中考数学专题复习《分类讨论思想》

中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想

【中考题特点】：

分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

【范例讲析】：

例1：当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？

例2：已知直线y=－x+8和双曲线)0(kxky。

⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？

⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。

例3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。

⑴求证：△ABD∽△DCE；

⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长。

A

B C D E 例4：已知平面直角坐标系内有两点A（－2，0）、B（4，0），点P在直线2521xy上，且△ABP为直角三角形。

⑴求点P坐标，并在图中直角坐标系内标出P点的位置；

⑵经过P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？

若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－1a(a＞0〕

(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；

(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；

1

2 1 专题三 5大数学思想方法

第一节 分类讨论思想

类型一 由概念内涵分类

(2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y1＝ax2－12x＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，34)，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.

(1)求抛物线y2的表达式；

(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的表达式．

【分析】(1)应用待定系数法求表达式；

(2)设出点T坐标，表示出△TAC三边，进行分类讨论；

(3)设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．

【自主解答】

1

2 2

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．

1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( )

A．－8 B．8 C．±8 D．－18

类型二 由公式条件分类

(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

(1)概念理解：

如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．

(2)问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连1

1.分类讨论思想

当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。

一：【要点梳理】

1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。

2.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

3.热点内容

(1).实数的分类。

(2).绝对值、算术根020aaaaaa

(3).各类函数的自变量取值范围

(4).函数的增减性：

0,0,kkyxykyxx时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,aayaxbxc时抛物线开口向上时抛物线开口向下

(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

(6).三角形的分类、四边形的分类

二：【例题与练习】

1.在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点。请你在坐标上确定点P，使得三角形AOP成为等腰三角性，在给出坐标西中把所有这样的点P都找出来，0,0,kyxkyxykxb时随的增大而增大时随的增大而减小yxAO画上实心点，

1 专题一：分类讨论

简要分析

在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.

典型例题

例1 已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为【 】

A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm

例2 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是【 】

【分析】△AMN的面积=12 AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

例3 已知直角三角形两边x、y的长满足224560xyy，则第三边长

为 ．

例4 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：

例题：解一元二次不等式290x.

解：∵29(3)(3)xxx，

∴(3)(3)0xx.

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有

（1）3030xx （2）3030xx

解不等式组（1），得3x，

解不等式组（2），得3x，

故(3)(3)0xx的解集为3x或3x，

即一元二次不等式290x的解集为3x或3x.