2020考研数学二真题 附答案解析
- 格式：pdf
- 大小：595.63 KB
- 文档页数：18
0
x (
ò
ò
0 0
2020 考研数学二真题及解析完整版
一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. x ® 0+
，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A. ò x (
et2
-1)
dt
B. ò
0 ln 1+ t3 )
dt
C. sin x
sint 2
dt
0
1-cos x
D.
0
答案：D sin3
tdt
解析:A.
ò x (
et 2
- 1)
dt ~ò x
t 2
dt = x3
0 0 3
B.
ò
ln (
1 + t3 )
dt ~ ò
t
2dt = x
2
x x 3
2 5
0 0 5
C.
òsin x
sin t2
dt ~ òx
t2
dt = 1
x3
0 0 3
1-cos x
1
x 2 3
D.
ò
sin3
tdt ~ ò
2 t
2 dt
5
= 2
æ 1
x2 ö
2
=
1
x5
5 ç
2 ÷ 10 2
è ø
2. f (x) =
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C 1
e
x-1 ln |1 + x |
(ex
-1)(x - 2)
第二类间断点个数（ ）
解析： x = 0, x = 2, x = 1, x = -1
为间断点
t
2 2
1 x®0
x®0 (ex
x®0
x(1- x) x
d x
lim f (x) = lim 1
e
x-1 ln |1+ x |
= lim
-1)(x - 2) e-1
ln |1+ x |
-2x = - e-1
2
lim ln | x +1|
x = - e-1
2
x = 0
为可去间断点
1
lim f (x) = lim e
x-1 ln |1+ x |
= ¥
x®2 x®2 (ex
-1)(x - 2)
x = 2
为第二类间断点
1
lim f (x) = lim e
x-1 ln |1+ x |
= 0
x®1-
x®1- (ex
-1)(x - 2)
lim f (x) = lim
1
e
x-1 ln |1+ x |
= ¥
x®1+
x®1+ (ex
-1)(x - 2)
x = 1
为第二类间断点
1
lim f (x) = lim e
x-1 ln |1+ x |
= ¥
x®-1 x®-1 (ex
-1)(x - 2)
x = -1
为第二类间断点
3. ò
dx =
π2
A.
4
π2
B.
8
π
C.
4
π
D.
8
答案：A
解析：
令u =
，则
原式= ò
0 arcsin u
· 2u d u 1 arcsin x
x(1- x)
u2
(1- u2
) x®0
1- u2
¶f
¶x ò
n n n
í
î = 2 1 arcsin u
d u
0
p
t
令u = sin t 2ò
2 cos t d t
0 cos t
= 2 × 1
t 2 p
p
2
2 =
2 0
4
4. f (x) = x2
ln(1- x), n ³ 3
时， f (n)
(0) =
n!
A. -
B.
n - 2
n!
n - 2
(n - 2)!
C. -
n
(n - 2)!
D.
n
答案：A
解析：
f (x) = x2
ln(1- x), n ³ 3
f (n)
(x) = C 0
x2
[ln(1- x)](n)
+ C1
(x2
) ¢
[ln(1- x)](n -1)
+ C 2
(x2
) ¢
[ln(1- x)](n -2)
= (n -1)!(-1)
(1- x)n
[ln(1 - x)](n-1)
= (n - 2)!(-1)
(1- x)n-1
[ln(1 - x)](n-2)
= (n - 3)!(-1)
(1- x)n-2
(x2
)¢
= 2x;(x2
) ¢
= 2.
\ f (n)
(x) = x2
× (n -1)!(-1)
+ 2n × x × (n - 2)!(-1)
+ 2 n × (n -1)
× (n - 3)!(-1)
\ f (n)
(0) = - (1- x)n
n!
. (1- x)n -1
2 (1- x)n -2
n - 2
ìxy xy ¹ 0
5.关于函数 f (x, y) = ï
x y = 0
ï
y x = 0 给出以下结论
① = 1
(0,0)
¶2
f
¶x¶
y
¶f
¶x
=
② = 1
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
④ lim lim f ( x, y) = 0
正确的个数是
y®0 x®0
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：
① = lim f (x, 0) - f (0, 0)
(0,0) x®0 x
= lim x - 0
= 1
x®0 x
¶f
② xy ¹ 0
时，
¶x = y
¶f
y 0
时，
¶x = 1
¶f
x = 0
时，
¶x = 0
= lim f
x¢
(0, y) - f
x¢
(0, 0)
= lim
-1
不存在.
(0,0) y®0 y
y®0 y
③ xy ¹ 0, lim f (x, y) = lim xy = 0
( x, y )®(0,0) ( x, y )®(0,0)
y = 0, lim f (x, y) = lim x = 0
( x, y )®(0,0) ( x, y )®(0,0)
x = 0, lim f (x, y) = lim y = 0
( x, y )®(0,0) ( x, y )®(0,0)
\ lim
( x, y )®(0,0) f (x, y) = 0
④ xy ¹ 0, lim f (x, y) = lim xy = 0
x®0 x®0
y = 0, lim f (x, y) = lim x = 0
x®0 x®0
x = 0, lim f (x, y) = lim y = y
x®0 x®0
从而limlim f (x, y) = 0.
y®0 x®0
¶x¶y
