“数学建模思想”在高考数学中的应用

“数学建模思想”在高考数学中的应用

郑记科(河南省驻马店高级中学　４６３０００)

摘　要:在高考中ꎬ数学所占比重较大ꎬ同时难度也较大.学好数学ꎬ能够很大地与其他学生拉

开差距.这样ꎬ有利于学生在高考中取得一个好的数学成绩ꎬ能够对学生的高考分数有一个提升ꎬ从

而让学生多一点选择大学和专业的机会.在高考数学中应用“数学建模思想”ꎬ能够将复杂的数学

题型简单化ꎬ从而提高数学的做题效率ꎬ让学生在规定的考试时间中获得一个更高的数学分数.基

于此ꎬ本文将对“数学建模思想”在高考数学中的应用进行探究.

关键词:数学建模思想ꎻ高考数学ꎻ应用

中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２２)０６－００３６－０３

收稿日期:２０２１－１１－２５

作者简介:郑记科(１９８２.８－)ꎬ男ꎬ河南省驻马店人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究. 高考数学ꎬ题型较多ꎬ题目新颖ꎬ难度较大.为了

让学生在有限的考试时间内做出更多的题ꎬ做对更

多的题ꎬ从而取得更高的数学分数ꎬ在高考数学中引

进“数学建模思想”是尤为重要的.“数学建模思想”

的引用ꎬ对于学生来说ꎬ是帮助学生理解题很好的方

式ꎬ简化题目ꎬ这样ꎬ能够让学生去很快地解决问题ꎬ

从而有时间对求解的结果进行检查ꎬ以此提高做题

正确率ꎬ从而在高考数学中取得好成绩.因此ꎬ下文

将从“数学建模思想”的定义以及“数学建模思想”

在高考数学中的基本形式介绍“数学建模思想”.

１“数学建模思想”的定义

为了去探究“数学建模思想”在高考数学中的应用ꎬ应该先对“数学建模思想”有一个简单的了

解.“数学建模思想”其实可以理解为学生通过对文

字性题目的分析ꎬ通过列方程组、不等式、函数ꎬ画几

何图形等ꎬ使复杂的题目简单化ꎬ将文字性题目转换

为学生所熟悉的数学方程式、图形等ꎬ从而更有利于

学生去求解问题ꎬ提高做题效率等.在这样的基础上ꎬ通过“数学建模”ꎬ能够让学生以一个轻松愉悦

的方式去学习数学ꎬ并且能够在高考数学中ꎬ考出水

平ꎬ考出优势ꎬ这对于那些希望通过数学拉开差距ꎬ

从而取得一个好的高考成绩的学生是很重要的.

２“数学建模”的基本高考题型

高考数学是一个考查学生综合思维的学科ꎬ一般来说ꎬ高考数学题型较多ꎬ题目新颖ꎬ对于学生来

说难度较大ꎬ但大部分题目都是可以通过“数学建

模”来实现题目的简单化的ꎬ从而有利于学生去求

解ꎬ提高做题效率与正确性.根据数学知识点的不

同ꎬ数学建模可以分成多种形式ꎬ高考数学的题型也

可以分为多种模型ꎬ从而有利于学生去逐一地掌握

知识点.２.１函数模型

例１　在２０１６年的山东高考数学中有这样一

道函数题:已知函数Ｆ(Ｘ)的定义域为Ｒꎬ当Ｘ<０时ꎬＦ(Ｘ)＝Ｘ２－１ꎻ当－１≤Ｘ≤１时ꎬＦ(－Ｘ)

＝－Ｆ(Ｘ)ꎻ当Ｘ>０.５时ꎬＦ(Ｘ＋０.５)＝Ｆ(Ｘ－

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—０.５)ꎬ求Ｆ(６).

解决这一类问题ꎬ可以通过“数学建模思想”来

完成.学生给通过读题目ꎬ分析出题目所给函数是一

个组合函数ꎬ这一组合函数分为三段ꎬ在条件当Ｘ<０时ꎬＦ(Ｘ)＝Ｘ２－１中ꎬ可以画出Ｘ<０时的函数图

像.而在条件当－１≤Ｘ≤１时ꎬＦ(－Ｘ)＝－Ｆ(Ｘ)

中ꎬ可以发现该函数在－１≤Ｘ≤１区间内为奇函数ꎬ

从而能够画出函数在－１≤Ｘ≤１上的图像ꎬ从而得

出函数式ꎻ而观察条件当Ｘ>０.５时ꎬＦ(Ｘ＋０.５)＝Ｆ(Ｘ－０.５)ꎬ可以发现函数在Ｘ>０.５上为周期函

数ꎬ从而根据它们的周期规律ꎬ能够画出这一段的函

数图像ꎬ并得到函数式.因为Ｆ(６)在Ｘ>０.５内ꎬ求

出第三段的函数式将Ｘ＝６代入式子ꎬ就能进行结

果的求解.通过逐步分析ꎬ辅助画图这一种“数学建

模”的方法ꎬ能够让学生的解题思路更加清晰ꎬ也有

利于计算结果的检验.２.２线性规划模型

例２　在２０１２年的广东高考中有这样一道线

性规划题:已知变量Ｘꎬｙ满足条件:Ｘ＋ｙ≤１ꎻＸ－ｙ≤１ꎻＸ＋１≥０.则Ｚ＝Ｘ＋２ｙ的最小值.

求解这一问题ꎬ学生可以通过“数学建模思

想”ꎬ将题目所给信息ꎬ转变为图形ꎬ从而有利于学

生更直观地看出三个函数所处的位置.再将三条函

数的相交点求出来.将Ｚ＝Ｘ＋２ｙ进行转化ꎬ在图上

画出ｙ＝０.５Ｘ这个函数.让ｙ＝０.５Ｘ在平面直角坐

标系中进行上下平移ꎬ最终找到Ｚ＝Ｘ＋２ｙ的最小

值.这一方法ꎬ应用了空间想象与图形辅助的“数学

建模思想”.通过文字转变为图形这一方法ꎬ能够让

学生更直观地去求解这一类问题ꎬ从而为高考数学

解题节省时间.２.３排列组合模型

例３　甲、乙、丙、丁四人两两进行握手ꎬ问他们

一共要握多少次手.

对于这一问题ꎬ应用“数学建模思想”ꎬ学生可

以联系实际ꎬ情节带入ꎬ再应用数学知识进行求解ꎬ

这样往往能使问题简单化.学生可以先假设自己是

甲ꎬ就需要和其他三位同学进行三次握手ꎻ再假设自己是乙同学ꎬ因为已经和甲同学握过手了ꎬ所以还需

要和丙、丁两位同学进行两次握手ꎻ再假设自己是

丙ꎬ因为已经和甲、乙两位同学握过手ꎬ所以只需和

丁握一次手ꎻ当轮到丁时ꎬ他已经和全部四位同学握

过手ꎬ所以不需要去再次握手.最终应用分类加法计

数原理ꎬ计算出结果.对于像这样的一些简单的数学

排列组合问题ꎬ可以这样情景带入ꎬ这样便于学生去

展开思考ꎬ最终解决问题.还可以通过一些简单的文

具ꎬ比如说笔ꎬ用四支笔ꎬ进行实际操作ꎬ两两配对ꎬ

最终得到答案.通过情景带入这种“数学建模思

想”ꎬ能够很好地解决排列组合这类问题.２.４立体几何模型

例４　在一个圆柱体的物体上ꎬ一小虫子在圆

柱体的侧面上进行爬行ꎬ从底上爬到与之相对的顶

上ꎬ已知圆柱体的高为１０ｃｍꎬ圆柱体的圆的半径是４ｃｍꎬ问小虫爬过的距离.

解决这一类问题ꎬ需要用到图形结合的“建模

思想”ꎬ学生需要在草稿纸上画出一个圆柱体ꎬ在圆

柱体上根据题目信息标注出小虫的起始点.联系实

际生活ꎬ学生应该知道圆柱体应该是立体的ꎻ再结合

课本知识ꎬ知道圆柱体的侧面展开是一个长方形ꎬ长

方形的长就是底面或顶面圆的周长.而小虫爬行的

距离为长方形的一顶点到另一边中点的距离ꎬ为一

直角三角形的斜边.通过圆的周长公式算出圆的周

长ꎬ取一半就是长方形同一侧顶点到中点的距离ꎬ就

是直角三角形的一直角边ꎬ而圆柱体的高就是直角

三角形的另一条直角边.通过直角三角形的边与边

关系的公式ꎬ就能够求解出斜边ꎬ就是题目所要求的

结果.这一“数学建模”的过程ꎬ应用了图形结合ꎬ实

际联系等方式.２.５概率统计模型

例５　简单的概率模型如:甲在一次比赛中获

胜的概率为０.６ꎬ乙在一次比赛中获胜的概率为０.４ꎬ问甲乙两位同学进行三次比赛ꎬ采用三局两胜制ꎬ

那么甲乙两同学获胜的概率分别为多少.

解决这一类问题ꎬ学生同样可以应用“数学

建模思想”ꎬ将这一问题与现实生活联系起来ꎬ进—７３

—行“数学建模”.同学假设自己是甲ꎬ那么甲同学

获胜分三种情况ꎬ一种是甲同学连续获胜两次ꎬ

从而直接结束比赛ꎬ这种情况甲同学获胜的概率

则为０.６∗０.６ꎻ另一种情况是甲第一次获胜ꎬ第

二次失败ꎬ第三次再获胜ꎬ从而赢下比赛ꎬ这种情

况ꎬ通过计算ꎬ获胜的概率为０.６∗０.４∗０.６.第

三种情况ꎬ则是甲同学第一次失败ꎬ后两次获胜ꎬ

而这种结果出现的概率为０.４∗０.６∗０.６ꎻ最后

通过分类加法计数原理ꎬ将三次概率相加就是甲

同学获胜的概率.计算乙同学获胜的概率也是一

样的.通过“数学建模”ꎬ往往能够让学生在解决

概率统计这类问题时ꎬ思路更加地清晰ꎬ从而解

题的效率也就更高.

在高考数学中ꎬ题型大概就是这些ꎬ对于不

同种类的题型ꎬ应用相似的数学建模思想ꎬ往往

也能够给数学题目建立起模型ꎬ从而方便学生去

观察ꎬ去找出解决问题的最优方法ꎬ以此来提高

学生的做题速度与正确性ꎬ从而取得一个好的数

学成绩.这是教会学生去应对高考数学的一种很

重要的方法.

３数学建模思想在课堂中应用的措施

３.１设立问题情境ꎬ激发学生兴趣

一些学生在高中学习生涯中ꎬ总是感觉数学比

较难学ꎬ成绩较难提高.其实学习数学知识并没

有想象中的那么困难ꎬ只是学生在思想中对数学

的恐惧ꎬ才造成学习数学困难的假象.建模思想

是高中数学学习当中非常重要的一项内容ꎬ主要

体现为主体性原则ꎬ从根本上来说ꎬ就是通过设

置问题情境ꎬ使学生拥有对数学探究的热情ꎬ让

学生对建模产生兴趣.３.２在高中数学课堂讲解的过程中ꎬ要渗透数学建

模思想

教师在数学课程中深入讲解数学概念ꎬ可以有

力地渗透建模思想:第一ꎬ要通过分析数学理论本身

所具有的一些特殊性ꎬ对数学当中的其他内容进行

渗透ꎬ如在«三角函数»教学过程中ꎬ可利用三角函数的特性展开积极引导.第二ꎬ要注意数学教材当中

一些规律性知识内容的总结延伸ꎬ使学生能够深入

理解数学概念具有的普遍性.第三ꎬ通过对数学理论

和模型间的相互联系ꎬ促使学生对概念产生更深的

认识ꎬ进而全面理解数学建模同有关理论间的转换

作用.３.３在应用题教学当中ꎬ数学建模思想的应用

知识与实际问题结合的题目在逐年增多ꎬ利用

数学运算来体现出数学事物的变换规律ꎬ建模方法

更科学ꎬ数学结论更加可靠.因此ꎬ在实际应用题讲

解过程中ꎬ需要进行一些基础知识的扩展ꎬ利用数学

模型来实际解决问题.第一ꎬ在分析应用题的过程

中ꎬ不仅要对题目更深层次的含义进行研究ꎬ而且还

要将其进行变式.第二ꎬ依据一些原有的条件对数学

模型进行有效求解.第三ꎬ依据数学模型体现出来的

一些规律ꎬ展开科学预估.“数学建模思想”能够帮助学生去应对高考数

学中不同种类的题型ꎬ“数学建模”的过程ꎬ往往是

根据数学题目中的一些条件ꎬ将复杂的文字表述转

变为学生容易理解的解方程组、观察图形ꎬ联系实际

等形式ꎬ从而让学生能够有条理地去分析问题ꎬ从而

快速地求解出答案.“数学建模”的过程ꎬ不仅有利

于学生去快速解决问题ꎬ也有利于学生去检验结果ꎬ

从而提高学生做题的正确性.因此ꎬ“数学建模思

想”在高考数学中的应用ꎬ对于学生来说发挥着巨

大的作用.

参考文献:

[１]张定强ꎬ裴阳.探析建模思想落实核心素

养———近五年高考数学建模思想考查的特征

分析及启示[Ｊ].考试研究ꎬ２０１８(０６):８５－９０.[２]颜习位.近年高考中数学建模思想及其应用初

探[Ｊ].青少年日记(教育教学研究)ꎬ２０１３(１０):６５.

[３]梁远榕.运用建模思想解高考数学应用题浅探

[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１０(１３):７１＋７３.

[责任编辑:李　璟]

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