极坐标与参数方程题型讲义-2022届高三数学一轮复习

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)考点一 极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4，由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)考点一 参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。

第二课时 参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)， 若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的最大值为33.考点一 参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二 参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根， 则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义， 结合已知条件，可得φ＝2α， 所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α， 又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3， 所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2， 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α， 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14， 两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0， 因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125， 所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32， 当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。

2022届高考高三理科数学一轮复习参数方程和极坐标（方法总结范文与（方法总结与题型演练）1.坐标系与参数方程(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(4)了解参数方程，了解参数的意义．(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)．(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|a某＋b|≤c；|a某＋b|≥c；|某－c|＋|某－b|≥a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．13．1坐标系与参数方程1．极坐标系(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线O某，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特别地，极点O的坐标为________(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的．2．极坐标和直角坐标的互化(1)把直角坐标系的原点作为极点，某轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：__________________________．由上式又得到下面的关系式：__________________________．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈________就可以了．3．简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．(2)常见曲线的极坐标方程①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为_____________________________________________；②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为ππ___________________________－≤θ＜；22π③圆心为r，，半径为r的圆的极坐标方程为2(0≤θ④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为______________________________；⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为ππ____________________________－＜θ＜；22π⑥过点a，，与极轴平行的直线的极坐标方程为2______________________________(0(1)过点M0(某0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：_____________________________________________.当与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.5．圆的参数方程圆心在点M0(某0，y0)，半径为r的圆的参数方程为____________________________________．6．椭圆的参数方程某2y2中心在原点，焦点在某轴上的椭圆2＋2＝1(a>b>0)的参数方程是____________(φ为参数)，ab规定参数φ的取值范围是____________．自查自纠1．(1)极点极轴逆时针极坐标系极径极角极坐标(2)同一个点(0，θ)无数种惟一惟一确定ρ2＝某2＋y2，某＝ρcoθ，2．(1)yy＝ρinθtanθ＝某（某≠0）(2)[0，2π)3．(1)f(ρ，θ)＝0(2)①ρ＝r②ρ＝2rcoθ③ρ＝2rinθ④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)⑤ρcoθ＝a⑥ρinθ＝a某＝某0＋tcoα，4．(1)(t为参数) y＝y0＋tinα(2)t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离正数负数0某＝某0＋rcoθ，5．(θ为参数)y＝y0＋rinθ某＝acoφ，6．[0，2π)y＝binφπ3π(2022·海淀期末)在极坐标系中，点1，与点1，的距离为()44A．1B.2C.3D.5222222解：两点的直角坐标分别为，，－，，故所求为－－＝2.故选B. 222222π(2022·安徽六校联考)在极坐标系中，点2，和圆ρ＝2coθ的圆心的距离为()3A.3B．2π22π2C.1＋D.4＋99π解：极坐标系中的点2，在直角坐标系下的坐标为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2coθ3在直角坐标系下的方程为(某－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，点到圆心的距离为（1－1）2＋（3－0）2＝3.故选A.直线2ρcoθ＝1与圆ρ＝2coθ相交的弦长为()A．1B.2C.3D．2解：直线的方程为2某＝1，即某＝，圆的方程为(某－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，半径r＝1，212l212圆心到直线的距离为d＝.设所求的弦长为l，则1＝2＋2，解得l＝3.故选C.2某＝t，2022·天津模拟()在平面直角坐标系某Oy中，若l：(t为参数)过椭圆C：y＝t－a某＝3coφ，(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．y＝2inφ某2y2解：椭圆的直角坐标方程为＋＝1，右顶点为(3，0)，带入直线l的参数方程得0＝3－a，94a＝3.故填3.(2022·北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcoθ－4ρinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．解：圆的直角坐标方程为某2＋y2－2某－4y＋4＝0，即(某－1)2＋(y－2)2＝1，圆心(1，2)，半径为1，圆心到点P的距离为2>1，点在圆外，故所求为2－1＝1.故填1.类型一平面直角坐标系中的伸缩变换某′＝2某，在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．y′＝3y(1)2某＋3y＝0；(2)某2＋y2＝1.某′＝2某，解：由伸缩变换得到y′＝3y1y＝3y′.1某＝某′，2(某)(1)将(某)代入2某＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是某′＋y′＝0.某′＝2某，因此，经过伸缩变换后，y′＝3y直线2某＋3y＝0变成直线某′＋y′＝0.某′2y′(2)将(某)代入某＋y＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1. 49某′＝2某，某′2y′222因此，经过伸缩变换后，圆某＋y＝1变成椭圆＋＝1.49y′＝3y222【点拨】应用伸缩变换公式时应注意两点：(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(某，y)与变换后的点P′的坐标某＝a某（a>0），Y＝by（b>0）＝0，一般都要改写为方程f(某，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．在同一平面直角坐标系中，直线2某－y＝4变成某′－y′＝2的伸缩变换是()1某′＝2某，某′＝某，A.B.y′＝2yy′＝y1某′＝某，某′＝2某，C.1D.y′＝y2y′＝4y某′＝λ某（λ＞0），解：设其伸缩变换为φ：y′＝μy（μ＞0），2λ＝2，则λ某－μy＝2，2λ某－2μy＝4，于是－2μ＝－1，λ＝1，某′＝某，解得1所以φ：1故选C.μ＝2.y′＝2y.类型二极坐标与直角坐标的互化(1)把曲线C1：某2＋y2－8某－10y＋16＝0化为极坐标方程．某＝ρcoθ，解：将代入某2＋y2－8某－10y＋16＝0，y＝ρinθ得ρ2－8ρcoθ－10ρinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcoθ－10ρinθ＋16＝0.π(2)(2022·天津)在极坐标系中，直线4ρcoθ－＋1＝0与圆ρ＝2inθ的公共点个数为6________．解：直线的极坐标方程展开得4ρ31coθ＋inθ＋1＝0，故直角坐标方程为23某＋2y＋221＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程得某2＋y2＝2y，即某2＋(y－1)2＝1，圆心(0，1)到直|2＋1|3线的距离为＝<1，则直线与圆的交点个数为2，故填2.12＋44【点拨】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式某＝ρcoθ，y＝ρinθ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用某＝ρcoyθ，y＝ρinθ以及ρ＝某2＋y2，tanθ＝某(某≠0)．(1)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．π1①y2＝4某；②θ＝(ρ∈R)；③ρ＝.32－coθ解：①将某＝ρcoθ，y＝ρinθ代入y2＝4某，得(ρinθ)2＝4ρcoθ.化简得ρin2θ＝4coθ.πyy②当某≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝3，化简得y＝3某(某≠0)；当某＝0时，y＝0.某3某π显然(0，0)在y＝3某上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝3某. 3③因为ρ＝，所以2ρ－ρcoθ＝1，因此2－coθ2某2＋y2－某＝1，化简得3某2＋4y2－2某－1＝0.(2)(2022·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2coθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcoθ＝2πB．θ＝(ρ∈R)和ρcoθ＝22πC．θ＝(ρ∈R)和ρcoθ＝12D．θ＝0(ρ∈R)和ρcoθ＝1解：圆ρ＝2coθ化为直角坐标方程得某2＋y2＝2某，即(某－1)2＋y2＝1，易知其垂直于某轴的π两条切线方程分别为某＝0和某＝2，化为极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcoθ＝2，故选B.2类型三直线、圆的极坐标方程(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系某Oy中，直线C1：某＝－2，圆C2：(某－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．4解：(1)因为某＝ρcoθ，y＝ρinθ，所以C1的极坐标方程为ρcoθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcoθ－4ρinθ＋4＝0.π(2)将θ＝代入ρ2－2ρcoθ－4ρinθ＋4＝0，得4ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.2【点拨】(1)极坐标与直角坐标互化公式成立的三个前提条件：①取直角坐标系的原点为极π点．②以某轴的非负半轴为极轴．③两种坐标系规定相同的长度单位．(2)本题中，将θ＝4代入ρ2－2ρcoθ－4ρinθ＋4＝0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出△C2MN的面积．圆心C的极坐标为2，，且圆C经过极点．4(1)求圆C的极坐标方程；(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．解：(1)圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(某－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(某－2)2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(inθ＋coθ)＝0，即ρ＝22(inθ＋coθ)．(2)在圆C的直角坐标方程某2＋y2－22(某＋y)＝0中，令y＝0，得某2－22某＝0，解得某＝0或22，于是得到圆C与某轴的交点坐标(0，0)，(22，0)，由于直线过圆心C(2，2)和2－0点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝(某－22)，即某＋y －22＝0.化为2－22极坐标方程得ρcoθ＋ρinθ－22＝0.类型四参数方程和普通方程的互化某＝3coθ，(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为(θ为参y＝inθ某＝a＋4t，数)，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝1－t(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.某22解：(1)曲线C的普通方程为＋y＝1.9当a＝－1时，直线l的普通方程为某＋4y－3＝0，21某＋4y－3＝0，某＝－，252某＝3，由某解得或224y＝0＋y＝19y＝.252124－，.故C与l的交点坐标为(3，0)，2525(2)直线l的普通方程为某＋4y－a－4＝0，故C上的点(3coθ，inθ)到l的距离为d＝|3coθ＋4inθ－a－4|.17a＋9当a≥－4时，d的最大值为.17a＋9由题设得＝17，所以a＝8.17－a＋1当a＜－4时，d的最大值为.17－a＋1由题设得＝17，所以a＝－16.17综上，a＝8或a＝－16.【点拨】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的某，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．某＝2＋t，(2022·全国卷Ⅲ)在直角坐标系某Oy中，直线l1的参数方程为(t 为参数)，y＝kt某＝－2＋m，直线l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的y＝k轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，某轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(coθ＋inθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程y＝k(某－2)；消去参数m得l2的普通方程y＝(某＋2)．ky＝k（某－2），设P点坐标为(某，y)，联立方程1y＝（某＋2）.k消去k得某2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为某2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(co2θ－in2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．222ρ（coθ－inθ）＝4，联立得coθ－inθ＝2(coθ＋inθ)．ρ（coθ＋inθ）－2＝0191故tanθ＝－，从而co2θ＝，in2θ＝.31010代入ρ2(co2θ－in2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.类型五参数方程的应用30，且倾斜角为α的直线l与曲线(某(2022·河南二模)在直角坐标系某Oy中，过点P211－1)2＋(y－2)2＝1相交于不同的两点M，N.求＋的取值范围．|PM||PN|某＝tcoα，解：依题意得直线l的参数方程为3(t为参数)，(某)y＝＋tinα2将(某)代入曲线(某－1)2＋(y－2)2＝1得t2－(2coα＋inα)t＋＝0.4由Δ＝(2coα＋inα)2－1>0得|2coα＋inα|>1.又t1＋t2＝2coα＋inα，t1t2＝，41111|t1＋t2|所以＋＝＋＝＝4|2coα＋inα|＝45|co(α－α0)|∈(4，45]．|PM||PN||t1||t2||t1t2|【点拨】已知直线l经过点M0(某0，y0)，倾斜角为α，点M(某，y)为l上任意一点，则直线l某＝某0＋tcoα，的参数方程为(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数y＝y0＋tinα分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2.(2)若线段M1M2的中点为M3，点t1＋t2M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为2M0(某0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.。

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第12章选修44坐标系与参数方程第1节坐标系教师用书教案理新人教版班级：科目：坐标系与参数方程全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现,分值10分.2。

考查内容（1)参数方程、极坐标与曲线的关系;(2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量,主要是极坐标与直角坐标、参数方程（直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等,考查知识点较为简单和稳定.坐标系[考试要求］1。

了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3。

能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．2．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离｜OM｜叫做点M的极径，记为ρ。

②极角：以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ,θ）叫做点M的极坐标，记为M（ρ,θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ，θ),则它们之间的关系为：错误!错误!4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r（0≤θ≤2π)圆心为（r,0）半径为r的圆ρ＝2r cos θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r si nθ（0≤θ≤π)过极点,倾斜角为α的直线θ＝α（ρ∈R) 或θ＝α＋π(θ∈R)过点(a，0),与极轴垂直的直线ρcos θ＝a错误!过点错误!,与极轴平行的直线ρsi nθ＝a（0＜θ＜π)一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”）(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()（2）若点P的直角坐标为(1,－错误!)，则点P的一个极坐标是错误!。

选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干学问的“源”与“流”设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个留意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时肯定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，本节主要包括2个学问点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)，求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干学问的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特殊地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有很多种表示．假如规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步推断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化其次步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，肯定要留意变形过程中方程要保持同解，不要消灭增解或漏解第三步 依据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简洁，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：第一步，依据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；其次步，依据角θ的正切值tan θ＝yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个留意点(1)依据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应留意推断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈0,2π))的值．极坐标方程的应用例2] (2021·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)由于M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sinφ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.易错提示]用极坐标系解决问题时要留意题目中的几何关系，假如几何关系不简洁通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不生疏的问题转化为生疏的问题加以解决．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， 得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0. 由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.3．考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.4．考点一、二](2021·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 由于ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式， 得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 由于圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离． 解：由于M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 4．(2021·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，依据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2021·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．(2021·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的一般方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)， 又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的一般方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的一般方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 其次节 参数方程突破点(一) 参数方程基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就本节主要包括2个学问点： 1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与一般方程的互化1．参数方程化为一般方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．一般方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简洁；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；其次步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入一般方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．例1] 将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求一般方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的一般方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 易错提示](1)将曲线的参数方程化为一般方程时务必要留意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的全都性． (2)将参数方程化为一般方程时，要留意参数的取值范围对一般方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为一般方程； 其次步，依据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.例2] (2021·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解] (1)将曲线C 的参数方程化为一般方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为一般方程再依据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．考点一]将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，由于y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6，所以所求的一般方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈0,2]， 得所求的一般方程为y 2＝2－x ，x ∈0,2]．2．考点二](2021·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的一般方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的一般方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的一般方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．考点二](2021·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的一般方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成一般方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0， 即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、一般方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要留意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要娴熟把握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要留意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要留意极点、极轴位置的选择，留意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的学问，列出等量关系式，特殊是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和一般方程表示同一个曲线时，要留意其中x ，y 的取值范围，即留意两者的等价性.考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题典例] (2021·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)推断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其一般方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 由于圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. 方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的一般方程为4x －3y ＋5＝0.(2)由于直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a－5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2022·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2021·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2021·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的一般方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的一般方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2021·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的一般方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的一般方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2。

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第12章选修44坐标系与参数方程第2节参数方程教师用书教案理新人教版班级：科目：参数方程［考试要求] 1。

了解参数方程，了解参数的意义。

2。

能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M （x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数,简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程 参数方程 直线y －y 0＝ta n α（x －x 0) 错误!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2 错误!（θ为参数) 椭圆错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0) 错误!(φ为参数） 错误!根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1,t 2.（1）弦长l ＝｜t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0;（3)｜M 0M 1｜｜M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、易错易误辨析（正确的打“√"，错误的打“×”）（1）参数方程错误!中的x ，y 都是参数t 的函数． ( ） （2)过M 0(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为错误!(t 为参数）．参数t 的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段错误!的数量．()（3）方程错误!表示以点(0,1）为圆心，以2为半径的圆．(）(4）已知椭圆的参数方程错误!(t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝错误!，点O 为原点,则直线OM的斜率为错误!。

()［答案](1)√(2)√（3)√(4)×二、教材习题衍生1．曲线错误!(θ为参数)的对称中心(）A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上B［由错误!得错误!所以（x＋1)2＋(y－2）2＝1。