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第四单元 导数及其应用
教材复习课“导数”相关基础知识一课过
导数的基本运算
[过双基]
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题速通]
1．下列求导运算正确的是( )
A.x＋1x′＝1＋1x2
B．(log2x)′＝1xln 2 第 1 页 共 67 页
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B x＋1x′＝1－1x2；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故选B.
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
第3讲 导数的概念及其简单应用
导数的几何意义及导数的运算
1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,若l⊥m,则Ρ点的坐标可能是( B )
(A)（-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。） (B)（错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。）
(C)（错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。） (D)（-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。）
解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y ′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.
2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为
.
解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.
答案:5x+y-3=0
利用导数研究函数的单调性
3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+
f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>错误!未找到引用源。+1(e为自然对数的底数)的解集为( A )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)
(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)
解析:不等式f(x)>错误!未找到引用源。+1可以转化为exf(x)-ex-3>0
令g(x)=exf(x)-ex-3,
所以g′(x)=ex(f(x)+f′(x))-ex=ex(f(x)+f′(x)-1)>0,
所以g(x)在R上单调递增,
又因为g(0)=f(0)-4=0,
所以g(x)>0⇒x>0,即不等式的解集是(0,+∞).故选A.
4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )
第1篇
一、教学目标
1. 知识与技能：
（1）理解导数的定义，掌握导数的概念；
（2）掌握导数的运算法则，能够熟练进行导数的运算；
（3）了解导数的几何意义和物理意义，能够运用导数解决实际问题。
2. 过程与方法：
（1）通过探究、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力；
（2）通过实例分析，提高学生运用导数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：
（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度；
（2）培养学生团队合作精神，提高学生的沟通能力。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：
（1）导数的定义；
（2）导数的运算法则；
（3）导数的几何意义和物理意义。
2. 教学难点：
（1）导数的定义的理解和应用；
（2）导数的运算法则的掌握和应用；
（3）导数的几何意义和物理意义的理解。
三、教学过程
1. 导入新课 （1）通过实例引入导数的概念，如物体运动的速度、曲线的切线斜率等；
（2）提问：如何求解上述实例中的导数？
2. 导数的定义
（1）介绍导数的定义，引导学生理解导数的概念；
（2）举例说明导数的定义的应用，如求解函数在某点处的导数；
（3）引导学生分析导数的定义的特点和意义。
3. 导数的运算法则
（1）介绍导数的四则运算法则，通过实例讲解如何运用这些法则进行导数的运算；
（2）讲解复合函数的求导法则，如链式法则、乘积法则、商法则等；
（3）引导学生分析导数的运算法则的特点和适用范围。
4. 导数的几何意义和物理意义
（1）介绍导数的几何意义，如曲线在某点处的切线斜率；
（2）介绍导数的物理意义，如物体运动的速度；
（3）引导学生分析导数的几何意义和物理意义在实际问题中的应用。
5. 课堂练习
（1）布置与导数定义、运算法则、几何意义和物理意义相关的练习题；
（2）引导学生分析解题过程，巩固所学知识。
6. 课堂小结
（1）总结本节课所学内容，强调重点和难点；
第 1 页 共 2 页 高中数学第一册,第二单元,第三课
（实用版）
目录
1.课程概述
2.第二单元内容介绍
3.第三课内容详解
4.课程总结
正文
一、课程概述
本课程为高中数学第一册的第二单元，主要涉及函数、导数和微分等基本概念和运算方法。通过本单元的学习，学生将能够理解函数的性质，熟练运用导数和微分解决实际问题，并为后续学习打下坚实基础。
二、第二单元内容介绍
第二单元的主题是函数、导数和微分。具体内容包括：
1.函数的基本概念：函数的定义、函数的性质、函数的奇偶性等。
2.导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义等。
3.导数的计算：一阶导数的计算方法、二阶导数的计算方法等。
4.微分的基本概念：微分的定义、微分的几何意义、微分的物理意义等。
5.微分的应用：微分在实际问题中的应用，例如求解切线、法线、曲率等。
三、第三课内容详解 第 2 页 共 2 页 第三课的主题是导数的计算。具体内容包括：
1.导数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。
2.导数与微分：导数与微分的关系，如何通过导数求解微分。
3.复合函数的导数：复合函数的定义、复合函数的导数计算方法。
4.高阶导数：高阶导数的定义、高阶导数的计算方法。
四、课程总结
通过本课程的学习，学生应掌握函数、导数和微分的基本概念和运算方法，理解导数和微分在实际问题中的应用。
