河北蒙中高三理科数学 NO：113 使用时间：2014年 月 日 主备人：
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 1 课题 空间中垂直关系
学习目标
重点难点
导 学 过 程 备 注
1．在三棱柱111CBAABC中，侧面11AABB为矩形，2,11AAAB，D为1AA的中点，BD与1AB交于点O，CO侧面11AABB．（Ⅰ）证明：1ABBC;（Ⅱ）若OAOC，求三棱锥ABCB1的体积．
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求证：CD⊥AE；
(2)求证：PD⊥面ABE
1AA1BB 1CC
O
D
空间中的垂直关系练习题
知识点小结
一．线面垂直定义：如果直线AB与平面α相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说直线AB与平面α互相垂直，直线AB叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。交点P叫做垂足。
垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做点到平面的距离。
由定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。
二．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
符号语言：
推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2 如果在两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。
三．平面与平面垂直的判定
1.平面与平面垂直定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。
2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。
3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
1
空间中的垂直关系
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理解空间中三种垂直关系的定义；
掌握空间中三种垂直关系判定及性质；
用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．
一、直线与平面垂直
1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．
2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离
3.直线和平面垂直的判定
4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，
如图：
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，
如图： 2
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
1 / 5 空间垂直关系的重难点分析
其重点是：
二面角及平面角的概念；
两个平面垂直的判定定理；
两个平面垂直的性质定理．
两个相交平面的相对位置是用它们所成的二面角来刻画的，而将二面角这个空间图形数量化，采用的是构造二面角的平面角的手法，使问题转化为平面角的手法，使问题转化为平面几何问题来研究．
利用类比的方法学习二面角，将有利于对二面角概念的理解．空间的“二面角”与平面几何中学过的“角”的类比关系，如下表所示：
名称
类 比 项 角 二 面 角
图 形
定 义 从一点出发的两条射线（半直线）所组成的图象． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
表 示 法 ∠AOB 二面角α － a － β
平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作一个半平面以其棱为轴旋转而成的．
回忆前面学过的异面直线所成的角，斜线与平面所成的角的定义，它们都是通过转化成一平面内两条相交直线所成的角来度量的，二面角是否也可以这样做？
在二面角棱上任取一点，在两个面内各作一射线，用这两条射线所成的角来度量二面角是否合适，通过观察可知，当射线在面内变动时，这个角的大小也会发生变化，如果让这两条射线都与棱垂直，那么这个角的大小就确定α β
a面棱面ABO边边顶点
2 / 5 了，并且它的在大小与棱上点的位置无关（等角定理），而仅与二面角的两个面的相对位置有关，也就是说，这样的角的大小与二面角的大小可以建立一一对应关系，因此可以用平面角的大小来度量二面角的大小，称这样的角为二面角的平面角．
二面角的平面角的定义中，关键词语有三个：
（1）角的顶点在二面角的棱上；
（2）角的两边分别在二面角的两个面内；
（3）角的两边都与二面角的棱垂直．
二面角的平面角的概念既为两个平面垂直的定义做准备，又体现了用平面几何的知识来描述立体几何位置关系的特点，这种升维和降维的相互转化是研究立体几何的最基本的思想．
