初一几何线段的计算专题

专题08几何图形初步中求线段长度重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章中求线段长度这一模块全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含五类题型：简单利用线段的和差求线段长度、双中点问题中的线段长度、按比例分配的线段长度、点在直线上的分情况讨论求线段长度、用方程方法求线段长度、线段长度中的动点问题，适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：简单利用线段的和差求线段长度1．（雅礼）如图，线段AB ＝8cm ，点C 在BA 的延长线上，AC ＝2cm ，M 是BC 中点，则AM 的长是cm ．【解答】解：∵AB ＝8cm ，AC ＝2cm ，∴BC ＝AB +AC ＝8cm +2cm ＝10cm ，∵M 是BC 的中点，∴CM ＝BC ＝×10cm ＝5cm ，∴AM ＝CM ﹣AC ＝5﹣2＝3（cm ），故答案为：3．2．（北雅）已知点C ，D 在线段AB 上，且AC ＝BD ＝1.5，若AB ＝7，则CD 的长为．【解答】解：如图：∵AC ＝BD ＝1.5，AB ＝7，∴CD ＝AB ﹣AC ﹣BD ＝4，故答案为：4．3.（长梅）如图，已知M 是线段AB 的中点，N 在AB 上，25MN AM =，若2cm MN =，求AB 的长.【解答】解：∵MN ＝AM ，MN ＝2m ，∴AM ＝5cm ，∵M 是线段AB 的中点，∴AB ＝2AM ＝10cm ，即AB 的长是10cm 4．（雅礼）已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ，点E 是线段CD 的中点．（1）依题意补全图形；（2）若AB 的长为4，求BE 的长．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB ＝BC ＝4，AD ＝AB ＝2，∴CD ＝AD +AB +BC ＝10，∴DE ＝EC ＝CD ＝5，∴EB ＝EC ﹣BC ＝5﹣4＝1．题型二：双中点问题中的线段长度两中点间线段长度=“大一半+小一半”或“大一半-小一半”5．（长郡）如图，C 为线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，BD ＝4cm ，AB ＝cm ．【解答】解：∵点D 是线段BC 的中点，BD ＝4cm ，∴BC ＝2BD ＝2×4＝8（cm ），∵点C 是线段AB 的中点，∴AB ＝2BC ＝16（cm ），故答案为：16．6．（青竹湖）如图，已知点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，且AB ＝8cm ，则MN 的长度为cm ．【解答】解：∵点C 在线段AB 上，点M 、N 分别为AC 和BC 的中点，∴MC ＝AC ，NC ＝BC ，∴MN ＝MC +NC ＝（AC +CB ）＝AB ＝×8＝4（cm ），故答案为：4．7．（长郡）如图，已知线段AB ＝16cm ，M 是AB 的中点，P 是线段MB 上一点，N 为PB 的中点，NB ＝3cm ，则线段MP ＝cm ．【解答】解：∵M 是AB 的中点，AB ＝16cm ，∴AM ＝BM ＝8cm ，∵N 为PB 的中点，NB ＝3cm ，∴PB ＝2NB ＝6cm ，∴MP ＝BM ﹣PB ＝8﹣6＝2（cm ）．故答案为：2．8．（北雅）线段AB ＝1，C 1是AB 的中点，C 2是C 1B 的中点，C 3是C 2B 的中点，C 4是C 3B 的中点，依此类推……，线段AC 2022的长为．【解答】解：因为线段AB ＝1，C 1是AB 的中点，所以C 1B ＝AB ＝×1＝；因为C 2是C 1B 的中点，所以C 2B ＝C 1B ＝×＝；因为C 3是C 2B 的中点，所以C 3B ＝C 2B ＝×＝；...，所以C 2022B ＝，所以AC 2022＝AB ﹣C 2022B ＝1﹣，故答案为：1﹣．9．（一中双语）如图，已知C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，求AD 的长度．【解答】解：∵C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，∴AC ＝CB ＝AB ＝5cm ，CD ＝BC ＝2.5cm ，∴AD ＝AC +CD ＝5+2.5＝7.5cm ．10.（青竹湖）如图，已知点C 为AB 上一点，18AC =cm ，23CB AC =，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，求DE 的长.【解答】解：∵AC ＝18cm ，CB ＝AC ，∴BC ＝×18＝12cm ，则AB ＝AC +BC ＝30cm ，∵D 、E 分别为AC 、AB 的中点，∴＝AC ＝9cm ，AE ＝AB ＝15cm ，∴DE ＝AE ﹣AD ＝15﹣9＝6cm ，答：DE 的长是6cm ．11．（明德）如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的一点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB ＝m ，CE ＝n ，|m ﹣10|+|n ﹣3|＝0，求m ，n 的值；（2）在（1）的条件下，求线段DC 的长．【解答】解：（1）|m ﹣10|+（n ﹣3）2＝0，∴m ﹣10＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝10，n ＝3；（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB ＝10，∴AC ＝BC ＝AB ＝5，∵CE ＝3，∴AE ＝AC +CE ＝5+3＝8，∵点D 为线段AE 的中点，∴AD ＝AE ＝4，∴CD ＝AC ﹣AD ＝5﹣4＝1．12．（广益）如图，C 是线段AB 上一点，线段AB ＝25cm ，，D 是AC 的中点，E 是AB 的中点．（1）求线段CE 的长；（2）求线段DE的长．【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝AC，∴BC＝AB＝×25＝10（cm），∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝12.5cm，∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），∵点D、E分别是AC、AB的中点，∴AE＝AB＝＝12.5（cm），AD＝AC＝＝7.5（cm），∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．13．（雅礼）如图，已知线段AC＝12cm，点B在线段AC上，满足BC＝AB．（1）求AB的长；（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．【解答】解：（1）∵BC＝AB，AC＝12cm，∴BC＝AC＝4cm，∴AB＝AC﹣CB＝12﹣4＝8（cm）；（2）∵D是AB的中点，AB＝8cm，∴AD＝AB＝4cm，∵E是AC的中点，AC＝12cm，∴AE＝AC＝6cm，∴DE＝AE﹣AD＝6﹣4＝2（cm）．14.（青竹湖）如图，已知线段AB C、D，且AC BD=，M、N分别是线段AC、AD的中点，若cmAB a=，a b-+-=.==，且a、b满足()21060AC BD bcm(1)求AB，AC的长度；(2)求线段MN的长度.【解答】解：（1）由题意可知：（a﹣10）2+|b﹣6|＝0，∴a＝10，b＝6，∴AB＝10cm，AC＝6cm；（2）∵BD＝AC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，又∵M、N是AC、AD的中点，∴AM＝3cm，AN＝2cm．∴MN＝AM﹣AN＝1cm．AB=，点C是线段AB的中点，点D为线段CB上的一点，点E为线段DB的15.（青竹湖）如图，已知40EB=。

试卷第1页，总10页初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ． （1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点．4．已知：点C 在直线AB 上．（1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ．（1）AC= cm ；（2）当x= s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，线段AC=20cm，BC=3AB，N线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN=2：3．求线段MN的长度．8．已知m，n满足算式（m﹣6）2+|n﹣2|=0．（1）求m，n的值；（2）已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使AP=nPB，点Q为PB 的中点，求线段AQ的长．9．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N 分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．试卷第3页，总10页11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= cm ；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段 条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ． （1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长；（2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB的试卷第5页，总10页中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是 ；（2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒．（1）当t=2时，①AB= cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．30．如图，已知点C 为AB 上一点，AC=15cm ，CB=35AC ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，求DE 的长．31．已知如图：线段AB=16cm ，点C 是AB 的中点，点D 在AC 的中点，求线段BD 的长．32．已知C 为线段AB 的中点，E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长；（3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．试卷第7页，总10页34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为 ，点B 表示的数为（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．37．如图，C 是线段AB 的中点．（1）若点D 在CB 上，且DB=2cm ，AD=8cm ，求线段CD 的长度；（2）若将（1）中的“点D 在CB 上”改为“点D 在CB 的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD 的长度．38．如图，已知AB=24cm ，CD=10cm ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，求EF的长．39．如图，已知线段AB 上有两点C 、D ，且AC=BD ，M ，N 分别是线段AC ，AD 的中点，若AB=acm ，AC=BD=bcm ，且a 、b满足（a ﹣10）2+|b 2﹣4|=0．（1）求a 、b 的值；（2）求线段MN 的长度．40．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度）．慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O 为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车A 在数轴上表示的数是a ，慢车头C 在数轴上表示的数是b ，若快车AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD 以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a +6|与（b ﹣18）2互为相反数． （1）求此时刻快车头A 与慢车头C 之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A 、C 相距8个单位长度？（3）此时在快车AB 上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P ，他发现行驶中有一段时间，他的位置P 到两列火车头A 、C 的距离和加上到两列火车尾B 、D 的距离和是一个不变的值（即PA +PC +PB +PD 为定值），你认为学生P 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持续的时间；若不正确，请说明理由．41．如图，线段AB=12，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M 为AP 的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM ？（2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM ﹣BP 为定值．（3）当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA +PN 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．42．如图，已知直线l 有两条可以左右移动的线段：AB=m ，CD=n ，且m ，n满足|m ﹣4|+（n ﹣8）2=0．（1）求线段AB ，CD 的长；（2）线段AB 的中点为M ，线段CD 中点为N ，线段AB 以每秒4个单位长度试卷第9页，总10页向右运动，线段CD 以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC 的长；（3）将线段CD 固定不动，线段AB 以每秒4个单位速度向右运动，M 、N分别为AB 、CD 中点，BC=24，在线段AB 向右运动的某一个时间段t 内，始终有MN +AD 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在那一个时间段内．43．如图，点C 在线段AB 上，线段AC=8，BC=6，点M 、N 分别是AC 、BC的中点，求MN 的长度．（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC +BC=a ，其它条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？（3）若把（1）中的“点C 在线段AB 上”改为“点C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b ，你能猜想出MN 的长度吗？写出你的结论，并说明理由．44．如图，已知线段AB=6cm ，延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，若点D 是AC上一点，且AD 比DC 短4cm ，点E 是BC 的中点，求线段DE 的长．45．如图，M 是线段AB 的中点，点C 在线段AB 上，且AC=8cm ，N 是AC的中点，MN=6cm ，求线段AB 的长． 46．已知B 是线段AC 上不同于A 或C 的任意一点，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、AC 的中点，问：（1）MP=12BC 是否成立？为什么？ （2）是否还有与（1）类似的结论？47．如图，已知线段AB 的长为12，点C 在线段AB 上，AC=12BC ，D 是AC 的中点，求线段BD 的长．48．如图，C 是AB 中点，D 是BC 上一点，E 是BD 的中点，AB=20，CD=2，求EB ，CE 的长．49．已知A 、B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M 、N均为数轴上的点，且OA ＜OB ．（1）若A 、B 的位置如图所示，试化简：|a |﹣|b |+|a +b |+|a ﹣b |．（2）如图，若|a |+|b |=8.9，MN=3，求图中以A 、N 、O 、M 、B 这5个点为端点的所有线段长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且MN=2AB ﹣15，a=﹣3，若点P为数轴上一点，且PA=23AB ，试求点P 所对应的数为多少？50．如图，点P 是定长线段AB 上一定点，C 点从P 点、D 点从B 点同时出发分别以每秒a 、b 厘米的速度沿直线AB 向左运动，并满足下列条件： ①关于m 、n 的单项式2m 2n a 与﹣3m b n 的和仍为单项式．②当C 在线段AP 上，D 在线段BP 上时，C 、D 运动到任一时刻时，总有PD=2AC ．（1）直接写出：a= ，b= ．（2）判断ABAP = ，并说明理由．（3）在C 、D 运动过程中，M 、N 分别是CD 、PB 的中点，运动t 秒时，恰好t 秒时，恰好3AC=2MN ，求此时AB CD的值．1初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）答案一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．【解答】解：∵点D 是线段BC 的中点，CD=3， ∴BC=2CD=6，∵AC=12AB ，AC +AB=CB ，∴AC=2，AB=4， ∴AD=CD ﹣AC=3﹣2=1， 即线段AD 的长是1．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB ，AB=6，∴PB=13AB=13×6=2，AP=23AB=23×6=4；∵点Q 为PB 的中点，∴PQ=QB=12PB=12×2=1；∴AQ=AP +PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB ，AB=6， ∴AB=BP=6，∵点Q 为PB 的中点， ∴BQ=3，∴AQ=AB +BQ=6+3=9． 故AQ 的长度为5或9．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点． 【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN=3cm ，AN=12MN ，∴AN=1.5cm ， ∵BN=3BM ，∴BM=12MN=1.5cm ，∴AB=BM +MN +AN=6cm ；（3）∵点P 在线段MN 上，PM=PN ， ∴点P 是线段MN 的中点， ∵BM=AN=1.5cm ，PM=PN=1.5cm ， ∴BP=AP=3cm ，∴点P 是线段AB 的中点． 4．已知：点C 在直线AB 上． （1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）【解答】解：（1）若C 在A 的左边，则 BC=AB +AC=5； 若C 在A 的右边，则 BC=AC ﹣AB=1． 故BC 的长为5或1； （2）如图所示：∵点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，D 是AC 的中点，∴AD=32AB ，∴BD=12AB ，3∵线段BD 的长为1.5， ∴线段AB 的长为3．5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．【解答】解：∵AC=16cm ，AB=13BC ，∴AB=14AC=4cm ，BC=16cm ﹣4cm=12cm ，∵点C 是BD 的中点， ∴CD=BC=12cm ，∴AD=AB +BC +CD=4cm +12cm +12cm=28cm ．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ． （1）AC= 12 cm ；（2）当x= 203s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AC=AB ﹣BC=20﹣8=12（cm ），（2）20÷（2+1）=203（s ）．故当x=203s 时，P 、Q 重合；（3）存在，①C 是线段PQ 的中点，得 2x +20﹣x=2×12，解得x=4； ②P 为线段CQ 的中点，得12+20﹣x=2×2x ，解得x=325；③Q 为线段PC 的中点，得 2x +10=2×（20﹣x ），解得x=7；综上所述：x=4或x=325或x=7． 故答案为：12；203．7．如图，线段AC=20cm ，BC=3AB ，N 线段BC 的中点，M 是线段BN 上的一点，且BM ：MN=2：3．求线段MN 的长度．【解答】解：∵AC=20cm ，BC=3AB ，∴BC=34×20=15cm ，∴AB=5cm ， ∵N 为BC 的中点， ∴BN=CN=7.5cm ， ∵BM ：MN=2：3，∴MN=35×7.5=4.5cm ．8．已知m ，n 满足算式（m ﹣6）2+|n ﹣2|=0． （1）求m ，n 的值；（2）已知线段AB=m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=nPB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：（1）由条件可得（m ﹣6）2=0，|n ﹣2|=0， 所以m=6，n=2．（2）当点P 在线段AB 之间时，AP=2PB ， 所以AP=4，PB=2，而Q 为PB 的中点， 所以PQ=1，故AQ=AP +PQ=5． 当点P 在线段AB 的延长线上时， AP ﹣PB=AB ， 即2PB ﹣PB=6， 所以PB=6， 而Q 为PB 的中点，所以BQ=3，AQ=AB +BQ=6+3=9． 故线段AQ 的长为5或9．9．如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．5（1）求线段MN 的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC +BC=a ，其他条件不变，求MN 的长度；（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解答】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM +CN=8厘米；（2）∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12a ；（3）①当0＜t ≤5时，C 是线段PQ 的中点，得 10﹣2t=6﹣t ，解得t=4；②当5＜t ≤163时，P 为线段CQ 的中点，2t ﹣10=16﹣3t ，解得t=265；③当163＜t ≤6时，Q 为线段PC 的中点，6﹣t=3t ﹣16，解得t=112；④当6＜t ≤8时，C 为线段PQ 的中点，2t ﹣10=t ﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或265或112．10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C 在线段AB 上，且AC ：CB=2：1，则点C 是线段AB 的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，DE=15cm ，点P 是DE 的三等分点，求DP 的长． （2）已知，线段AB=15cm ，如图3，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度在射线AB 上向点B 方向运动；点Q 从点B 出发，先向点A 方向运动，当与点P 重合后立马改变方向与点P 同向而行且速度始终为每秒2cm ，设运动时间为t 秒．①若点P 点Q 同时出发，且当点P 与点Q 重合时，求t 的值．②若点P 点Q 同时出发，且当点P 是线段AQ 的三等分点时，求t 的值．【解答】解：（1）当DP=2PE 时，DP=23DE=10cm ；当2DP=PE 时，DP=13DE=5cm ．综上所述：DP 的长为5cm 或10cm ． （2）①根据题意得：（1+2）t=15， 解得：t=5．答：当t=5秒时，点P 与点Q 重合． ②（I ）点P 、Q 重合前： 当2AP=PQ 时，有t +2t +2t=15， 解得：t=3；当AP=2PQ 时，有t +12t +2t=15，解得：t=307；（II ）点P 、Q 重合后，当AP=2PQ 时，有t=2（t ﹣5）， 解得：t=10；当2AP=PQ 时，有2t=（t ﹣5）， 解得：t=﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t=3秒、307秒或10秒时，点P 是线段AQ 的三等分点．11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、7BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；【解答】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，CB=6cm ，∴CM=12AC=4cm ，CN=12BC=3cm ，∴MN=CM +CN=4+3=7cm ， 即线段MN 的长是7cm ；（2）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC +CB=acm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12acm ，即线段MN 的长是12acm ；（3）如图：MN=12b ，理由是：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC ﹣CB=bcm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM ﹣CN=12AC ﹣12BC=12（AC ﹣BC ）=12bcm ，即线段MN 的长是12bcm ．12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= 4或6或8 cm ； 【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由【解答】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是；（2）∵AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，∴AC=12×13=4cm 或AC=12×12=6cm 或AC=12×23=8cm ；故答案为：4或6或8；（3）t 秒后，AP=2t ，AQ=12﹣t （0≤t ≤6）①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除． ②当P 为A 、Q 的巧点时，Ⅰ．AP=13AQ ，即2t =13(12−t)，解得t =127s ；Ⅱ．AP=12AQ ，即2t =12(12−t)，解得t =125s ；Ⅲ．AP=23AQ ，即2t =23(12−t)，解得t=3s ；③当Q 为A 、P 的巧点时，Ⅰ．AQ=13AP ，即(12−t)=2t ×13，解得t =365s （舍去）；Ⅱ．AQ=12AP ，即(12−t)=2t ×12，解得t=6s ；Ⅲ．AQ=23AP ，即(12−t)=2t ×23，解得t =367s ．13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．【解答】解：∵点C 是线段AB 的中点，AC=6， ∴AB=2AC=12，①如图，若点D 在线段AC 上，∵AD=12BD ，∴AD=13AB=4，9∴CD=AC ﹣AD=6﹣4=2．②如图，若点D 在线段AC 的反向延长线上，∵AD=12BD ，∴AD=AB=12，∴CD=AC +AD=6+12=18．综上所述，CD 的长为2或18．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD 的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长【解答】解：设AB=3xcm ，BC=5xcm ，CD=4xcm ， ∴AD=AB +BC +CD=12xcm ， ∵M 是AD 的中点，∴AM=MD=12AD=6xcm ，∴BM=AM ﹣AB=6x ﹣3x=3xcm ， ∵BM=9 cm ， ∴3x=9， 解得，x=3，∴CM=MD ﹣CD=6x ﹣4x=2x=2×3=6（cm ）， AD=12x=12×3=36（cm ）．15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长． 【解答】解：分两种情况：①如图1，当点C 在线段 AB 上时，AC=AB ﹣BC=10﹣4=6cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=3cm ．②如图2，当点C 在线段 AB 的延长线上时，AC=AB +BC=10+4=14cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=7cm ．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．【解答】解：设BC=x ，则AB=4x ， ∵D 为AC 中点， ∴AD=CD=2.5x ， ∵BD=CD ﹣BC=6cm ， ∴2.5x ﹣x=6， 解得x=4， ∴AB=16cm ．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段 10 条； （2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来． 【解答】解：（1）图中共有线段1+2+3+4=10条； 故答案为：10；（2）∵AB=6，点M 是线段AB 的中点，∴BM=12AB=3，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣3=4，∴BN=BC ﹣NC=4﹣3.5=0.5；（3）∵AB=a ，点M 是线段AB 的中点，11∴BM=12AB=12a ，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣12a ，∴BN=BC ﹣NC=7﹣12a ﹣3.5=3.5﹣12a ．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ．（1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长； （2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．【解答】解：（1）∵AB=x ，BC=12AB ，∴BC=12x ，∵AC=AB +BC ，∴AC=x +12x=32x ．（2）∵AD=DC=12AC ，AC=32x ，∴DC=34x ，∵DB=3，BC=12x ，∵DB=DC ﹣BC ，∴3=34x ﹣12x ，∴x=12．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．【解答】解：设EA=xcm ，则AB=2xcm ，BF=3xcm ，EF=6xcm ． ∵点M ，N 分别是线段EA ，BF 的中点，∴EM=MA=12xcm ，BN=NF=32xcm ．∵AB=2xcm ，∴MN=MA +AB +BN=4xcm ． ∵EF=18cm ，∴6x=18， 解得：x=3， ∴MN=4x=12cm ．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．【解答】解：设BD=x ，则AB=3x ，CD=4x ． ∵点E 、点F 分别为AB 、CD 的中点，∴AE=12AB=1.5x ，CF=12CD=2x ，AC=AB +CD ﹣BD=3x +4x ﹣x=6x ．∴EF=AC ﹣AE ﹣CF=6x ﹣1.5x ﹣2x=2.5x ． ∵EF=20， ∴2.5x=20， 解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值． （2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，13∴CD=DE ﹣CE=6﹣4.5=1.5．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB 的中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是 6cm ； （2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∴MN=MC +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12AB=6cm ．故答案为6cm ；（2）∵AC=3cm ，CP=1cm ， ∴AP=AC +CP=4cm ， ∵P 是线段AB 的中点， ∴AB=2AP=8cm ． ∴CB=AB ﹣AC=5cm ，∵N 是线段CB 的中点，CN=12CB=2.5cm ，∴PN=CN ﹣CP=1.5cm ．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒． （1）当t=2时，①AB= 4 cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）①∵B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动， ∴当t=2时，AB=2×2=4cm ． 故答案为：4；②∵AD=10cm ，AB=4cm ， ∴BD=10﹣4=6cm ， ∵C 是线段BD 的中点，∴CD=12BD=12×6=3cm ；（2）不变；∵AB 中点为E ，C 是线段BD 的中点，∴EB=12AB ，BC=12BD ，∴EC=EB +BC=12（AB +BD ）=12AD=12×10=5cm ． 24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12AB=7cm ；（2）MN=a2，∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，又∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12（AC +BC ）=a2；15（3）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，又∵AB=AC ﹣BC ，NM=MC ﹣NC ，∴MN=12（AC ﹣BC ）=b2；（4）如图，只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．那么MN 就等于AB 的一半．25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．【解答】解：（1）∵AC=6cm ，M 是AC 的中点，∴AM=MC=12AC=3cm ，∵MB=10cm ， ∴BC=MB ﹣MC=7cm ， ∵N 为BC 的中点，∴CN=12BC=3.5cm ，∴MN=MC +CN=6.5cm ；（2）如图，∵M 是AC 中点，N 是BC 中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，∵AC ﹣BC=bcm ， ∴MN=MC ﹣NC=12AC ﹣12BC =12（AC ﹣BC ）=12×6 =3（cm ）．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．【解答】解：（1）①当点C 在线段AB 上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB ﹣BC=8﹣4=4cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=2cm ．②当点C 在线段AB 的延长线上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB +BC=8+4=12cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=6cm ．（2）∵BE=15AC=2cm ，∴AC=10cm ， ∵E 是BC 中点， ∴BC=2BE=4cm ，∴AB=AC ﹣BC=10﹣4=6cm ，∵AD=12BD ，AD +BD=AB ，∴12BD +BD=AB=6cm ，17∴BD=4cm ，∴DE=BD +BE=4+2=6cm ．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．【解答】解：∵D 为AC 的中点，DC=3cm ， ∴AC=2DC=6cm ，∵BC=12AB ，∴BC=13AC=2cm ，∴BD=CD ﹣BC=1cm ．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．【解答】解：（1）∵AB=5cm ，BC=3cm ， ∴AC=AB +BC=8cm ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=4cm ，NC=12BC=1.5cm ，∴MN=MC ﹣NC=4cm ﹣1.5cm=2.5cm ；（2）∵AB=a ，BC=b ， ∴AC=AB +BC=a +b ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=12（a +b ），NC=12BC=12b ，∴MN=MC ﹣NC=12（a +b ）﹣12b=12a ；规律是：MN=12AB ．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．【解答】解：∵E是AB中点，∴AE=EB，设AE=x，则AB=2x，又∵DA=AB，∴DA=2x，∵BC=2AB，∴BC=4x，∵DE=7.5cm，∴3x=7.5，解得：x=2.5，∴DC=DA+AB+BC=2x+2x+4x=8x=8×2.5=20（cm）．30．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=35AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．【解答】解：∵AC=15cm，CB=35 AC，∴CB=35×15=9cm，∴AB=15+9=24cm．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE=BE=12AB=12cm，DC=AD=12AC=7.5cm，∴DE=AE﹣AD=12﹣7.5=4.5cm．31．已知如图：线段AB=16cm，点C是AB的中点，点D在AC的中点，求线段BD的长．【解答】解：∵AB=16cm，点C是AB的中点，∴AC=BC=16÷2=8（cm）；∵点D在AC的中点，∴CD=8÷2=4（cm），∴BD=BC+CD=8+4=12（cm）．32．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．19（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长； （3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长． 【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，（3）设EB=x ，则AD=2BE=2x ， ∵点D 为线段AE 的中点， ∴AD=DE=2x ， ∵AB=15， ∴AD +DE +BE=15， ∴x +2x +2x=15，解方程得：x=3，即BE=3， ∵AB=15，C 为AB 中点，∴BC=12AB=7.5，∴CE=BC ﹣BE=7.5﹣3=4.5．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．【解答】解：（1）∵A ，B 两点所表示的数分别为﹣2和8， ∴OA=2，OB=8， ∴AB=OA +OB=10．（2）如图，线段MN 的长度不发生变化，其值为5．理由如下： ∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴NP=12BP ，MP=12AP ，∴MN =NP −MP =12BP −12AP =12AB=5．34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为 ﹣8 ，点B 表示的数为 4（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q 从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．【解答】解：（1）∵在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0， ∴a +8=0，b ﹣4=0， 解得：a=﹣8，b=4，则点A 表示的数为：﹣8，点B 表示的数为：4；（2）设x 秒时两点相遇， 则3x +x=4﹣（﹣8），21解得：x=3，即3秒时，两点相遇，此时点C 所表示的数为：﹣8+3×3=1；（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时，3x +x=10，解得：x=52， 此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×52=1.5； 当两点相遇后的距离为2个单位长度时，3x +x=14，解得：x=72， 此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×72=0.5； 综上所述：点Q 表示的数为：1.5或0.5．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．【解答】解：∵AB=16cm ，AM ：BM=1：3，∴AM=4cm ．BM=12cm ，∵P ，Q 分别为AM ，AB 的中点，∴AP=12AM=2cm ，AQ=12AB=8cm ， ∴PQ=AQ ﹣AP=6cm ．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．【解答】解：因为BC=2AB ，且AB=60cm ，所以BC=120cm ．所以AC=AB +BC=120+60=180cm ．因为D 为AC 中点，所以 AD=12AC=90cm ．。

试卷第1页，总10页初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ． （1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点．4．已知：点C 在直线AB 上．（1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ．（1）AC= cm ；（2）当x= s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，线段AC=20cm，BC=3AB，N线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN=2：3．求线段MN的长度．8．已知m，n满足算式（m﹣6）2+|n﹣2|=0．（1）求m，n的值；（2）已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使AP=nPB，点Q为PB 的中点，求线段AQ的长．9．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N 分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．试卷第3页，总10页11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= cm ；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段 条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ． （1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长；（2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB的试卷第5页，总10页中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是 ；（2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒．（1）当t=2时，①AB= cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．30．如图，已知点C 为AB 上一点，AC=15cm ，CB=35AC ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，求DE 的长．31．已知如图：线段AB=16cm ，点C 是AB 的中点，点D 在AC 的中点，求线段BD 的长．32．已知C 为线段AB 的中点，E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长；（3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．试卷第7页，总10页34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为 ，点B 表示的数为（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．37．如图，C 是线段AB 的中点．（1）若点D 在CB 上，且DB=2cm ，AD=8cm ，求线段CD 的长度；（2）若将（1）中的“点D 在CB 上”改为“点D 在CB 的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD 的长度．38．如图，已知AB=24cm ，CD=10cm ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，求EF的长．39．如图，已知线段AB 上有两点C 、D ，且AC=BD ，M ，N 分别是线段AC ，AD 的中点，若AB=acm ，AC=BD=bcm ，且a 、b满足（a ﹣10）2+|b 2﹣4|=0．（1）求a 、b 的值；（2）求线段MN 的长度．40．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度）．慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O 为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车A 在数轴上表示的数是a ，慢车头C 在数轴上表示的数是b ，若快车AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD 以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a +6|与（b ﹣18）2互为相反数． （1）求此时刻快车头A 与慢车头C 之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A 、C 相距8个单位长度？（3）此时在快车AB 上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P ，他发现行驶中有一段时间，他的位置P 到两列火车头A 、C 的距离和加上到两列火车尾B 、D 的距离和是一个不变的值（即PA +PC +PB +PD 为定值），你认为学生P 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持续的时间；若不正确，请说明理由．41．如图，线段AB=12，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M 为AP 的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM ？（2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM ﹣BP 为定值．（3）当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA +PN 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．42．如图，已知直线l 有两条可以左右移动的线段：AB=m ，CD=n ，且m ，n满足|m ﹣4|+（n ﹣8）2=0．（1）求线段AB ，CD 的长；（2）线段AB 的中点为M ，线段CD 中点为N ，线段AB 以每秒4个单位长度试卷第9页，总10页向右运动，线段CD 以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC 的长；（3）将线段CD 固定不动，线段AB 以每秒4个单位速度向右运动，M 、N分别为AB 、CD 中点，BC=24，在线段AB 向右运动的某一个时间段t 内，始终有MN +AD 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在那一个时间段内．43．如图，点C 在线段AB 上，线段AC=8，BC=6，点M 、N 分别是AC 、BC的中点，求MN 的长度．（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC +BC=a ，其它条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？（3）若把（1）中的“点C 在线段AB 上”改为“点C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b ，你能猜想出MN 的长度吗？写出你的结论，并说明理由．44．如图，已知线段AB=6cm ，延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，若点D 是AC上一点，且AD 比DC 短4cm ，点E 是BC 的中点，求线段DE 的长．45．如图，M 是线段AB 的中点，点C 在线段AB 上，且AC=8cm ，N 是AC的中点，MN=6cm ，求线段AB 的长． 46．已知B 是线段AC 上不同于A 或C 的任意一点，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、AC 的中点，问：（1）MP=12BC 是否成立？为什么？ （2）是否还有与（1）类似的结论？47．如图，已知线段AB 的长为12，点C 在线段AB 上，AC=12BC ，D 是AC 的中点，求线段BD 的长．48．如图，C 是AB 中点，D 是BC 上一点，E 是BD 的中点，AB=20，CD=2，求EB ，CE 的长．49．已知A 、B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M 、N均为数轴上的点，且OA ＜OB ．（1）若A 、B 的位置如图所示，试化简：|a |﹣|b |+|a +b |+|a ﹣b |．（2）如图，若|a |+|b |=8.9，MN=3，求图中以A 、N 、O 、M 、B 这5个点为端点的所有线段长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且MN=2AB ﹣15，a=﹣3，若点P为数轴上一点，且PA=23AB ，试求点P 所对应的数为多少？50．如图，点P 是定长线段AB 上一定点，C 点从P 点、D 点从B 点同时出发分别以每秒a 、b 厘米的速度沿直线AB 向左运动，并满足下列条件： ①关于m 、n 的单项式2m 2n a 与﹣3m b n 的和仍为单项式．②当C 在线段AP 上，D 在线段BP 上时，C 、D 运动到任一时刻时，总有PD=2AC ．（1）直接写出：a= ，b= ．（2）判断ABAP = ，并说明理由．（3）在C 、D 运动过程中，M 、N 分别是CD 、PB 的中点，运动t 秒时，恰好t 秒时，恰好3AC=2MN ，求此时AB CD的值．1初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）答案一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．【解答】解：∵点D 是线段BC 的中点，CD=3， ∴BC=2CD=6，∵AC=12AB ，AC +AB=CB ，∴AC=2，AB=4， ∴AD=CD ﹣AC=3﹣2=1， 即线段AD 的长是1．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB ，AB=6，∴PB=13AB=13×6=2，AP=23AB=23×6=4；∵点Q 为PB 的中点，∴PQ=QB=12PB=12×2=1；∴AQ=AP +PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB ，AB=6， ∴AB=BP=6，∵点Q 为PB 的中点， ∴BQ=3，∴AQ=AB +BQ=6+3=9． 故AQ 的长度为5或9．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点． 【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN=3cm ，AN=12MN ，∴AN=1.5cm ， ∵BN=3BM ，∴BM=12MN=1.5cm ，∴AB=BM +MN +AN=6cm ；（3）∵点P 在线段MN 上，PM=PN ， ∴点P 是线段MN 的中点， ∵BM=AN=1.5cm ，PM=PN=1.5cm ， ∴BP=AP=3cm ，∴点P 是线段AB 的中点． 4．已知：点C 在直线AB 上． （1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）【解答】解：（1）若C 在A 的左边，则 BC=AB +AC=5； 若C 在A 的右边，则 BC=AC ﹣AB=1． 故BC 的长为5或1； （2）如图所示：∵点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，D 是AC 的中点，∴AD=32AB ，∴BD=12AB ，3∵线段BD 的长为1.5， ∴线段AB 的长为3．5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．【解答】解：∵AC=16cm ，AB=13BC ，∴AB=14AC=4cm ，BC=16cm ﹣4cm=12cm ，∵点C 是BD 的中点， ∴CD=BC=12cm ，∴AD=AB +BC +CD=4cm +12cm +12cm=28cm ．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ． （1）AC= 12 cm ；（2）当x= 203s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AC=AB ﹣BC=20﹣8=12（cm ），（2）20÷（2+1）=203（s ）．故当x=203s 时，P 、Q 重合；（3）存在，①C 是线段PQ 的中点，得 2x +20﹣x=2×12，解得x=4； ②P 为线段CQ 的中点，得12+20﹣x=2×2x ，解得x=325；③Q 为线段PC 的中点，得 2x +10=2×（20﹣x ），解得x=7；综上所述：x=4或x=325或x=7． 故答案为：12；203．7．如图，线段AC=20cm ，BC=3AB ，N 线段BC 的中点，M 是线段BN 上的一点，且BM ：MN=2：3．求线段MN 的长度．【解答】解：∵AC=20cm ，BC=3AB ，∴BC=34×20=15cm ，∴AB=5cm ， ∵N 为BC 的中点， ∴BN=CN=7.5cm ， ∵BM ：MN=2：3，∴MN=35×7.5=4.5cm ．8．已知m ，n 满足算式（m ﹣6）2+|n ﹣2|=0． （1）求m ，n 的值；（2）已知线段AB=m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=nPB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：（1）由条件可得（m ﹣6）2=0，|n ﹣2|=0， 所以m=6，n=2．（2）当点P 在线段AB 之间时，AP=2PB ， 所以AP=4，PB=2，而Q 为PB 的中点， 所以PQ=1，故AQ=AP +PQ=5． 当点P 在线段AB 的延长线上时， AP ﹣PB=AB ， 即2PB ﹣PB=6， 所以PB=6， 而Q 为PB 的中点，所以BQ=3，AQ=AB +BQ=6+3=9． 故线段AQ 的长为5或9．9．如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．5（1）求线段MN 的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC +BC=a ，其他条件不变，求MN 的长度；（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解答】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM +CN=8厘米；（2）∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12a ；（3）①当0＜t ≤5时，C 是线段PQ 的中点，得 10﹣2t=6﹣t ，解得t=4；②当5＜t ≤163时，P 为线段CQ 的中点，2t ﹣10=16﹣3t ，解得t=265；③当163＜t ≤6时，Q 为线段PC 的中点，6﹣t=3t ﹣16，解得t=112；④当6＜t ≤8时，C 为线段PQ 的中点，2t ﹣10=t ﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或265或112．10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C 在线段AB 上，且AC ：CB=2：1，则点C 是线段AB 的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，DE=15cm ，点P 是DE 的三等分点，求DP 的长． （2）已知，线段AB=15cm ，如图3，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度在射线AB 上向点B 方向运动；点Q 从点B 出发，先向点A 方向运动，当与点P 重合后立马改变方向与点P 同向而行且速度始终为每秒2cm ，设运动时间为t 秒．①若点P 点Q 同时出发，且当点P 与点Q 重合时，求t 的值．②若点P 点Q 同时出发，且当点P 是线段AQ 的三等分点时，求t 的值．【解答】解：（1）当DP=2PE 时，DP=23DE=10cm ；当2DP=PE 时，DP=13DE=5cm ．综上所述：DP 的长为5cm 或10cm ． （2）①根据题意得：（1+2）t=15， 解得：t=5．答：当t=5秒时，点P 与点Q 重合． ②（I ）点P 、Q 重合前： 当2AP=PQ 时，有t +2t +2t=15， 解得：t=3；当AP=2PQ 时，有t +12t +2t=15，解得：t=307；（II ）点P 、Q 重合后，当AP=2PQ 时，有t=2（t ﹣5）， 解得：t=10；当2AP=PQ 时，有2t=（t ﹣5）， 解得：t=﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t=3秒、307秒或10秒时，点P 是线段AQ 的三等分点．11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、7BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；【解答】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，CB=6cm ，∴CM=12AC=4cm ，CN=12BC=3cm ，∴MN=CM +CN=4+3=7cm ， 即线段MN 的长是7cm ；（2）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC +CB=acm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12acm ，即线段MN 的长是12acm ；（3）如图：MN=12b ，理由是：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC ﹣CB=bcm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM ﹣CN=12AC ﹣12BC=12（AC ﹣BC ）=12bcm ，即线段MN 的长是12bcm ．12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= 4或6或8 cm ； 【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由【解答】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是；（2）∵AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，∴AC=12×13=4cm 或AC=12×12=6cm 或AC=12×23=8cm ；故答案为：4或6或8；（3）t 秒后，AP=2t ，AQ=12﹣t （0≤t ≤6）①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除． ②当P 为A 、Q 的巧点时，Ⅰ．AP=13AQ ，即2t =13(12−t)，解得t =127s ；Ⅱ．AP=12AQ ，即2t =12(12−t)，解得t =125s ；Ⅲ．AP=23AQ ，即2t =23(12−t)，解得t=3s ；③当Q 为A 、P 的巧点时，Ⅰ．AQ=13AP ，即(12−t)=2t ×13，解得t =365s （舍去）；Ⅱ．AQ=12AP ，即(12−t)=2t ×12，解得t=6s ；Ⅲ．AQ=23AP ，即(12−t)=2t ×23，解得t =367s ．13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．【解答】解：∵点C 是线段AB 的中点，AC=6， ∴AB=2AC=12，①如图，若点D 在线段AC 上，∵AD=12BD ，∴AD=13AB=4，9∴CD=AC ﹣AD=6﹣4=2．②如图，若点D 在线段AC 的反向延长线上，∵AD=12BD ，∴AD=AB=12，∴CD=AC +AD=6+12=18．综上所述，CD 的长为2或18．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD 的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长【解答】解：设AB=3xcm ，BC=5xcm ，CD=4xcm ， ∴AD=AB +BC +CD=12xcm ， ∵M 是AD 的中点，∴AM=MD=12AD=6xcm ，∴BM=AM ﹣AB=6x ﹣3x=3xcm ， ∵BM=9 cm ， ∴3x=9， 解得，x=3，∴CM=MD ﹣CD=6x ﹣4x=2x=2×3=6（cm ）， AD=12x=12×3=36（cm ）．15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长． 【解答】解：分两种情况：①如图1，当点C 在线段 AB 上时，AC=AB ﹣BC=10﹣4=6cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=3cm ．②如图2，当点C 在线段 AB 的延长线上时，AC=AB +BC=10+4=14cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=7cm ．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．【解答】解：设BC=x ，则AB=4x ， ∵D 为AC 中点， ∴AD=CD=2.5x ， ∵BD=CD ﹣BC=6cm ， ∴2.5x ﹣x=6， 解得x=4， ∴AB=16cm ．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段 10 条； （2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来． 【解答】解：（1）图中共有线段1+2+3+4=10条； 故答案为：10；（2）∵AB=6，点M 是线段AB 的中点，∴BM=12AB=3，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣3=4，∴BN=BC ﹣NC=4﹣3.5=0.5；（3）∵AB=a ，点M 是线段AB 的中点，11∴BM=12AB=12a ，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣12a ，∴BN=BC ﹣NC=7﹣12a ﹣3.5=3.5﹣12a ．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ．（1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长； （2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．【解答】解：（1）∵AB=x ，BC=12AB ，∴BC=12x ，∵AC=AB +BC ，∴AC=x +12x=32x ．（2）∵AD=DC=12AC ，AC=32x ，∴DC=34x ，∵DB=3，BC=12x ，∵DB=DC ﹣BC ，∴3=34x ﹣12x ，∴x=12．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．【解答】解：设EA=xcm ，则AB=2xcm ，BF=3xcm ，EF=6xcm ． ∵点M ，N 分别是线段EA ，BF 的中点，∴EM=MA=12xcm ，BN=NF=32xcm ．∵AB=2xcm ，∴MN=MA +AB +BN=4xcm ． ∵EF=18cm ，∴6x=18， 解得：x=3， ∴MN=4x=12cm ．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．【解答】解：设BD=x ，则AB=3x ，CD=4x ． ∵点E 、点F 分别为AB 、CD 的中点，∴AE=12AB=1.5x ，CF=12CD=2x ，AC=AB +CD ﹣BD=3x +4x ﹣x=6x ．∴EF=AC ﹣AE ﹣CF=6x ﹣1.5x ﹣2x=2.5x ． ∵EF=20， ∴2.5x=20， 解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值． （2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，13∴CD=DE ﹣CE=6﹣4.5=1.5．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB 的中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是 6cm ； （2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∴MN=MC +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12AB=6cm ．故答案为6cm ；（2）∵AC=3cm ，CP=1cm ， ∴AP=AC +CP=4cm ， ∵P 是线段AB 的中点， ∴AB=2AP=8cm ． ∴CB=AB ﹣AC=5cm ，∵N 是线段CB 的中点，CN=12CB=2.5cm ，∴PN=CN ﹣CP=1.5cm ．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒． （1）当t=2时，①AB= 4 cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）①∵B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动， ∴当t=2时，AB=2×2=4cm ． 故答案为：4；②∵AD=10cm ，AB=4cm ， ∴BD=10﹣4=6cm ， ∵C 是线段BD 的中点，∴CD=12BD=12×6=3cm ；（2）不变；∵AB 中点为E ，C 是线段BD 的中点，∴EB=12AB ，BC=12BD ，∴EC=EB +BC=12（AB +BD ）=12AD=12×10=5cm ． 24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12AB=7cm ；（2）MN=a2，∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，又∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12（AC +BC ）=a2；15（3）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，又∵AB=AC ﹣BC ，NM=MC ﹣NC ，∴MN=12（AC ﹣BC ）=b2；（4）如图，只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．那么MN 就等于AB 的一半．25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．【解答】解：（1）∵AC=6cm ，M 是AC 的中点，∴AM=MC=12AC=3cm ，∵MB=10cm ， ∴BC=MB ﹣MC=7cm ， ∵N 为BC 的中点，∴CN=12BC=3.5cm ，∴MN=MC +CN=6.5cm ；（2）如图，∵M 是AC 中点，N 是BC 中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，∵AC ﹣BC=bcm ， ∴MN=MC ﹣NC=12AC ﹣12BC =12（AC ﹣BC ）=12×6 =3（cm ）．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．【解答】解：（1）①当点C 在线段AB 上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB ﹣BC=8﹣4=4cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=2cm ．②当点C 在线段AB 的延长线上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB +BC=8+4=12cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=6cm ．（2）∵BE=15AC=2cm ，∴AC=10cm ， ∵E 是BC 中点， ∴BC=2BE=4cm ，∴AB=AC ﹣BC=10﹣4=6cm ，∵AD=12BD ，AD +BD=AB ，∴12BD +BD=AB=6cm ，17∴BD=4cm ，∴DE=BD +BE=4+2=6cm ．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．【解答】解：∵D 为AC 的中点，DC=3cm ， ∴AC=2DC=6cm ，∵BC=12AB ，∴BC=13AC=2cm ，∴BD=CD ﹣BC=1cm ．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．【解答】解：（1）∵AB=5cm ，BC=3cm ， ∴AC=AB +BC=8cm ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=4cm ，NC=12BC=1.5cm ，∴MN=MC ﹣NC=4cm ﹣1.5cm=2.5cm ；（2）∵AB=a ，BC=b ， ∴AC=AB +BC=a +b ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=12（a +b ），NC=12BC=12b ，∴MN=MC ﹣NC=12（a +b ）﹣12b=12a ；规律是：MN=12AB ．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．【解答】解：∵E是AB中点，∴AE=EB，设AE=x，则AB=2x，又∵DA=AB，∴DA=2x，∵BC=2AB，∴BC=4x，∵DE=7.5cm，∴3x=7.5，解得：x=2.5，∴DC=DA+AB+BC=2x+2x+4x=8x=8×2.5=20（cm）．30．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=35AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．【解答】解：∵AC=15cm，CB=35 AC，∴CB=35×15=9cm，∴AB=15+9=24cm．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE=BE=12AB=12cm，DC=AD=12AC=7.5cm，∴DE=AE﹣AD=12﹣7.5=4.5cm．31．已知如图：线段AB=16cm，点C是AB的中点，点D在AC的中点，求线段BD的长．【解答】解：∵AB=16cm，点C是AB的中点，∴AC=BC=16÷2=8（cm）；∵点D在AC的中点，∴CD=8÷2=4（cm），∴BD=BC+CD=8+4=12（cm）．32．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．19（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长； （3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长． 【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，（3）设EB=x ，则AD=2BE=2x ， ∵点D 为线段AE 的中点， ∴AD=DE=2x ， ∵AB=15， ∴AD +DE +BE=15， ∴x +2x +2x=15，解方程得：x=3，即BE=3， ∵AB=15，C 为AB 中点，∴BC=12AB=7.5，∴CE=BC ﹣BE=7.5﹣3=4.5．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．【解答】解：（1）∵A ，B 两点所表示的数分别为﹣2和8， ∴OA=2，OB=8， ∴AB=OA +OB=10．（2）如图，线段MN 的长度不发生变化，其值为5．理由如下： ∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴NP=12BP ，MP=12AP ，∴MN =NP −MP =12BP −12AP =12AB=5．34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为 ﹣8 ，点B 表示的数为 4（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q 从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．【解答】解：（1）∵在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0， ∴a +8=0，b ﹣4=0， 解得：a=﹣8，b=4，则点A 表示的数为：﹣8，点B 表示的数为：4；（2）设x 秒时两点相遇， 则3x +x=4﹣（﹣8），21解得：x=3，即3秒时，两点相遇，此时点C 所表示的数为：﹣8+3×3=1；（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时， 3x +x=10，解得：x=52，此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×52=1.5；当两点相遇后的距离为2个单位长度时， 3x +x=14，解得：x=72，此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×72=0.5；综上所述：点Q 表示的数为：1.5或0.5．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．【解答】解：∵AB=16cm ，AM ：BM=1：3， ∴AM=4cm ．BM=12cm ，∵P ，Q 分别为AM ，AB 的中点，∴AP=12AM=2cm ，AQ=12AB=8cm ，∴PQ=AQ ﹣AP=6cm ．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．【解答】解：因为BC=2AB ，且AB=60cm ， 所以BC=120cm ．所以AC=AB +BC=120+60=180cm ． 因为D 为AC 中点，所以 AD=12AC=90cm ．。

线段与角的计算及解题方法七年级期末复习专题训练系列3:一、求线段长度的几种常用方法：1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。

图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。

解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2.利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。

图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。

解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。

3.根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例3. 如图，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB 的多少倍？的中点，ADC为的一个方程，又、分析：题中已给出线段BCAB、AD即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。

解：因为C为AD的中点，所以1，即因为又3AB＝、<2>BC可得：即由<1>的中点，、DE、EB分别是P、Q、NAC、CD四部分，分成，. 如图4C、D、E将线段AB2：3：4：5M、4例 21，求PQ的长。

且MN＝的代数式表示。

观察AB上每一条短线段都可以用x分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则 PQ。

新人教版七年级数学上册专题训练：线段的计算(含答案)一、选择题1. 已知线段AB的长度为5cm，线段BC的长度为9cm，求线段AC的长度是多少？A) 4cmB) 6cmC) 10cmD) 14cm答案: B) 6cm2. 已知线段DE的长度为7cm，线段EF的长度为3cm，求线段DF的长度是多少？A) 4cmB) 7cmC) 10cmD) 14cm答案: A) 4cm3. 正方形ABCD的一条边长为10cm，求它的对角线的长度是多少？A) 5cmB) 10cmC) 14cmD) 20cm答案: C) 14cm二、填空题1. 直线段AB的长度为15cm，点P在AB上，且AP与PB的比例为2:3，则AP的长度为__ cm。

答案: 6 cm2. 直线段CD的长度为12cm，点P在CD上，且CP与PD的比例为1:4，则PD的长度为__ cm。

答案: 9 cm三、解答题1. 三角形ABC中，线段AB的长度为8cm，线段AC的长度为10cm，求线段BC的长度。

答案: 使用勾股定理计算，BC = √(AB² + AC²) = √(8² + 10²) = √(64 + 100) = √(164) ≈ 12.81cm2. 线段EF的长度为15cm，点P在EF上，且PE与PF的比例为3:4，求PE和PF的长度。

答案: 根据比例关系，PE = (3/7) * EF = (3/7) * 15 = 6.43cm，PF = (4/7) * EF = (4/7) * 15 = 8.57cm以上为新人教版七年级数学上册专题训练中关于线段的计算的题目及答案。

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2013-2014年七年级数学上册压轴题1. （10分）如图, C为线段AB延长线上一点, D为线段BC上一点, CD=2BD, E为线段AC 上一点, CE=2AE（1）若AB=18, BC=21, 求DE的长；（2）若AB=a, 求DE的长；（用含a的代数式表示）（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍, 则的值为．考点：两点间的距离. 菁优网版权所有分析：（1）利用CD=2BD, CE=2AE, 得出AE= AC= （AB+BC）, 进一步利用BE=AB﹣AE, DE=BE+BD得出结论即可；（2）利用（1）的计算过程即可推出；（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条, 求出所有线段的和用AC表示即可．（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可.（3）图中所有线段有AE、AB.AD、AC、EB.ED、EC、BD、BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC.EB、ED、EC.BD、BC.DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．（3）图中所有线段有AE、AB、AD.AC、EB、ED.EC、BD.BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．解答：解: （1）∵CD=2BD, BC=21,∴BD= BC=7,∵CE=2AE, AB=18,∴AE= AC= （AB+BC）= ×（18+21）=13,∴BE=AB﹣AE=18﹣13,∴DE=BE+BD=5+7=12；（2）∵CD=2BD,∴BD= BC,∵CE=2AE, AB=a,∴AE= AC,∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC,∴DE=BE+BD=AB﹣AC+ BC=AB﹣（AC﹣BC）=AB﹣AB= AB,∵AB=a,∴DE=a；（3）设CD=2BD=2x, CE=2AE=2y,则BD=x, AE=y,所有线段和AE+AB+AD+AC+EB+ED+EC+BD+BC+DC=4y+3（2y﹣3x）+2x+2x+3（2y ﹣3x）+2x+2x+2x+2x+2x=7（y+2y﹣3x+x）,y=2x,则AD=y+2y﹣3x+x=3y﹣2x=4x, AC=3y=6x,∴= ,故答案为：.故答案为: ．故答案为：．点评：此题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握, 此题是一道比较好的题目, 但是有一定的难度, 主要考查学生的计算能力．2. （10分）如果两个角的差的绝对值等于90°, 就称这两个角互为垂角, 例如: ∠1=120°, ∠2=30°, |∠1﹣∠2|=90°, 则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（1）如图1, O为直线AB上一点, OC⊥AB于点O, OE⊥OD于点O, 直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的, 求这个角的度数；（3）如图2, O为直线AB上一点, ∠AOC=75°, 将整个图形绕点O逆时针旋转n（0＜n＜90°）, 直线AB旋转到A′B′, OC旋转到OC′, 作射线OP, 使∠BOP=∠BOB′, 求：当n为何值时, ∠POA′与∠AOC′互为垂角．考点：余角和补角；角的计算. 菁优网版权所有专题：新定义.分析：（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；（3）分0＜n＜75, 75＜n＜90两种情况讨论可得n的值．（3）分0＜n＜75，75＜n＜90两种情况讨论可得n的值.（3）分0＜n＜75，75＜n＜90两种情况讨论可得n的值．解答：解: （1）互为垂角的角有4对: ∠EOB与∠DOB, ∠EOB与∠EOC, ∠AOD与∠COD, ∠AOD与∠AOE；（2）设这个角的度数为x度, 则①当0＜x＜90时, 它的垂角是90+x度, 依题意有90+x= （180﹣x）,解得x=18；②当90＜x＜180时, 它的垂角是x﹣90度, 依题意有x﹣90= （180﹣x）,解得x=126；故这个角的度数为18或126度；（3）当n=75时OC′和OA重合, 分两种情况:①当0＜n＜75时, ∠COC′=n°, ∠AOC′=75°﹣n°,∠POB=∠BOB′=n°,∠A′OP=180°﹣（∠POB+∠BOB′）=180°﹣2n°,∵∠A′OP﹣∠AOC′=90°,∴|（180﹣2n）﹣（75﹣n）|=90,∵0＜n＜75,∴n=15；②当75＜n＜90时, ∠AOC′=n°﹣75°,∠POB=∠BOB′=n°,∠A′OP=180°﹣（∠POB+∠BOB′）=180°﹣2n°,∵∠A′OP﹣∠AOC′=90°,∴|（180﹣2n）﹣（n﹣75）|=90,解得n=55或115,∵75＜n＜90,∴n=55或115舍去.综上所述；n=15时, ∠POA′与∠AOC′互为垂角．点评：主要考查了互为垂角和补角的概念以及运用．互为垂角的两个角的差的绝对值等于90°, 互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系, 从而计算出结果．3. （8分）如图（1）, 长方形纸片ABCD, 点E、F分别在边AB.CD上, 连接EF, 将∠BEF 对折, 点B落在直线EF上的点B′处, 得折痕EM；将AEF对折, 点A落在直线EF上的A′处, 得折痕EN（1）若A′F: FB′: B′E=2: 3: 1且FB′=6, 求线段EB的长度；（2）如图（2）, 若F为边DC的一点, BE= AB, 长方形ABCD的面积为48, 求三角形FEB 的面积．考点：翻折变换（折叠问题）；两点间的距离；三角形的面积. 菁优网版权所有分析：（1）利用翻折变换的性质得出BE=B′E, 进而利用A′F: FB′: B′E=2: 3: 1求出B′E的长即可；（2）利用三角形面积与矩形面积关系以及同高不等底三角形面积关系得出即可.（2）利用三角形面积与矩形面积关系以及同高不等底三角形面积关系得出即可．解答：解: （1）∵将∠BEF对折, 点B落在直线EF上的点B′处, 得折痕EM, ∴BE=B′E,∵A′F: FB′: B′E=2: 3: 1且FB′=6,∴BE=B′E=6×=2,∴线段EB的长度为: 2；（2）由题意可得出: S△AFB= S矩形ABCD=24,∵F为边DC的一点, BE= AB,∴S△FEB= S△AFB= ×24=9.∴S△FEB=S△AFB=×24=9．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及同高不等底三角形面积关系, 正确根据图形关系得出三角形面积是解题关键．4. （8分）已知D为直线AB上的一点, ∠COE是直角, OF平分∠AOE（1）如图1, 若∠COF=34°, 则∠BOE=68°；若∠COF=m°, 则∠BOE=2m°；∠BOE与∠COF的数量关系为BOE=2∠COF.（2）在图2中, 若∠COF=75, 在∠BOE的内部是否存在一条射线OD, 使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在, 请求出∠BOD的度数；若不存在, 请说明理由.（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时, （1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由, 若不成立, 求出∠BOE与∠COF的数量关系．考点：角的计算；角平分线的定义. 菁优网版权所有分析：（1）由∠COF=34°, ∠COE是直角, 易求∠EOF, 而OF平分∠AOE, 可求∠AOE, 进而可求∠BOE, 若∠COF=m°, 则∠BOE=2m°；进而可知∠BOE=2∠COF；（3）由前面的结论, 当∠COF=75°, 得到∠BOE=2×75°=150°, 并且∠EOF=∠AOF=90°﹣75°=15°, 再根据2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一, 可得到关于∠BOE的方程, 解方程得到∠BOD=15°, 因此在∠BOE的内部存在一条射线OD, 满足条件；（2）由于∠COE是直角, 于是∠EOF=90°﹣∠COF, 而OF平分∠AOE, 得出∠EOF=（180°﹣x）÷2, ∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2, 由此可得出结论．（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF=90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF=（180°﹣x）÷2，∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2，由此可得出结论.（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF=90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF=（180°﹣x）÷2，∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2，由此可得出结论．解答：解: （1）∵∠COF=34°, ∠COE是直角,∴∠EOF=90°﹣34°=56°,又∵OF平分∠AOE,∴∠AOE=2∠EOF=112°,∴∠BOE=180°﹣112°=68°,若∠COF=m°, 则∠BOE=2m°；故∠BOE=2∠COF；故答案是68°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）存在. 理由如下:如图2, ∵∠COF=75°,∴∠BOE=2×75°=150°,∠EOF=∠AOF=90°﹣75°=15°,而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半,∴2∠BOD+15°= （150°﹣∠BOD）,∴∠BOD=15°.（3）∠BOE和∠COF的关系不成立.设∠BOE=x, 则∠EOF=（180°﹣x）÷2, ∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2,∴∠BOE+2∠FOC=360°点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等, 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角, 对应点到旋转中心的距离相等；也考查了角平分线的定义以及互余互补的含义．5. （8分）点A在数轴上对应的数为a, 点B对应的数为b, 且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2=0 （1）求线段AB的长；（2）如图1 点C在数轴上对应的数为x, 且x是方程2x+1= x﹣5的根, 在数轴上是否存在点P使PA+PB= BC+AB？若存在, 求出点P对应的数；若不存在, 说明理由；（3）如图2, 若P点是B点右侧一点, PA的中点为M, N为PB的三等分点且靠近于P点, 当P在B的右侧运动时, 有两个结论：①PM﹣BN的值不变；②PM+ BN的值不变, 其中只有一个结论正确, 请判断正确的结论, 并求出其值考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离. 菁优网版权所有专题：应用题.分析：（1）利用非负数的性质求出a与b的值, 即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x, 得到C表示的点, 设点P在数轴上对应的数是m, 由PA+PB= BC+AB确定出P位置, 即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n, 就有PN=n+3, PB=n﹣2, 根据条件就可以表示出PM= , BN= ×（n﹣2）, 再分别代入①PM﹣BN和②PM+ BN求出其值即可．（3）设P点所表示的数为n，就有PN=n+3，PB=n﹣2，根据条件就可以表示出PM= ，BN= ×（n﹣2），再分别代入①PM﹣BN和②PM+ BN求出其值即可.（3）设P点所表示的数为n，就有PN=n+3，PB=n﹣2，根据条件就可以表示出PM=，BN=×（n﹣2），再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可．解答：解: （1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0,∴a+3=0, b﹣2=0,∴a=﹣3, b=2,∴AB=|﹣3﹣2|=5.答: AB的长为5；（2）∵2x+1= x﹣5,∴x=﹣4,∴BC=6.设点P在数轴上对应的数是m,∵PA+PB= BC+AB,∴|m+3|+|m﹣2|= ×6+5,令m+3=0, m﹣2=0,∴m=﹣3或m=2.当m≤﹣3时,﹣m﹣3+2﹣m=8,m=﹣4.5；当﹣3＜m≤2时,m+3+2﹣m=8, （舍去）；当m＞2时,m+3+m﹣2=8,m=3.5.∴点P对应的数是﹣4.5或3.5；（3）设P点所表示的数为n,∴PN=n+3, PB=n﹣2.∵PA的中点为M,∴PM= PN= , .N为PB的三等分点且靠近于P点,∴BN= PB= ×（n﹣2）.∴PM﹣BN= ﹣××（n﹣2）,= （不变）.②PM+ BN= + ××（n﹣2）= n﹣（随P点的变化而变化）.∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变, 且值为2.5．∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5.∴正确的结论是: PM﹣BN的值不变，且值为2.5．∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．点评：本题考查了一元一次方程的运用, 分段函数的运用, 数轴的运用, 数轴上任意两点间的距离公式的运用, 去绝对值的运用, 解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．6. （12分）（1）已知数轴上A.B两点分别表示﹣3.5, 则AB=8, 数轴上M、N两点分别表示数m、n, 则MN=n﹣m（2）如图1, E、F为线段AB的三等分点, P为直线AB上一动点（P不与E、F、A重合）, 在点P运动过程中, PE、PF、PA有何数量关系？请写出结论并说明理由考点：两点间的距离；数轴. 菁优网版权所有分析：（1）根据两点间的距离公式即可得到AB和MN的长；（2）分P在A左边, P在AE上, P在EF上, P在FB上, P在B右边, 五种情况讨论即可求解．（2）分P在A左边，P在AE上，P在EF上，P在FB上，P在B右边，五种情况讨论即可求解.（2）分P在A左边，P在AE上，P在EF上，P在FB上，P在B右边，五种情况讨论即可求解．解答：解: （1）由图形可知, AB=5﹣（﹣3）=8, MN=n﹣m；（2）P在A左边, PE﹣PA=PF﹣PE, 即2PE﹣PF=PA；P在AE上, PE+PA=PF﹣PE, 即PF﹣2PE=PA；P在EF上, PE+PF=AP﹣PE, 即2PE+PF=PA；P在FB上, PE﹣PF=AP﹣PE, 即2PE﹣PF=PA；P在B右边, PE﹣PF=PA﹣PE, 即2PE﹣PF=PA．故答案为：8, n﹣m．故答案为：8，n﹣m.故答案为: 8，n﹣m．故答案为：8，n﹣m．点评：考查了数轴、两点间的距离, 关键是熟练掌握两点间的距离公式, 以及分类思想的运用．7. （4分）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014把一张纸剪成5块,从所得纸片中取出若干块各剪成5块,再从以上所得纸片中取出若干块, 每块又剪成5块, …,如此进行下去, 到剪完某一次后停止时, 所得纸片总数可能是（）考点：规律型：数字的变化类. 菁优网版权所有分析：根据剪纸的规律, 每一次都是在5的基础上多了4张, 则剪了n次时, 每次取出的纸片数分别为x1, x2, x3, …, xn块, 最后共得纸片总数N, 根据数的整除性这一规律可得出答案．解答：解: 设把一张纸剪成5块后, 剪纸还进行了n次, 每次取出的纸片数分别为x1, x2, x3, …, xn块, 最后共得纸片总数N, 则N=5﹣x1+5x1﹣x2+5x2﹣…﹣xn+5xn=1+4（1+x1+x2+…+xn）,又∵N被4除时余1, N必为奇数,而2011=502×4+3, 2013=503×4+1,∴N只可能是2013.故选：C.故选: C．故选：C．点评：本题考查了图形的变化类, 必须探索出剪n次有的纸片数, 然后根据数的整除性规律求得进行判断．8. （10分）如图, 已知数轴上点A表示的数为8, B是数轴上一点, 且AB=14. 动点P从点A出发, 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 设运动时间为t（t＞0）秒. （1）写出数轴上点B表示的数﹣6, 点P表示的数8﹣5t（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发, 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 若点P、Q同时出发, 问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点, N为PB的中点．点P在运动的过程中, 线段MN的长度是否发生变化？若变化, 请说明理由；若不变, 请你画出图形, 并求出线段MN的长．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离. 菁优网版权所有分析：（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣14；点P表示的数为8﹣5t；（2）点P运动x秒时, 在点C处追上点Q, 则AC=5x, BC=3x, 根据AC﹣BC=AB, 列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时, ②当点P运动到点B的左侧时, 利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.（3）分①当点P在点A.B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．解答：解: （1）∵点A表示的数为8, B在A点左边, AB=14,∴点B表示的数是8﹣14=﹣6,∵动点P从点A出发, 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 设运动时间为t（t＞0）秒,∴点P表示的数是8﹣5t.故答案为: ﹣6, 8﹣5t；（2）设点P运动x秒时, 在点C处追上点Q,则AC=5x, BC=3x,∵AC﹣BC=AB,∴5x﹣3x=14,解得: x=7,∴点P运动7秒时追上点Q.（3）线段MN的长度不发生变化, 都等于7；理由如下：∵①当点P在点A、B两点之间运动时:MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×14=7,②当点P运动到点B的左侧时:MN=MP﹣NP= AP﹣BP= （AP﹣BP）= AB=7,∴线段MN的长度不发生变化, 其值为7．∴线段MN的长度不发生变化，其值为7.∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．点评：本题考查了数轴一元一次方程的应用, 用到的知识点是数轴上两点之间的距离, 关键是根据题意画出图形, 注意分两种情况进行讨论．9. （12分）如图1, 已知∠AOC=m°, ∠BOC=n°且m、n满足等式|3m﹣420|+（2n﹣40）=0, 射线OP从OB处绕点0以4度/秒的速度逆时针旋转.（1）试求∠AOB的度数；（2）如图l, 当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转, 同时射线OQ从OA处以l度/秒的速度绕点0顺时针旋转, 当他们旋转多少秒时, 使得∠POQ=10°？（3）如图2, 若射线OD为∠AOC的平分线, 当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转, 同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转, 使得这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时, 且= , 试求x．考点：几何变换综合题；角的计算. 菁优网版权所有分析：（1）先根据非负数的性质求得m=140, n=20, 即得∠AOC=140°, ∠BOC=20°, 从而得到结果；（2）设他们旋转x秒时, 使得∠POQ=10°, 则∠AOQ=x°, ∠BOP=4x°.分①当射线OP与射线OQ相遇前, ②当射线OP与射线OQ相遇后, 两种情况, 结合旋转的性质分析即可；（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处, 则∠BOE=4t°, 先根据角平分线的性质可得∠COD的度数, 即可求得∠BOD的度数, 再根据= 即可求得∠COE的度数, 从而得到∠DOE、∠BOE的度数, 即可求得结果．（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°，先根据角平分线的性质可得∠COD的度数，即可求得∠BOD的度数，再根据= 即可求得∠COE的度数，从而得到∠DOE、∠BOE的度数，即可求得结果.（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°，先根据角平分线的性质可得∠COD的度数，即可求得∠BOD的度数，再根据=即可求得∠COE的度数，从而得到∠DOE、∠BOE的度数，即可求得结果．解答：解: （1）∵|3m﹣420|+（2n﹣40）2=0,∴3m﹣420=0且2n﹣40=0,∴m=140, n=20,∴∠AOC=140°, ∠BOC=20°,∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=160°；（2）设他们旋转x秒时, 使得∠POQ=10°. 则∠AOQ=x°, ∠BOP=4x°.①当射线OP与射线OQ相遇前有: ∠AOQ+∠BOP+∠POQ=∠AOB=160°,即：x+4x+10=160,解得: x=30；②当射线OP与射线OQ相遇后有: ∠AOQ+∠BOP﹣∠POQ=∠AOB=160°,即: x+4x﹣10=160,解得: x=34.答：当他们旋转30秒或34秒时, 使得∠POQ=10°；（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处, 则∠BOE=4t°.∵OD为∠AOC的平分线,∴∠COD= ∠AOC=70°,∴∠BOD=∠COD+∠BOC=70°+20°=90°.∵，∴∠COE= ×90°=40°, ∠DOE=30°, ∠BOE=20°+40°=60°即: 4t=60,∴t=15,∴∠DOE=15x°, 即: 15x=30解得x=2.点评：本题考查了旋转的性质, 角的计算．应该认真审题并仔细观察图形, 找到各个量之间的关系, 是解题的关键．10．（10分）如图1, 已知∠AOC=2∠BOC, ∠AOC的余角比∠BOC小30°,（1）求∠COB的度数；（2）经过点O作射线OD, 使得∠AOC=4∠AOD, 求∠BOD的度数；（3）如图2, 在∠AOB的内部作∠EOF, OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线, 当∠EOF绕点O在∠AOB的内部转动时, 请说明∠AOB+∠EOF=2∠MON．考点：角的计算；角平分线的定义. 菁优网版权所有分析：（1）设∠BOC=x, 则∠AOC=2x, 根据, ∠AOC的余角比∠BOC小30゜列方程求解即可；（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部②当射线OD在∠AOC外部, 分别求出∠BOD的度数即可；（3）OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线, 可得∠MOE= ∠AOE, ∠FON= ∠BOF, 所以∠MON=∠EOF+ （∠AOE+∠BOF）, 即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．（3）OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE= ∠AOE，∠FON= ∠BOF，所以∠MON=∠EOF+ （∠AOE+∠BOF），即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF.（3）OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE=∠AOE，∠FON=∠BOF，所以∠MON=∠EOF+（∠AOE+∠BOF），即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．解答：解: （1）设∠BOC=x, 则∠AOC=2x,依题意列方程90°﹣2x=x﹣30°,解得: x=40°,即∠COB=40゜.（2）由（1）得, ∠AOC=80°, ∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°,①当射线OD在∠AOC内部时, ∠AOD=20゜,则∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=120°﹣20°=100°；②当射线OD在∠AOC外部时, ∠AOD=20゜则∠BOD=∠AOB+∠AOD=120゜+20°=140°；（3）∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,∴∠MOE= ∠AOE, ∠FON= ∠BOF,∴∠MON=∠EOF+ （∠AOE+∠BOF）,∴2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF.即∠AOB+∠EOF=2∠MON.即∠AOB+∠EOF=2∠MON．点评：本题考查了角平分线的定义以及角的计算, 还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同, 分类讨论, 分别求出∠BOD的度数．11. （12分）如图1, 点A.B分别在数轴原点O的左右两侧, 且OA+50=OB, 点B对应数是90．（1）求A点对应的数；（2）如图2, 动点M、N、P分别从原点O、A.B同时出发, 其中M、N均向右运动, 速度分别为2个单位长度/秒, 7个单位长度/秒, 点P向左运动, 速度为8个单位长度/秒, 设它们运动时间为t秒, 问当t为何值时, 点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；（3）如图3, 将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向, 其余条件不变, 设Q为线段MN的中点, R为线段OP的中点, 求22RQ﹣28RO﹣5PN的值．考点：数轴；两点间的距离. 菁优网版权所有分析：（1）根据点B对应的数求得OB的长度, 结合已知条件和图形来求点A所对应的数；（2）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为, 列方程求出t；（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为, 列方程求出t, 并求出RQ, RO 及PN, 再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值.（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．解答：解: （1）如图1, ∵点B对应数是90,∴OB=90.又∵OA+50=OB, 即OA+50=90,∴OA=120.∴点A所对应的数是﹣120；（2）依题意得, MN=|（﹣120+7t）﹣2t|=|﹣120+5t|,PM=|2t﹣（90﹣8t）|=|10t﹣90|,又∵MN=PM,∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|,∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣（10t﹣90）解得t=﹣6或t=14,∵t≥0,∴t=14, 点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离.（3）依题意得RQ=（45+4t）﹣（﹣60﹣4.5t）=105+8.5t,RO=45+4t,PN=（90+8t）﹣（﹣120﹣7t）=210+15t,则22RQ﹣28RO﹣5PN=22（105+8.5t）﹣28（45+4t）﹣5（210+15t）=0.点评：本题主要考查了数轴及两点间的距离, 解题的关键是根据M、N之间的距离等于P、M之间的距离列出方程求出t．12. （12分）已知: A.B.C为数轴上三个运动的点, 速度分别为a个单位/秒、b个单位/秒和c 个单位/秒（a、b、c为正整数）, 且满足|5﹣a|+（b﹣3）2=1﹣c.（1）求A.B.C三点运动的速度；（2）若A、B两点分别从原点出发, 向数轴正方向运动, C从表示+20的点出发同时向数轴的负方向运动, 几秒后, C点恰好为AB的中点？（3）如图, 若一把长16cm的直尺一端始终与C重合（另一端D在C的右边）, 且M、N 分别为OD、OC的中点, 在C点运动过程中, 试问：MN的值是否变化？若变化, 求出其取值范围；若不变, 请求出其值．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离. 菁优网版权所有分析：（1）根据条件可以得出c≥1的整数, 就可以得出1﹣c≤0, 在根据|5﹣a|+（b﹣3）2≥0就可以求出c的值, 再由非负数的性质就可以求出结论；（2）设x秒后, C点恰好为AB的中点, 就有方程3x+ （5x﹣3x）=20﹣x, 求出其解即可．（3）设OC=a, 则OD=16+a, 根据中点的定义就有ON、OM的值, 就可以求出MN 的值而得出结论．（3）设OC=a，则OD=16+a，根据中点的定义就有ON、OM的值，就可以求出MN 的值而得出结论.（3）设OC=a，则OD=16+a，根据中点的定义就有ON、OM的值，就可以求出MN 的值而得出结论．解答：解: （1）∵|5﹣a|+（b﹣3）2是非负数,∴1﹣c≥0.∵c为正整数, 所以1﹣c≤0,∴1﹣c=0,∴c=1；∴|5﹣a|+（b﹣3）2=0,∴5﹣a=0, b﹣3=0,∴a=5；b=3；答: A点的运动速度为5个单位长度/秒；B点的运动速度为3个单位长度/秒；C点的运动速度为1个单位长度/秒；（2）设设x秒后, C点恰好为AB的中点, 由题意, 得3x+ （5x﹣3x）=20﹣x,解得: x=4.答: 4秒后, C点恰好为AB的中点；（3）不变, MN=8.理由：设OC=a, 则OD=16+a.∵M、N分别为OD.OC的中点,∴ON= OC= a, OM= OD= （16+a）=8+ a.∵MN=OM﹣ON,∴MN=8+ a﹣a=8.∴MN=8+a﹣a=8．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用, 一元一次方程的解法的运用, 行程问题的数量关系的运用, 数轴的运用, 线段中点的运用, 非负数的性质的运用, 解答时求A、B、C三点运动的速度是解答本题的关键．运用中点的性质求MN的值是难点．。

七年级的几何题一、线段相关题目（5题）1. 已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，AC = 3cm，求BC的长。

- 解析：因为点C在线段AB上，BC = AB - AC。

已知AB = 8cm，AC = 3cm，所以BC = 8 - 3 = 5cm。

2. 线段AB被点C分成3:5两部分，若AC = 6cm，求AB的长。

- 解析：设AC = 3x，CB = 5x。

因为AC = 6cm，所以3x = 6，解得x = 2。

则AB=AC + CB = 3x+5x = 8x，把x = 2代入得AB = 8×2 = 16cm。

3. 已知线段AB = 12cm，在直线AB上有一点C，且BC = 4cm，求AC的长。

- 解析：分两种情况。

- 当点C在线段AB上时，AC = AB - BC。

因为AB = 12cm，BC = 4cm，所以AC = 12 - 4 = 8cm。

- 当点C在AB的延长线上时，AC = AB+BC。

所以AC = 12 + 4 = 16cm。

4. 点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，若AB = 12cm，求AD的长。

- 解析：因为C是AB中点，所以AC = BC=(1)/(2)AB=(1)/(2)×12 = 6cm。

又因为D是BC中点，所以CD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×6 = 3cm。

则AD = AC+CD = 6 + 3 =9cm。

5. 已知线段AB，延长AB到C，使BC=(1)/(3)AB，D为AC中点，若DC = 2cm，求AB的长。

- 解析：设AB = x，则BC=(1)/(3)x，AC = AB + BC=x+(1)/(3)x=(4)/(3)x。

因为D 为AC中点，DC=(1)/(2)AC，已知DC = 2cm，所以(1)/(2)×(4)/(3)x = 2，解得x = 3cm，即AB = 3cm。

二、角相关题目（5题）1. 已知∠AOB = 80°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。