乐学教育学员个性化教学辅导教案
学科:数学 任课教师： 叶老师 授课时间：2016年 9 月 10 日(星期 六 )
姓名 李欣珂 年级
九
性别 女 教材版本 华师大 课时
教学
内容
提纲 本次课知识点 一元二次方程根的判别式
本次课重点：
本次课难点
本次课的考点
本次课所学习的方法和能力
课前
检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
建议：
签字 教学组长签字：
本次课授课内容
1. 用直接开平方法解一元二次方程
230x 2(1)40x 22(1)(21)xx
2、用因式分解法解一元二次方程
02xx 0322xx 3632xx
3、用配方法解一元二次方程
2312210xx (2)(3)1xx 2(1)(1)12xx
4、用公式法解一元二次方程 24410xx 25(1)70xx 22220xx
(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
(消元、降次、化归的思想)
(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0
一元二次方程根的判别式
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
一元二次方程根的判别式与根与系数的关系
〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
〖教学要求〗：
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
17.3一元二次方程根的判别式
【知识梳理】
1.一元二次方程根的判别式
我们把24bac
叫做20(axbxca
的根的判别式，用符号
来表示。对于一元二
次方程20(axbxca
，其根的情况与判别式的关系是：
当240bac
时，方程有两个不相等的实数根；
当240bac
时，方程有两个相等的实数根；
当240bac
时，方程没有实数根.
特别的：当240bac
时，方程有两个实数根.
上述判断反过来说，也是正确的。即
当方程有两个实数根时，240bac
；
当方程有两个相等的实数根时，240bac
；
当方程没有实数根时，240bac
；
2.一元二次方程的根的判别式的应用
①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24bac
的
值，最后根据
的符号来确定根的情况；
②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并
求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，
但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系
数（含字母）是否为零进行讨论；
③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法
或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.
3.利用根的判别式解题时的几点注意：
①运用“
”时必须把方程化为一般式;
②不解方程判定方程的根的情况要由“
”的符号判定；
③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1）221150xx
（2）23226xx
（3）(1)(2)8xx
【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的
情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的abc、、
，计算出
的值，判断
的
符号】
【答案：（1）221150xx
一元二次方程根的辨别式
一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数，且 a ≠ 0。一元二次方程的根可以利用判别式来判别。判别式定义如下：
Δ = b^2 - 4ac
判别式 Δ 的值决定了方程的根的类型：
Δ > 0：方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：方程有两个相等的实根。
Δ < 0：方程没有实根，有两个共轭复根。
证明：
根据一元二次方程的求根公式：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
我们可以得到：
Δ > 0：b^2 - 4ac > 0，因此 √(b^2 - 4ac) 是实数，方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：b^2 - 4ac = 0，因此 √(b^2 - 4ac) = 0，方程有两个相等的实根。
Δ < 0：b^2 - 4ac < 0，因此 √(b^2 - 4ac) 是虚数，方程有两个共轭复根。
判别式的应用
判别式在解决一元二次方程的问题中非常有用。它可以快速确定方程的根的类型，从而指导下一步的求解。例如：
确定方程的根的个数：Δ > 0 表示方程有两个实根；Δ = 0
表示方程有两个相等的实根；Δ < 0 表示方程没有实根。
求解方程的根：如果 Δ > 0，可以使用求根公式直接求出方程的两个实根。
判别二次函数的开口方向：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的开口方向由判别式决定。Δ > 0 时开口向上，Δ < 0 时开口向下，Δ = 0 时开口水平。
注意事项
需要注意的是，判别式只能判断一元二次方程根的类型，不能直接求出方程的根。如果需要求出方程的根，还需要使用求根公式。
