七年级数学上册 一元一次方程应用问题分类归纳

一、方程与应用题解题方法：

1. 列方程解应用题的一般步骤：

1) 审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；

2) 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

3) 设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x，但也应根据题意灵活设未知数）；

4) 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；

5) 解：解所列出的方程，求未知数的值；

6) 答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案（包括单位符号）。

2. 利用一元一次方程解决实际问题，关键是确定等量关系，根据题中的等量关系列出方程，沿着：

实际问题→数学问题→已知量、未知量及等量关系→方程→方程的解→解得合理性→答案

的思路，探究实际问题与一元一次方程。

【例题】

鸡和兔在一个笼子里，从上面数有 20 只头，从下面数有 60 只脚，问：鸡和兔一共多少只？

分析：

1) 审：通过读题，分析信息，知道本题为鸡兔同笼问题，鸡和兔一共 20 只，脚一共 60 只；

鸡的数量+兔的数量=总只数①，鸡的脚数量=鸡的数量×2②，兔的脚数量=兔的数量×4③

2) 找：找到可以包含已知量的一个等式，本题为：鸡的脚数量+兔的脚数量=总脚数④；然后

鸡的脚数量和兔的脚数量可由审题中获得的数量关系②、③式代入；

3) 设：设鸡的数量为 x 只，那么由①式知兔子的数量为 (20 − x) 只； 4) 列：根据 2）中找到的等式④列方程：2x + 4(20 − x) = 60 ⑤；

5) 解：解方程⑤求得：x=10；

6) 答：根据题目要求以及所问的问题作答即可。

答案：

解：设鸡的数量有 x 只，那么兔子的数量为(20 − x)只 2x + 4(20 − x) = 60 解得：x = 10 20 − x = 20 − 10 = 10 答：鸡的数量有 10 只，兔子的数量有 10 只。

二、 题型归纳

1. 和差倍分问题

问题的特点：已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。 基本方法：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。

题中涉及数量关系以及公式 等量关系 注意事项

增长量=原有量×增长率

现有量=原有量+增长量

现有量=原有量-降低量

以和倍差中的一种关系设未知数并表示

其他量，选用余下的关系列出方程

弄清“倍数”关系及

“多、少”关系等

跟踪训练：

(1) 一个数的 2 倍与 10 的和等于 18， 则这个数是 。 (2) 一个数的二分之一与 3 的差等于 2，则这个数是 。 (3) 一个数的 3 倍比 10 大 2，则这个数是 。

(4) 一个机床厂今年第一季度生产机床 180 台，比去年同期的二倍多 36 台，去年一季度产量多少台？

(5) 一群老人去赶集，集上买了一堆梨，一人 1 个多一个，一人 2 个少 2 个，几位老人几个梨？

(6) 某学校组织 10 名优秀学生春游，预计费用若干元，后来又来了 2 名同学，原来的费用不变，这

样每人可以少摊 3 元，则原来每人需要付费多少元？

(7) 七年级二班有 45 人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多

5 人，两个社都参加的有 20 人，问参加书画社的有多少人？

2. 等积变形问题

此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

题中涉及数量关系以及公式 等量关系 注意事项

长方形体积=长×宽×高

圆柱体体积= r 2h

（h：高，r:底面圆半径）

变形前后体积相等

要分清半径、直径

跟踪训练：

(1) 用半径 10cm 高 7cm 的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？

(2) 把内径为 200mm，高为 500mm 的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为 160mm，高为 400mm

的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？

(3) 要锻造一个直径为 8cm，高为 4cm 的圆柱形毛坯，至少应截取直径为 4cm 的圆钢多少 cm？

(4) 有一段钢可做一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是 12 厘米的圆 锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？

(5) 在一个底面积是 31.4 平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是 1 厘米的圆锥形铝块完

全浸在水中，当从水中取出铝块时，容器的水面下降了 0.2 厘米。这个圆锥形铝块高多少厘米？

3. 行程问题

行程问题是数学中常考察的题型，对于这类问题，题中涉及到的数量关系以及公式，等量关系如

下表所示：

题中涉及数量关

系以及公式

等量关系

注意事项

行

程

问

题

相遇问题

路程=速度×时间

时间=路程/速度 速度=路程/时间

快行距离+慢行距离=原距 相向而行，注意

出发时间、地点

追及问题

快行距离-慢行距离=原距 同向而行，注意

出发时间、地点

航行问题 顺水(风)速度=静水(风)中的速度+

水(风)的速度 逆水(风)速度=静水(风)中的速度- 水(风)的速度

明确顺水(风)还

是逆水(风)

1) 相遇问题

这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

对应公式： 路程=速度×时间 快者路程+慢者路程=总路程

（慢者速度+快者速度）×相遇时间=相遇路程

跟踪训练：

(1) 甲、乙两车从相距 264 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲速是乙速的 1.2 倍，4 小 时 相遇，求乙速？

(2) 甲、乙两站相距 600 千米，慢车从甲地出发，每小时行 40 千米，快车从乙地出发，每小时行 60 千米，若慢车先行 50 分钟，快车再开出，又行一段时间后遇到慢车，求快车开出多少小时两车 相遇？

(3) A、B 两地相距 75 千米，一辆汽车以 50 千米/时的速度从 A 地出发，另一辆汽车以 40 千米

/时速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距 30 千 米？

2) 追及问题

这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

① 同时不同地：快者的时间=慢者的时间 快者走的路程－慢者走的路程=原来相距的路程

跟踪训练：

(1) 甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别是 40 千米/小时和 60 千米/小时，多少小 时后，乙车追上甲车？

(2) A、B 两地相距 64 千米，甲从 A 地出发，每小时行 14 千米，乙从 B 地出发，每小时行 18

千米，若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲 10 千米？

② 同地不同时；先走者的时间=慢走者的时间＋时间差 先走者的路程=慢走者的路程

跟踪训练：

(1) 一列慢车从某站开出，每小时行驶 48km，过了 45 分，一列快车从同站开出，与慢车同

向而行，又经过 1.5 小时追上了慢车。求快车的时速？

(2) 一队学生去学校外进行军事训练，他们以每小时 5 千米的速度行进，走了 18 分钟，学校

要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时 14 千米的速度按原

路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?

③ 环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是：两人走的路程和等于一圈的路程； 同地同向而行的等量关系是：两人所走的路程差等于一圈的路程。 跟踪训练：

(1) 一条环行跑道长 400 米，甲每分钟行 550 米，乙每分钟行 250 米．

① 甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？

② 甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？

(2) 甲,乙二人在 400 米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，

同向跑，则 3 分 20 秒，相遇一次，若反向跑，则 40 秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少 米？

3) 航行问题：

航行问题主要涉及的是逆水顺水航船或者逆风顺风航行问题，主要明确：顺流航速、逆流航速、

水（风）速、船的静水速度（飞机的静风速度）几个量直接的关系。主要关系有：

顺流航速=船的静水速度+水流速度 逆流航速=船的静水速度-水流速度 顺流速度×顺流时间=顺流路程 逆流速度×逆流时间=逆流路程 顺程+逆程=总路程

顺风速=飞机无风速+风速 逆风速=飞机无风速—风速

顺风速×顺风时间=顺风路程 逆风速×逆风时间=逆风路程 顺程+逆程=总路程

跟踪训练：

(1) 一艘船航行于 A,B 两个码头之间，顺水航行需要 2 个小时，逆水航行需要 4 个小时，已 知水 流速度是 4 千米/时，求这两个码头之间的距离。

(2) 船顺水航行 24 千米,又返回共用 2 小时 20 分.如顺水航行 8 千米,逆水行 18 千米,则需要 1 小时 20

分.问静水速度和水流速度?