第二十二章曲面积分
一．填空题（每题2分）
1.为球面,则=
2. 为球面,则
3. 若是柱面外侧,则
4. 若是球面在第一卦限部分,则曲面积分
其中是常量
5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分
6.记均匀半球面:形状构件的重心为,则
7.设关于面积的曲面积分: ,其中是球面
,其中是曲面,则
8.设数量场,则
9.若是某二元函数的全微分,则
10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:
=
答案: 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
二.选择题(每题2分)
1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分
为( )
A. B. C. D.
2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧,
则当时,( )
A. B. C. D.
3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分的为( )
A. B.
C. D.
其中分别是球面在平面的投影区域.
4.设,其中是上半球面,
,其中是下半球面的外侧,
则( )
A. B. C. D.
5. 设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分的值()
A. B. C. D.
6.设:,为在第一卦限中的部分,则有( )
A. B.
C. D.
7. 若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分( )
A. B. C. D.
8. 若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分
( )
A. B. C. D.
9. 若是平面上方的抛物面,且,则曲面积分
的物理意义为( )
A.表示面密度为1的曲面的质量
B.表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量
C.表示面密度为的曲面对轴的转动惯量
D.表示体密度为1的流体通过曲面指定侧的流量
10. 由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积( )
A. B.
C. D.
答案: ABBCA CDCBA
三.计算题（每题5分）
1.计算曲面积分，其中为球面
解：球面方程为与，上半球面记为，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有＝
对右边的两个积分分别积分，因为，在平面上的投影区域都是，所以＝
＝
因此＝
2.计算，其中为平面在第一卦限的上侧.
解:因为的方程为,在平面上的投影区域都是
:,,,
==
=
3.计算曲面积分.其中是三个坐标面与平面
所围成的四面体表面的外侧.
解:因为
由高斯公式得=
4.计算,为平面被柱面截得的部分.
解:因为,所以,于是
=
5.设球面上的密度等于点到平面的距离,求球面被截下部分曲面的重心.
解:由曲面对称性知,.球面上半部曲面为,
故 ;截得曲面在平面上投影为故
=
这里是截得曲面中位于上半球面的部分.
==
故
6.计算,其中,是球面
的外侧.
解:设为上单位外法线向量,则,
于是
==
7.计算,其中是的外侧.
解:由于曲面关于轴对称,故
又曲面关于平面对称,且是关于的奇函数,所以
8.计算,其中为锥面的外侧
解:令,取上侧,则构成封闭曲面,可用高斯公式.于是
=
=
而
故
9.计算,是从到的螺旋线:
解:将添上直线段构成封闭曲线.因为
所以积分与曲面无关,只与围它的曲面有关.由斯托克斯公式,有
直线段的方程为,所以
10.计算,点在球面上,点在球面
上
解:设
故积分与路径无关,只与起点和终点有关,于是
11.计算,设
(1) 为;
(2) 为不包含原点的光滑闭曲面;
(3) 为包含原点的光滑闭曲面;
解: (1) 因为,所以由高斯公式有
(2) 不包含原点,而
即,于是
(3) 包含原点,需做半径充分小球面.则与之间区域,根
据题(2),有
而根据题(1),有
故
这里取内侧.
12.计算,其中为平面与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向
解:应用斯托克斯公式得
=
13.计算,其中为立体的边界曲面;
解:面积由两部分组成,其中,,它们在平面上的投影区域都是,由极坐标变换可得
==
14.计算,其中为柱面被平面所截取的部分
解: =
15.计算,其中是单位球面的外侧
解:
=
第二十二章曲面积分
1.计算曲面积分
,
其中为圆锥曲面被曲面所割下的部分.
2.计算
,
其中是曲面介于两平面之间的部分.
3.计算
,
其中是球面的下半部, 是曲面的法线方向与轴正向的夹角.
4.计算
,
其中是柱面在平面和之间的部分.
5.计算
,
其中是上半球面的上侧.
6.计算
,
其中为球体
的表面, 并取外侧.
7.计算
