占据波矢空间dk 的范围.在此范围内的波矢数目为图5.8二维波矢空间kdk S ππ2)2(2∙,其中2)2(πS是二维金属中导电电子的波矢密度,S 是金属面积。
§5-7 晶体中电子的能态密度
5．7．1 带底附近的能态密度
在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），
3
212
22()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭
h …………………………………………
…………………………………（5-7-1） 而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：
()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2）
其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2
cos 12x x =-+L ，取前两项代入，可以得到：
()()()2222222
2011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭
k …………………（5-7-3）
在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，
2
21
*02m a J =>h ……………………………………………………………………………………………
（5-7-4） 代入后，可得到
()22
*
()2s k E E m =Γ+h k …………………………………………………………………………………（5-7-5）
式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*
m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：
*312
222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γh
k ……………………………………………………………（5-7-6）
5．7．2 带顶附近的能态密度
能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。
以R 点附近的
图5-7-1 自由电子能态密度
波矢(,,)x y z k k k a
a
a
π
π
π
=±
+∆±
+∆±
+∆k 代入E(k )表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：
()012[cos()cos()cos()]s x y z E J J k a k a k a επππ=--±+∆+±+∆+±+∆k ………………（5-7-7）
再利用(cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，就可得到：
01()2(cos cos cos )s x y z E J J k a k a k a ε=-+∆+∆+∆k …………………………………………（5-7-8）
将式中余弦函数展开为2
cos 12x x =-+L 后，上式变成：
222
2011()2[3()]2
s x y z E J J a k k k ε=-+-∆+∆+∆k
()()()2222
*()[]2s x y z E R k k k m
=-∆+∆+∆h …………………………………………………（5-7-9）
或写成
()()()2222
*()()[]2s x y z E R E k k k m
-=-∆+∆+∆h k ………………………………………………（5-7-10）
式中2
*
21
2m a J =h ，i k ∆是波矢k 与能带顶R 的波矢之差。
所以，若以R 点为原点建立坐标系,,x y z k k k 轴，
则i k ∆的意义就与i k 的意义是一样的。
因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R 点为球心的球面。
这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：
*312
222()4()[()()]s m N E V E R E π=-h
k …………………………………………………………（5-7-11）
虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。
也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。
5．7．3 非极值点处能态密度
当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。
图
5-7-2给出在0z k =截面上的简立方晶格电子等能面示意图。
从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E ，晶体电子的波矢k 就必然要大。
当能量超过边界上的A 点的能量A E 时，等能面将不再是完整的闭合面。
在顶角C 点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C 点时，等能面缩成几个顶角点。
在能量接近A E 时，等能面向外突出，所以，这些等能面之
图5-7-2 紧束缚近似等能面
A
C
间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代
表点也较多，使晶体电子的态密度在接近A E 时比自由电子的显著增大（见图5-7-3）。
当能量超过A E 时，由于等能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。
因此，能量在A E 到C E 之间的态密度将随能量增加而逐渐
减小，最后下降为零，如图5-7-3所示。
如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示，在能带顶处态密度为零。
在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如图5-7-4（a ）所示。
如果所考虑的能带
有交叠，则两能带态密度也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（b ）所示。
可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软X 射线发射谱中得到证明。
当晶体受到能量约为2
3
10~10电子伏
特的电子撞击时，低能带中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。
由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。
当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出x 射线。
因这种X 射线的波长较长(约100Å)，所以，称之为软x 射线．软x 射线发射谱的强度I(E)与能量等于E 处的态密度
N(E)成正比，亦与能量为E 的电子向空能级跃迁的几率W(E)(或称发射几率)成正比，即 I (E)∝W (E)N(E) 上式中的W(E)是一个随E 连续缓变的函数，所以，可以认为，I(E)主要由E （E)
随E 的变化来决定。
也就是说，软x 射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。
图5-7-5是几种典型的金属与非金属的X 射线发射谱．由图看出，各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上
升的，说明从能带底起，随着电子能量的增加，态密度逐渐增大；在高能端，金属的x 射线发射谱是突然下降的，所对应的能量大致与费米能相同；非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零．这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。
金属中的电子没有填满能带，电子填
充的最高能级的能量约为F E ，态密度
()0N E ，所以，发射谱就突然下降。
镁及铝的发射谱与图5-7-4(b)的形状相似，说明这两种金属的能带有交叠。
石墨及硅的发射谱的形状则与图5-7-4（a ）相
图5-7-5 金属与非金属的X 射线发射谱
（a ） (b ) 图5-7-4 （a ）不交叠能带（b ）交叠能带
图5-7-3 自由电子与晶体中电子态密度
E
C
E
A
E 自由电子
近自由电子
似，说明这些晶体中的价电子刚好填满一个能带。
价电子处于满带之中，所以，这些晶体是绝缘体。
