数学(理)一轮复习 第八章 平面解析几何 第讲 双曲线
- 格式：docx
- 大小：426.41 KB
- 文档页数：23
学必求其心得，业必贵于专精
第6讲 双曲线
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2 M点的
轨迹为
双曲线 F1、F2为双曲线的焦点
|｜MF1｜－|MF2|｜＝2a ｜F1F2｜为双曲线的焦距 2a<|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 错误!－错误!＝1
（a＞0，b＞0) 错误!－错误!＝1
（a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴，对称中心:原点
顶点 A1(－a，0），A2（a，0) A1(0，－a），A2(0，a) 学必求其心得，业必贵于专精
渐近线 y＝±bax y＝±错误!x
离心率 e＝错误!,e∈（1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0）
1．辨明三个易误点
（1）双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，若2a＞｜F1F2|,则轨迹不存在．
（2）区分双曲线中a，b,c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2。
(3）双曲线的离心率e∈（1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
2．求双曲线标准方程的两种方法
（1）定义法
根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义，若满足,求出相应的a，b，c，即可求得方程．
（2）待定系数法
①与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0); 学必求其心得，业必贵于专精
②若渐近线方程为y＝±bax,则可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0)；
③若过两个已知点，则可设为错误!＋错误!＝1(mn＜0）．
3．双曲线几何性质的三个关注点
（1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;
(2)“四线”：两对称轴（实、虚轴）、两渐近线；
（3）“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形．
1。错误! 双曲线错误!－错误!＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ )
A．20 B．16
C．12 D．8
A 设P到另一个焦点的距离为d,
则｜d－4｜＝2×8＝16，
所以d＝20，故选A。
2．已知双曲线C：错误!－错误!＝1的离心率e＝错误!，且其右焦点为F2(5，0），则双曲线C的方程为( ）
A。错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1
C 因为e＝错误!＝错误!，F2（5，0），所以c＝5，所以a＝4,b2＝c2－a2＝9，所以双曲线C的标准方程为x216－y29＝1。 学必求其心得，业必贵于专精
3．（2017·南昌模拟)若双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为错误!,则双曲线C的离心率为( ）
A．2或3 B．错误!
C．2或错误! D．2
B 由题意知双曲线C：错误!－错误!＝1的渐近线方程为y＝±错误!x,所以错误!＝tan错误!＝错误!，所以a＝错误!b,c＝错误!＝2b,故双曲线C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.
4．(2016·高考北京卷）已知双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0,一个焦点为(错误!，0)，则a＝________；b＝________．
由题意知，渐近线方程为y＝－2x,由双曲线的标准方程以及性质可知错误!＝2，由c＝错误!，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1。
1 2
5。错误! 经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．
设双曲线的方程为：错误!－错误!＝±1（a〉0），把点A(3，－1）代入，
得a2＝8，故所求方程为错误!－错误!＝1.
错误!－错误!＝1
双曲线的定义
（1）设双曲线x2－错误!＝1的两个焦点为F1,F2,P是双曲线上的一点,且｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4,则△PF1F2的面积等于（ ） 学必求其心得，业必贵于专精
A．10错误! B．8错误!
C．8错误! D．16错误!
（2)(2017·孝感质检）△ABC的顶点A（－5,0），B(5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 （1）依题意｜F1F2|＝6，｜PF2|－｜PF1|＝2，因为｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4,所以|PF1|＝6,|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝错误!×8×错误!＝8错误!。
(2)如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E，F.
｜AG｜＝|AE|＝8，|BF｜＝｜BG｜＝2，｜CE｜＝｜CF｜，
所以｜CA|－|CB|＝8－2＝6。
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－错误!＝1（x〉3）．
【答案】 （1）C (2）x29－错误!＝1（x〉3）
若本例（1）中“|PF1｜∶｜PF2|＝3∶4"变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．
设｜PF1｜＝m，｜PF2|＝n,则错误!
解得mn＝16，所以S△PF1F2＝错误!mn＝8。
错误!
双曲线定义的应用规律
类型 解读 学必求其心得，业必贵于专精
求方程 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义,确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程
解焦点
三角形 利用双曲线上点M与两焦点的距离的差|｜MF1｜－｜MF2|｜＝2a（其中2a<｜F1F2｜)与正弦定理、余弦定理,解决焦点三角形问题
在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1．（2017·云南省第一次统一检测）设F1、F2是双曲线C:错误!－错误!＝1的两个焦点，点P在C上，且错误!·错误!＝0，若抛物线y2＝16x的准线经过双曲线C的一个焦点,则｜错误!｜·|错误!|的值等于( ）
A．2错误! B．6
C．14 D．16
C 依题意，抛物线的准线方程为x＝－4,所以设双曲线方程的焦点坐标为F1(－4，0)、F2(4，0）,点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得｜PF1｜－|PF2|＝6①，又错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!,所以在Rt△PF1F2中,|错误!|2＋｜错误!｜2＝82②，联立①②，解得｜错误!｜·|错误!|＝14.
2．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线错误!－错误!＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则错误!的值等于（ ） 学必求其心得，业必贵于专精
A.错误! B．错误!
C。54 D．错误!
A 在△ABP中,由正弦定理知错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
双曲线的标准方程
（1）（2017·东北三校联合模拟）与椭圆C：错误!＋错误!＝1共焦点且过点(1，错误!)的双曲线的标准方程为（ )
A．x2－错误!＝1 B．y2－错误!＝1
C。错误!－错误!＝1 D．错误!－x2＝1
(2)(2016·高考天津卷)已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( ）
A.错误!－y2＝1 B．x2－错误!＝1
C。错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1
【解析】 （1)椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为（0，－2），（0，2），
设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(m>0,n>0），
则错误!解得m＝n＝2.
所以双曲线的标准方程为y22－错误!＝1.
(2）由题意得c＝错误!，错误!＝错误!，
则a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为错误!－y2＝1. 学必求其心得，业必贵于专精
【答案】 (1)C （2)A
分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12,离心率为错误!；
（2）焦距为26，且经过点M（0，12）；
（3）渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点(4,错误!）．
(1）设双曲线的标准方程为
错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）．
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，
所以b＝6，c＝10,a＝8.
所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1。
（2）因为双曲线经过点M(0，12），
所以M（0，12）为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12。
又2c＝26，所以c＝13。
所以b2＝c2－a2＝25。
所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。
(3）法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 学必求其心得，业必贵于专精
因为双曲线过点（4，错误!)，
所以λ＝16－4×(错误!)2＝4，
所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1。
法二:因为渐近线y＝12x过点(4，2),而错误!〈2，
所以点（4，错误!）在渐近线y＝错误!x的下方，在y＝－错误!x的上方（如图)．
所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)．
由已知条件可得错误!
解得错误!
所以双曲线的标准方程为错误!－y2＝1。
双曲线的几何性质（高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．
高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1）求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
（2）求双曲线的渐近线方程；
（3)求双曲线的离心率(或范围）．
