第7 章 刚体的平面运动

7-1 第7章 刚体的平面运动

仍研究刚体两个基本问题 研究方法：运动合成（分解）

7.1 刚体平面运动的运动方程

一、 平面运动特征 什么是平面运动？举例：①沿直线行驶的自行车，自行车轮子运动；②在平面上行驶的汽车（看作刚体或看其车厢），等等。 本质特征（定义）：刚体运动过程中，其上任意一点距某一固定平面的距离保持不变。或（书上），运动过程中，刚体上任意一点始终在与某一固定平面平行的平面内运动。 平面运动的简化：可简化为一平面图形的运动。有两种情形，即上述二例： 情形一：刚体近乎一平面图形，在此平面内运动，如上面自行车轮的运动； 情形二：刚体为三维物体，可简化为与固定平面平行的一平面图形。说明见书图7-3。 问题：可否定义成，在运动过程中，刚体内任意一点始终在一平面内运动。举出反例（如定轴转动刚体）。 二、 刚体平面运动方程——刚体自身运动规律 即确定平面图形位置的独立坐标。 举例：一张厚纸画要挂在墙上，如何做？显然用一个钉子钉是不行的（图a），用两个钉子钉当然可以（图b）。另外，用一个钉子钉和一个凸物支撑也可以（图c）。

图7-1-1 所以，确定一个平面图形的位置至少需要一个钉子和一个凸物。从运动学角度看，需要三个约束（几何约束），从受力角度看，需要三个约束反力。 以上分析看出，确定平面图形（即其上一直线）位置需要三个坐标，如211zyx、、

，刚体自身运动规律（§7-1） 刚体上的点的运动规律（§7-1～5） 7-2 但经常不这样表示，而是用两个直角坐标加一个角坐标表示，如图7-1-2。 故平面运动方程：





)()()(

32'1'tftfytfxOO

或)()(''ttrrOO

完全确定刚体的运动。显然，进一步可求出





ttrvOO

dddd'' 



222'2'

dddd

ttraOO

三、 平面运动的分解 由上章知道，点的复杂运动可分解为两种简单运动的合成，其中用到了两种坐标系。刚体的复杂运动也可分解为两种简单运动的合成。 平面运动为平面内的复杂运动。将动系''''zyxO固连在'O点上，并设其为平动，'O点

称为基点，静系Oxyz在地面上，则可将平面运动分解： 刚体平面运动 ——→ 随动系平动 ＋ 相对动系定轴转动 或： 刚体平面运动 ——→ 随基点平动 ＋ 绕基点定轴转动 （复杂运动） （简单运动） （简单运动） （绝对运动） （牵连运动） （相对运动）





)()()(

32'1'tftfytfxOO ——→)()(2'1'tfytfxOO ＋ )(3tf

注意： ① 关于、、与基点无关，许多同学理解上有困难。它们为表示刚体整体运动的量，无所谓相对哪一点，故平面运动中并不说明相对哪一点的、、； ② 此段分析极为重要，不仅为研究刚体整体运动的方法，也是研究刚体上的点运动规律的基础。下面求刚体上的点的运动的方法，均来自于此。即：研究刚体上点的运动所用合成法使用的动系、静系与研究刚体自身运动所用合成法使用的动系相同。

图7-1-2 与基点有关 与基点无关

有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 7-3 §7-2 求平面运动刚体内点的速度与加速度的基点法

完全应用上章点的合成运动的方法。 考虑如下的问题： 已知：平面运动刚体在某瞬时的、，刚体上一点'O的速度'Ov与加速度'Oa 求：刚体上任一点M的速度Mv与加速度Ma 注：以上问题的提法仅为导出(*)式和(**)式。 分析与求解： 动点：M 动系：''''zyxO（随基点平动）

静系：

Oxyz（地面） 绝对运动——此时未知（视具体问题而定） 牵连运动——随基点'O平动（永远随基点平动） 相对运动——圆周运动，'O为圆心、MO'为半径（永远是圆周运动） 画M点速度图如图，由速度合成定理： reavvv 即 ''MOOMvvv （*） 此即求速度的基点法。其中： ·''MOvMO 显然，由加速度合成定理： nrreaaaaa 即 nMOMOOMaaaa''' 此即求加速度的基点法。其中： ·''MOaMO 2'·'MOanMO 同上节 图7-2-1

图7-2-2 7-4 注： ① 基点法的公式完全不需要记； ② 本章中不再用上章表示符号：reavvv、、、reaaaa、、，而是用基点与动点符号作角标； ③ 基点法不再提动系、静系如何选，而是只指明基点和动点，此时已表明了动系的选法，在图上更不必画出动系与静系，如图9-2-3。基点法的步骤如下： （一）选动点和基点；（二）画运动图；（三）求解。

图7-2-3 用基点法求解： 例1 例7-1，7-6（老书例9-1、9-6）（典型机构之一——曲柄连杆机构） 曲柄连杆机构。曲柄OA = r，以匀角速度ω转动，连杆AB = l，α= 45°，OA⊥AB。求滑块B的速度和加速度、AB的角速度、角加速度。 分析：先看清机构运动情况，已知与待求量。 AB作平面运动，A点运动情况已知，显然取其在基点，B为动点（事实上，此时已确定了动点、动系）。分析B点速度、加速度，易求。 解：取A为基点，B为动点。画B点速度图如图。 rvA 由速度图： rvvrvvABAABtan,2cos lrlvBAAB

再画B点加速度图。2raA 由加速度合成定理：

Av

ABBv

BAv

Av

AaBAanBAa

ABAaBa 7-5 nBABAABaaaa (1) 大小： ？ √ ？ √ 方向： √ √ √ √ 式(1)在AB方向投影： nBABaacos (2)

而 222lrlaABnBA，代入上式得：

222coslraanBAB 式(1)在水平方向投影： sincoscos0nBABAAaaa (3)

→ )(tan2rllraaanBAABA → )(22rllrlaBAAB

例2 （补充，老书例9-4、9-7）（典型机构之二——四连杆机构） 四连杆机构。已知：曲柄OA = r，角速度0，角加速度0，连杆AB = 2r，曲柄

rBO321，O、B、O1位于水平线，OA铅直。求B点速度、加速度。 分析： 事实上，四连杆机构与曲柄连杆机构拓扑性质完全相同，只是由原来滑块的直线运动改为圆周运动。故求解方法相同，仍选A为基点，B为动点。

解：（略） 例3 例7-7（老书例9-8）（主要讲纯滚动——典型平面运动） 曲柄连杆滚子机构。曲柄OA = r，角速度ω,连杆AB = 2r，滚子半径r，纯滚动。图示位置求滚子角速度、角加速度。 分析： 由例1，B点速度、加

(b) Av

0AvBvBAvA

BO1

OAa

nAa

nAaAaBanBaBAanBAaB

vB

BvCBvBa

CBanCBaB

BaCa 7-6 分析： 由例1，B点速度、加速度易求。下面主要求滚子角速度、角加速度。滚子作纯滚动，为平面运动，且C点速度为0（加速度为0吗？）。基点法：B为基点，C为动点。 解：（求vB、aB过程略） 研究滚子。基点B，动点C。画速度图(a)，vC = 0，则 vCB = vB = rω。所以 rvrvBCBB 画加速度图(b)，由加速度合成定理： nCBCBBCaaaa 在水平方向投影： 2233,33,0rararaaaaBCBBBCBBCB 作业：7-7，用基点法求解7-8、7-13（假设所给速度或角速度为匀速，补充求解：所求相应量的加速度或角加速度），补充题：已知作平面运动三角板三个角点的速度，求其形心的速度。

§7-3 求平面运动刚体内点的速度的投影法和瞬心法

此二种方法均来自于基点法。 一、速度投影法 将上节（*）式在O'M上投影，因为 0)(''MOMOv 所以： MOOMOMvv''')()(

此即所谓速度投影法。为一个代数方程，可求一个代数未知量。因其中不包含'MOv，

故不能求'MOv和。但此方法有时极为简单。 二、速度瞬心法（简称瞬心法） 1. 速度瞬心（瞬心） 设动点I，基点O'，由上节(*)式， ''IOOIvvv

当0'IOv，即0时，可令0Iv，则

'Ov'OI'IOv'Ov

有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 7-7 0''IOOvv → ''OIOvv

若知'Ov，则可唯一确定一点I，此时其速度为0——称此点为速度瞬心，简称瞬心。 瞬心可在刚体内或外部。 2. 速度瞬心法 若已知速度瞬心I，以瞬心为基点，则任一点M的速度为： MIMvv 即 ·MIvvMIM 可见，此时平面运动刚体上各点（绝对）速度分布与绕瞬心I作定轴转动的情形完全相同。所以，此时求刚体上各点（绝对）速度非常方便，只需按定轴转动来求即可。 3. 速度瞬心的求法 书上p153。 （1）由定义求（此种方法较少用），图a； （2）已知刚体上二点速度方向，图b； （3）二速度方向平行且大小不等，图c、d； （4）二速度方向平行且同向，图e、f； （5）纯滚动，图9-11。 例4（例7-1，7-3）（用投影法和瞬心法求速度） 曲柄连杆机构。曲柄OA = r，以匀角速度ω转动，连杆AB = l， = 45°，OA⊥AB。求滑块B的速度、AB的角速度 提问：用投影法可求哪些量？由瞬心法可求哪些量？ 解1：（投影法） 解2：（瞬心法） 由A、B速度方向可定瞬心I，如图。

rvArvvvvABAB2222

rvA

lrAIvAAB

rlrlBIvABB22 7-8 例5（例2，用投影法和瞬心法求速度） 四连杆机构。已知：曲柄OA = r，角速度 ，连杆AB = 2r，曲柄 ，O、B、O1位于水平线，OA铅直。 求O1B的角速度。 由投影法和瞬心法能求何种量？ 解：（同学做） 下图情形呢？ 例6（例7-7，用投影法和瞬心法求速度） 曲柄连杆滚子机构。曲柄OA = r，角速度ω,连杆AB = 2r，滚子半径r，纯滚动。图示位置求滚子角速度。 由投影法和瞬心法能求何种量？如何求？ 作业：7-8、13、12（用投影法和瞬心法求速度） 补充：下面习题（用投影法和瞬心法） 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动地装置在O轴上，如图所示。在O轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ的轴安装在连杆AB的另一端。已知： cm， O1A=75 cm，AB=150 cm；又平衡杆的角速度O1 = 6 rad/s。求当 = 60和 =90时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。 0rBO321

33021rr