2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案+习题
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2.4.2平⾯向量数量积的坐标表⽰、模、夹⾓教案+习题
2.4.2 平⾯向量数量积的坐标表⽰、模、夹⾓
学习⽬标 1.理解两个向量数量积坐标表⽰的推导过程，能运⽤数量积的坐标表⽰进⾏向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平⾯内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹⾓及判定两个向量垂直(重点)．
预习教材P106－107完成下⾯问题：
知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表⽰ 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).
【预习评价】
(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10
(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2
知识点2与向量的模、夹⾓相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．
2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹⾓公式：设两⾮零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹⾓为θ，则cos θ＝a ·b
|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
． 【预习评价】
(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝
x 2＋32，解得x ＝±22．
答案 ±2 2
(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹⾓为________．
解析 设a 与b 的夹⾓为θ，则cos θ＝3×1＋(－1)×(－2)10·5＝2
2，⼜θ∈[0，π]，所以θ
＝π
4
． 答案 π4
题型⼀ 数量积的坐标运算
【例1】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3
D ．－3
解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
答案 B
(2)已知△ABC 是边长为1的等边三⾓形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )
A ．－5
8
B ．18
C ．14
D ．118
解析 如图，以BC 为x 轴，E 为坐标原点建⽴如图所⽰平⾯直⾓坐标系，易知A ?
0，
32，B －12，0，E (0,0)，C 12，0，D －14，34．
⼜DE →＝2EF →
，设F (x ，y )，
∴14
，－3
4＝2(x ，y )，∴x ＝18，y ＝－38，
∴F 18
，－3
8，
∴AF →·BC →＝1
8，－58 3·(1,0)＝18＋0＝18． 答案 B
规律⽅法 数量积坐标运算的技巧
(1)进⾏数量积运算时，要正确使⽤公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运⽤以下⼏个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b＋|b |2．
(2)在平⾯⼏何图形中求数量积，若⼏何图形规则易建系，⼀般先建⽴坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型⼆ 平⾯向量的模
【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A ． 5
B ．10
C ．2 5
D ．10
解析 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得
x ＝2，y ＝－2，
所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝10． 答案 B
(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →
|＝213，则点B 的坐标是________． 解析 由题意可设AB →＝λa (λ>0)，∴AB →
＝(2λ，3λ)，
⼜|AB →
|＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)． ∴AB →
＝(4,6)，⼜A (1，－2)，∴B (5,4)．
答案 (5,4)
规律⽅法 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表⽰下的运算：利⽤|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表⽰下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝
x 2＋y 2．【训练2】 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5
D ．25
解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， ⼜|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，
∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5． 答案 C
⽅向1 向量的夹⾓问题
【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的
夹⾓为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析 由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，
∴c ·a ＝－52，设a 与c 的夹⾓为θ，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－1
2．
∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°． 答案 C
⽅向2 向量垂直问题
【例3-2】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满⾜(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )
A ．(79，73)
B ．(－73，79)
C ．(73，79
)
D ．(－79，－7
3
)
解析 设c ＝(x ，y )，则a ＋c ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，
由题意知
－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，
3x －y ＝0，
解得
x ＝－7
9，
y ＝－7
3.
即c ＝(－79，－73)．
答案 D
规律⽅法 解决向量夹⾓问题的⽅法及注意事项
(1)求解⽅法：先利⽤平⾯向量的坐标表⽰出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 2
1·
x 22＋y 2
2
直接求出cos θ．(2)注意事项：利⽤三⾓函数值cos θ求θ的值时，应注意⾓θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利⽤cos θ＝a ·b
|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：⼀是θ是钝⾓，⼆是θ为
180°；cos θ>0时，也有两种情况：⼀是θ是锐⾓，⼆是θ为0°．
【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹⾓为直⾓；(2)a 与b 的夹⾓为钝⾓；(3)a 与b 的夹⾓为锐⾓．
解 设a 与b 的夹⾓为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．
(1)因为a 与b 的夹⾓为直⾓，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－1
2
．
(2)因为a 与b 的夹⾓为钝⾓，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向．
