酷酷酷水水水飒飒还是个帅哥但是 第2讲 数列求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列an2n＋1的前n项和.
解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②
①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，
从而{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，
由(1)知an2n＋1＝2（2n－1）（2n＋1）＝12n－1－12n＋1，
则Sn＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1
＝1－12n＋1＝2n2n＋1.
2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bnan的前n项和Tn.
解 (1)设{an}的公比为q，
由题意知a1（1＋q）＝6，a21q＝a1q2， 酷酷酷水水水飒飒还是个帅哥但是 又an>0，
解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
(2)由题意知：S2n＋1＝（2n＋1）（b1＋b2n＋1）2＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn＝2n＋1.
令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
专题三十二 数列求和
【高频考点解读】
熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
【热点题型】
题型一 非等差、等比数列求和的常用方法
例1、已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和 Sn＝，则项数n等于( )
A．13 B．10
C．9 D．6
【提分秘籍】
1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数
列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可
用分组转化法，分别求和而后相加减．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数
列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分
解或错位相减来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等
来求和．
2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数
列问题来解决．
【举一反三】
＋＋＋…＋等于( )
A. B.
C．1－ D．3－
【热点题型】
题型二 分组转化求和
例2、设等差数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn.公比是正整数的等比数列{bn}的首项
为3，其前n项和为Tn.若a3＋b3＝17，T3－S3＝12，则数列的前n项和为________．
【提分秘籍】
注意熟记以下几个常用的求和公式
(1)12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)；
数列求和与递推综合归类
目录
重难点题型归纳1
【题型一】等差与等比型累加法1
【题型二】换元型累加、累积法3
【题型三】周期数列型递推4
【题型四】二阶等比数列型递推6
【题型五】分式型求递推7
第04讲数列求和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：裂项相消求和法
题型二：错位相减求和法
题型三：分组求和法
题型四：倒序相加求和法第四部分：高考真题感悟
第一部分：知识点精准记忆
1.公式法
(1)等差数列前n项和公式1
1()(1)
22n
nnaannd
Sna
;
(2)等比数列前n项和公式1
11
(1)
1
1n
nnaq
S
aq
q
q
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前
n
项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n
项和.①
21111
(1)1nnnnnn
②1111
()
()nnkknnk
③
211111
()
41(21)(21)22121nnnnn
④1111
()
(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn
⑤11
()nkn
knkn
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构
成的，那么这个数列的前n
项和即可用此法来求.q
倍错位相减法：若数列
nc
的通项公式
nnncab
，其中
na
、
nb
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已
知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，
转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q
倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成
nnncab
的形式，而数列
na
，
nb
是等差数列或等比数列或可转
化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前n
项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相
加法求数列的前n项和.
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列
na
满足
1
1na
nn
，则
na
的前2022
