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三角函数最值问题(典型题型)

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三角函数最值问题

求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值

例1：求函数xxxxxf44sincossin2cos)( 2,0x的最值

解:xxxxxxxxf2sin2cos2sin)sin)(cossin(cos)(2222

45424,20xx,由余弦函数的单调性及图像知：

当442x， 即0x时 ，)42cos(x取最大值22；

当42x，即83x时，)42cos(x取最小值-1；

故2)(,1)(minmaxxfxf

方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如cossinba的形式，再用辅助角公式)sin(cossin22baba化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值

例2：求1cos2sinxxy的最小值

解：(方法一)由1cos2sinxxy得：yxyx2cossin，yxy2)sin(12

即212)sin(yyx，故11212yy，解之得43y，

故y的最小值为43

方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin,(cos21MxxP,则1cos2sinxxy表示单位圆上的动点P与平面内定点M连线的斜率，当斜率存在时，设过P、M两点的直线方程为)1(2xky，由距离公式得

1122kk，解之得43k，结合图形可知函数的最小值为43。

方法评析：形如)0(,cossinacdxcbxay的函数求最值，均可变形为cdxabxcaycossin的形式，再转化为单位圆上的动点与定点),(abcd连线的斜率问题来解决，但要注意，若自变量给出特别的限制条件，图形不一定是整个圆。

3、转化为二次函数求最值

例3：求2cos3sin2xxy的最大值

解：2cos3sin2xxy=3cos3cos2xx,

设,costx则1,1t，332tty，

显然332tty在1,1t递减，故当1t时y的最大值为5。

方法评析：本题各项所含的三角函数的次数不相同，也无法通过变形变为相同，则可通过换元，将原函数化为某区间上的二次函数，求出函数的最大值和最小值。

变式：求 xxxy2sincossin )0(x的最值

解：令,cossintxx则11)cos(sin2sin22txxx

则 45)21(122ttty，又)4sin(2cossinxxxt，,0x

故1222)4sin(1,4443txx

显然，y的最小值为45，y的最大值为1.

方法评析：在三角函数求值中，若式子中同时含有sinx+cosx(或sinx-cosx)与sinxcosx,则可利用换元法将三角函数问题转化为一般函数问题解决。

4、与向量结合联想构造求最值

例4：已知xxxfcos45sin)(，20x，求)(xf的最值

解：由题知，22)sin2()1cos2(sin221)(xxxxf

设),(),sin,cos(10212nxxm，m与n的夹角为，

则cos2121)(nmnmxf，设m、n的起点均为原点，

则m的终点在圆4)1(22yx上运动，结合图形可知，0，因余弦函数在此区间单调递减,故210cos21)(maxxf ,21cos21)(minxf.

方法评析：这是2008年重庆市的一道高考试题，若按一般方法求解，计算量很大，此题通过构造向量的夹角公式，很简单将问题加以解决，耐人寻味。

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三角函数最值问题的常见类型及解法

三角函数最值问题的常见类型及解法

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三角函数最值问题的常见类型及解法

作者：陈德堂

来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第04期

摘 要:归纳出三角函数最值问题常见的七种类型及解法。

关键词:三角函数;最值

中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-015-02

一、形如y=asinx+bcosx型的函数(化归思想)

特点是含有正、余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数.应用公式y=a2+b2sin(x+φ)即可,其中tanφ=ba.

然后利用三角函数的有界性求最值.

例1.求函数y=sinx+3cosx,x∈\π2\〗的最值.

分析:由于asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba,此结论在运用是时需注意自变量x的取值范围.

所以y=sinx+3cosx=2sin(x+π3)

因为0≤x≤π2;所以x+π3∈\π3,5π6\〗

由三角函数的图象或单调性可知ymin=1,ymax=2.

二、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx2型的函数(化归思想)

特点是含有sinx,cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型一的形式来解.

例2.求y=sin2+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求y取最小值时的x的集合.

解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x 龙源期刊网 =1+sin2x+1+cos2x =2+2sin(2x+π4)

三角函数最值问题求解

三角函数最值问题求解

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三角函数最值问题求解

作者：李秀林

来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第20期

摘 要：本文对中学数学中常见三角函数最值问题做了归纳总结，从具体函数实例出发，列举了几种常用的解题思想方法.

关键词：三角函数；最值；方法；构造

三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

1.用三角函数的有界性求最值

在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个最基本也最重要的特征—有界性.利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最基本的方法.

3.三角函数中的几何方法

例6：求函数y=（0

解：将函数表达式y=，y可以看作连结两点A（2，0）与点B（cosx，sinx）的直线斜率，由于点B（cosx，sinx）的轨迹是单位圆的上半圆，所以求y的最小值就是在这个圆上求一点.使得相应的直线斜率最小.

设过点A的切线与半圆相切于点B，则kAB≤y

所以y最小值-（此时x=），由于sin2x+cos2x=1，所以从图形的角度考虑，点B（sinx，cosx）在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数又含有余弦函数的三角函数的最值可考虑用几何方法求得.

三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。

三角函数的值域或最值问题

三角函数的值域或最值问题

三角函数的值域或最值问题

三角函数的值域或最值问题在高考中时有出现，常见题型主要有以下几类：

一、可化为kxAfxf)()(型

例1、已知Rxxxxy,1cossin23cos212，求y的最大值及此时x的集合.

练习：若ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则CA22coscos的最小值是 .

二、化为一个角的三角函数的一元二次方程

例2、设关于x的函数)12(cos2cos22axaxy的最小值为)(af，试写出)(af的表达式

练习：求函数1sin2cos)(2xaxxf的最值

三、当xxcossin与xxcossin同时出现时用换元

例3、求函数xxxxycossincossin的最小值

练习：求xxxxxfcossin1cossin)(的值域

四、dxcbxaxfsinsin)(型

例4、求2sin1sin3)(xxxf的值域

五、dxcbxaxfcossin)(或dxcbxaxfsincos)(型

例5、求函数xxycos2sin的值域

六、条件极值

例6、已知4422yx，求yxyxyxM24222的最大值

课后作业：

1、求xxysincos2在区间]4,4[上的最值

2、求)1cos3(log5.0xy的值域

3、求),0(,2cossinxxxy的值域

4、已知sin2sin2cos322，求22coscos的最值

5、求),0(,sin4sinxxxy的值域

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一 配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数的最小值为（ ）.

A． 2 B . 0 C . D . 6

[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得,

当t=1时,即cosx=1时，,选B.

例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值

[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

二 引入辅助角法

例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。

[分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。

解：

三 利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

例4求函数的值域

[分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

解法一：原函数变形为，可直接得到：或

解法一：原函数变形为或

例5 已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。