2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂教学设计

孔祥伟

课 题： 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 授课时数： 1课时

日期：2017年 5 月 24 日

设计要素 设 计 内 容

教学

内容

分析 平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

教学目标 知识与

技能 ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；

⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；

⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；

过程与

方法 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

情感态度价值观 引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。

学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

教学

分析 教学

重点 平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质

教学

难点 难点 平面向量数量积的坐标表达式的推导

解决

办法 利用平面向量数量积的意义、运算律等的知识得出新知，学生要多加练习。

教学

策略 本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教学方法。 在教学过程中，注意学生的主体地位，依据学生已有的知识经验和思想基础，复习引入，创设 疑问，引导学生观察、分析、归纳，推导出公式，引导学生运用公式解决问题。

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-1 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

知识点一 平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

数量积

a·b＝x1x2＋y1y2

向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式

向量 模长

a＝(x，y) |a|＝x2＋y2

以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量AB→ |AB→|＝x2－x12＋y2－y12

知识点三 平面向量夹角的坐标表示

cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22.

概念理解：

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )

2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.( )

3．若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( )

类型一 数量积的坐标运算

数量积坐标运算的技巧

(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：

①|a|2＝a·a；

②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；

③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．

1.已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )

A．10 B．－10 C．3 D．－3

2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且DF→＝2FC→，则AE→·BF→的值是________．

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-2 3、向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )

1 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

自主学习

知识梳理

1．平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

___________________________________________________________________.

即两个向量的数量积等于________________________________________．

2．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________________.

3．平面向量的模

(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝

____________________________________________________________________.

(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝________________.

4．向量的夹角公式

设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝__________＝

_____________.

自主探究

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b及|a|.

对点讲练

知识点一 向量的坐标运算

例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.

(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

回顾归纳 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同．同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律．

变式训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.

知识点二 向量的夹角问题

例2 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律.

教学难点：平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0

3 a与b同向时，ab = |a||b|； a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或aaa||

4cos =||||baba ； 5|ab| ≤ |a||b|

3．练习：

（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）

A.60° B.30° C.135° D.４５°

（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为（ ）

A.2 B.23 C.6 D.12

二、讲解新课：

探究：已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，怎样用a和b的坐标表示ba？.

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba2121yyxx 2. 平面内两点间的距离公式

（1）设),(yxa，则222||yxa或22||yxa.

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，

那么221221)()(||yyxxa(平面内两点间的距离公式)