高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理教案 新人教A版必修4

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《平面向量基本定理》教学设计

本节课在《平面向量》这一章中处于核心地位，具有统领全局的作用．平面内任一向量都可以由平面内两个不共线的向量12,uruuree表示出来．当12,uruuree确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，为研究向量问题带来极大的方便．

在此之前，学生已经掌握了向量的线性运算及共线向量定理．另外，学生在物理学科中也学习过力的分解、位移的分解、速度的分解等模型，为本节课的学习提供了知识准备．

本节将学习的平面向量基本定理是从现实生活中的位移、力、速度的分解这些实际背景抽象而成，它既是前面知识的深化和应用，又是后面学习向量坐标表示的基础；既是平面图形中任一向量都可以由两个不共线向量量化的依据，也是搭建向量的几何运算和代数运算的桥梁，同时又为空间向量的学习奠定基础，具有承前启后的作用．

（1）从具体情境中抽象出平面向量基本定理，培养学生抽象概括的能力．

（2）掌握平面向量基本定理，体会数学研究的一般过程．

1．教学问题：

（1）学习过程中，学生对于向量共线定理中“ra是非零向量”这一条件的忽视，容易导致对“平面中不共线的两个向量”的忽视．

（2）利用平行四边形法则进行向量的分解是一个难点．

2．教学支持条件：方格（斜格）纸，科大讯飞问答系统．

【问题1】（1）位于水平地面上的质量为M的小木块，木块与地面之间的摩擦系数是，在大小为F、方向与水平方向成角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动．问拉力F是多少？

（2）两位同学共同提一桶水，水和桶的总质量是15 kg，两人的手臂与竖直方向的夹角都是30°，假设这两位同学所用的力相同，那么这两位同学用力大小为多少？ ◆教材分析

◆教学目标

◆课前准备

◆教学过程 2 / 6

【设计意图】在学生的认知基础上创设情境，建构定理模型．从力的作用的实际效果出发进行力的分解，引发学生思考向量分解的必要性，以及对于给定的向量可以分解成两个不共线的向量的线性组合的方法．

《平面向量基本定理》

一、内容分析

（一） 课标要求：了解平面向量的基本定理及其意义。这部分教学侧重于帮助学生在现有的向量线性运算的基础上逐步导入平面向量基本定理，引导学生在直观感知的基础上，认识平面向量基本定理的形成和意义；通过直观感知、操作确认、思辨论证，初步了解平面向量基本定理及其意义。

本节课要求：在学生已经初步学会平面向量的线性运算（加法、减法和数乘）的基础上帮助学生自主导入平面向量的基本定理及其几何意义，并学会应用所学知识去解决问题

（二）教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

（三）学情分析

知识结构：通过前面几节课的学习，学生已经学会了如何应用三角形法则和平行四边形法则去处理向量之间的线性关系，对于加法、减法和数乘运算的学习使学生已经具备了一定的推理能力，并通过观察图形和归纳，总结的常用的方法的两种方法：三角形法则和平行四边形法则。

心理特征：通过前面几节课的学习，学生已经学会了向量的线性运算，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

（四）设计理念

本节课结合课标的要求有效利用几何画板辅助教学，针对学生的实际学习背景，平面向量基本定理的导入教学首先要贴近学生实际让学生学会由现有的知识引发思考，合理质疑，进一步激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

二、教学目标

知识技能：了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及会初步求解简单的向量夹角问题。

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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 2.3.1 平面向量根本定理

A级 根底稳固

一、选择题

1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )

A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2

解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，

所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，

所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．

答案：B

2．在菱形ABCD中，∠A＝π3，那么AB→与AC→的夹角为( )

A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3

解析：由题意知AC平分∠BAD，所以AB→与AC→的夹角为π6.

答案：A

3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD→＝2DC→，设AB→＝a，AC→＝b，那么AD→可用基底a，b表示为( )

A.12(a＋b) B.23a＋13b

C.13a＋23b D.13(a＋b)

解析：因为BD→＝2DC→，

所以BD→＝23BC→.

所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.

答案：C

4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝3PA→，那么( ) .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

A．x＝23，y＝13

B．x＝13，y＝23

C．x＝14，y＝34 D．x＝34，y＝14

解析：由BP→＝3PA→，得OP→－OB→＝3(OA→－OP→)，整理，得OP→＝34OA→＋14OB→，故x＝34，y＝14.

答案：D

5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么EB→＝( )

A.34AB→－14AC→ B.14AB→－34AC→

1 课题: 平面向量的实际背景及基本概念

［课时安排］ 2课时

［教学目标］ 1．知识与技能: 理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的几何表示，会用字母表示向量

2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路

3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．

［教学重点］ 向量、零向量、单位向量、平行向量的概念

［教学难点］ 向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断.

［教学器材］

［教法学法］

［教学过程］ 备注

【自主学习】

知识梳理:

1. 向量即有_____，又有_______，所以向量不同于数量；

2. 向量AB 的大小（长度）称为__________ ，记作|AB|；

3. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

4. 长度为1个单位的向量，叫___________；

4. 方向__________的非零向量叫平行向量，平行向量就是共线向量。规定0与任一向量平行. 向量a、b平行，记作ab∥.

即学即练:

1. ________________的向量叫相等向量, 向量ab与相等记作ab=。

2．下列物理量中，不能称为向量的是

B

（终点） 2 A．质量 B．速度 C．位移 D．力

3．设O是正方形ABCD的中心，向量AOOBCOOD、、、是

A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量

【课外拓展】

1. 下列各量中是向量的是

( )

A.密度 B.体积 C.重力 D.质量

2．下列各说法中，其中正确的个数为

（ ）

（1）向量AB的模长与向量BA的模长相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行