《菱形的性质》典例精析
【例1】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.
求证：∠AFD=∠CBE.
【解析】从图中观察AB∥CD,容易得到∠AFD=∠CDE；而利用三角形全等，容易得到∠CDE=∠CBE.即可得证.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.又 CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）.∴∠CBE=∠CDE.
∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE.
【点评】 如果直接证明两个角相等有困难时，我们可以利用第三个角，证明所求证的两个角都与第三个角相等.这也是证明中常用的方法.
【例2】如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数.
【解析】由∠B=60°，连结AC得等边三角形△ABC和△ACD，从而△ABE≌△ACF,有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角的和，可求CEF.
【答案】解：连结AC.
在菱形ABCD中，∠B=60°，∴∠BCD=120°，在△ACF和△ABE中，∠ACD=∠ABE=60°，∠CAF=∠BAF-∠BAC=∠BAE+∠EAF-∠BAC=20°+60°-60°=20°=∠BAE，又AB=AC
∴△ABE≌△ACF，AE=AF 又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∠AEF=60°，∠CEF=∠CEA-∠AEF，∠CEA=∠B+∠BAE=80°.得∠CEF=20.
【点评】菱形的问题常通过连对角线，把四边形的问题转化为三角形问题来解决.
【例3】（中）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积是_________．
【解析】如图所示，由菱形的性质可得△OAB是直角三角形，它的两条直角边OA，OB之比等于菱形的两条对角线之比，用勾股定理列方程求解，可求出OA，
第 1 页 共 3 页
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)
2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等
如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.
解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分
∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF. 方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．
【类型三】 运用菱形的性质证明角相等
人教版数学八年级下册- 打印版
.科目 数学 课题 菱形及其性质
学习
目 标 1.会归纳菱形的特性并进行证明；
2.能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；
3.在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.
重点：菱形的性质定理证明
难点：菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化.
学法指导及使用说明：
知识链接： 平行四边形的性质与判定
【学习过程】
一 、课前预习：
1．复习平行四边形的性质.
边：
角：
对角线：
对称性：
2.菱形的定义是什么？
_______
菱形是不是中心对称图形? ，对称中心是____
3.请动手制作一个菱形，折—折，观察并填空.
菱形是不是轴对称图形? ，对称轴有几条?_______，分别是 ______
二、探索活动：
探索活动（一）：
菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。
菱形特有的性质是（性质定理）：
菱形的四条边___________；菱形的对角线____________。
探索活动（二）：
试证明上述定理
已知：_____________________________________。 备注（教师复备栏及学生笔记）
人教版数学八年级下册- 打印版
求证：（1）__________________________；
1 19.2 菱 形
1.菱形的性质
1.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,则对角线BD的长为( C
)
(A)1 (B) (C)2 (D)2
2.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( C
)
(A)4 (B)
(C) (D)5
3.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是( B )
(A)24 (B)20 (C)10 (D)5
4.如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4 cm,则点P到BC的距离是
4
cm.
5.如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16 cm,若墙上钉子间的距离AB=BC=16 cm,则∠1= 120° .
6.如图,在菱形ACBD中,对角线AB,CD相交于点O,CE⊥AD于点E,若AB=16,CD=12,则菱形的面积是 96 ,CE= 9.6 .
第6题图
2 7.(2018广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),
(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (-5,4) .
第7题图
8.已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:∠AFD=∠CBE.
证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以CB=CD,CA平分∠BCD.
所以∠BCE=∠DCE.
又CE为公共边,
所以△BCE≌△DCE.
所以∠CBE=∠CDE.
因为在菱形ABCD中,AB∥CD,
所以∠AFD=∠FDC,
所以∠AFD=∠CBE.
9.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.
解:(1)如图所示,直线EF即为所求.
