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量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
简答第一章 绪论什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗？为什么？答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
《量子力学》课程考试大纲
一、课程的任务、性质和作用
本课程的性质：量子力学是物理学专业的一门重要专业必修课程，是物理相关专业本科生必修的四大理论课之一，是他们今后继续提高物理专业水平的一门专业基础理论课程。
同时，量子力学是近代物理学两大支柱之一，是描述微观世界运动规律的基础理论，已成为当今科学技术的基础，凡是涉及到微观粒子（比如分子、原子、电子等）的各门学科和新兴技术，都必须掌握量子力学。
本课程的任务是：（1）使学生了解微观世界的特殊性，了解经典物理不能正确描述微观粒子的运动规律，认识到创立微观世界的理论——量子力学的必然性。
（2）使学生初步掌握量子力学的基本概念、原理和基本方法，能求解量子力学的一些基本问题。
（3）使学生熟悉量子力学在现代科学技术中各种重大应用。
二、教材
周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979年
三、试卷结构与题型
1.试题类型
填空题、选择题、证明题、计算题。
2.试卷难易比例
容易题约占40%，中等难度题约占40%，难题约占20%。
3.试卷内容比例
填空题约占15%，选择题约占15%，证明题约占20%，计算题约占50%。
四、考核的知识点及参考题型。
2010级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释黑体辐射、光电效应、原子的光谱线系和固体的低温比热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量子 ”（内容是什么？？?）的假设，解决了黑体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子” （内容是什么？？?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量子理论1924年被康普顿效应（内容是什么？？?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出一切微观粒子（原子、电子、质子等）也具有波粒二象性的假说，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和革末（Germer ）所做的电子衍射实验所证实。
4. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν（或角频率ω）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ； （其中的各物理量的意义？？？）。
5. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P ，描述其波动性的物理量为频率ν（或角频率ω）和波长λ， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义？？？）；。
6. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。
描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平。
7. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=⎰ψψ。
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。
对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。
这导致波函数总有一个不确定的常数因子。
（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。
（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。
即=ψ2||有限值。
但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。
例如对粒子位置本征函数就是这样。
而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。
这也是允许的。
（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。
)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。
如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。
证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。
)(Et r p i p Ae-⋅=ψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=** i j 0=⋅∇+∂∂j tρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H μ)(,)(),(r er t r n tE i n n nψψψ-=n n n E H ψψ=附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性 （3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
3．态叠加原理：设 n ψψψ,,21是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=nnn c ψψ也是体系的一个可能状态。
也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态 n ψψψ,,21中。
4.任何一个波函数()t r ,ψ都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。
5．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：ψψμψ),(t r V t i+∇2-=∂∂22当势场)(r V不显含时间t 时，其解是定态解满足定态薛定谔方程 其中注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
6．波函数的归一化条件： （对整个空间积分） 相对几率分布：波函数常数因子不定性；)(~)(r c rψψ 波函数相位因子不定性：7．波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。
度与几率密度ψψρ*= 满足连续性方程8．几率流密,2,1,0,,=z y x n n n ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x ax x V 或0,0,0)(,,,,321=2=2222n a n E n μπ⎪⎩⎪⎨⎧≥0≤0<<02=ax x a x a xn a n 或,,sin πψ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<=a x a x x V ,,0)(22228=a n E n μπ ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=+=a x a n a x a n a n ,0x ,...3,2,1,)(2sin 1πψ2221=x V μω ,,,210=⎪⎭⎫ ⎝⎛21+=n n E n ，ω)(x H eN n x n n αψα2-212=ωμαπα=2=,!n N n n ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23z y x n n n n n n E zy x )()()(222z H y H x H eN N N z y x r zyxzyxn n n n n n n n n αααψα-=能量9.定态所需的条件 ： 10．一维无限深方势阱（1）若本征值本征函数（2）若则本征值 本征函数 11.自由粒子波函数（推导过程）12．一维谐振子 本征值本征函数13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。
能级第三章 量子力学中的力学量1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。
2.厄米算符A 的定义：rd A r d Aϕψϕψ⎰⎰=**)(此为坐标表像中的表示式 厄米算符的本征值是实数。
厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。
附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。
dx x F x F )()(*φφ⎰=⎰∑22+=λλλλd c c F nn n λλλψψψλψ==F F nn n ˆˆdxx x c dx x x c n n )()(,)()(**φψφψλλ⎰⎰==()t r ,ψr p i pe⋅23-2=)(πψ)()()(*p p d r r pp '-=⎰'δτψψdxx c x c x nnn )()()(λλψψφ⎰∑+=ϕ∂∂-= i L z 3．力学量的测量值：在力学量F 的本征态中测量F ，有确定值，即它的本征值； 在非F 的本征态φ中测量F ，可能值是F 的本征值。
将)(x φ用算符F 的正交归一的本征函数展开： 则在)(x φ态中测量力学量F 得到结果为n λ的几率为2n c ，得到结果在λλλd +→范围内的几率为λλd c 2。
力学量的平均值是 或附：本书中五个基本原理（1）量子力学中态的表示 波函数 （2）态叠加原理： （3）定态薛定谔方程： （4）力学量与算符的关系： （5）自旋：4． 连续谱的本征函数可以归一化为δ函数。
5．简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。
简并度：Fˆ算符的属于本征值n λ的线性无关的本征函数有f 个，我们称F ˆ的第n 个本征值n λ是f 度简并。
6． 动量算符p 的本征函数(即自由粒子波函数)正交归一性7． 角动量z 分量本征函数,,,,)(2±1±0=21=m e im m ϕπϕψz L 的本征值 m L z=',,,,321=12-=12-==22224n n a e ne E E n μ2=n f n Bohr ce m c me M B B z ——μμμμ2=-=2-= ,8． 平面转子（设绕z 轴旋转） 课本P 101 3.5题哈密顿量222222ϕd d I I L H z-== 能量本征态,,,,)(2±1±0=21=m e im m ϕπϕψ能量本征值I m E m 2=22 9． ()z L L,2有共同的本征函数 — 球谐函数()ϕθ,lm Y ：()()()()()l m l m l l m l N e P N Y lm im ml lm m lm ±2±1±0=210=+41+2-=1-=,,,,;,,,,!!!)(cos )(, πθϕθϕ()()ϕθϕθ,)(,lm lm Y l l Y L 221+= ()()ϕθϕθ,,lm lm z Y m Y L =1．中心力场中，势场[]0==H L r V r V ,,)()( ，角动量L为守恒量。
10．中心力场中，定态薛定谔方程ψψμμE r V r L r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2+∂∂12-22222)(选()z L L H ,,2为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为l l l m l Y r R r lm -1-=210==,,,,,,,),()(),,( ϕθϕθψ11．氢原子 玻尔半径）(22e a μ =),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =能级简并度 轨道磁矩 （为玻尔磁子）0=dtFd ce m M L M z zz μ2-== 22242-=n Z e E n μ0=∂∂tF旋磁比类氢离子量F 的平均值不随时间变化），则称F 为守恒量。
12． 守恒力学量的定义：若（即力学力学量F 的平均值随时间的变化满足t FH F i dtF d ∂∂+1=],[因而力学量F 为守恒量的条件为： ， 且 0=],[H F 13．宇称算符宇称算符的定义：)()(ˆr r P -=ψψ 本征值本征函数。
注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。
14． 对易式定义： []BA AB B A -≡, 15． 对易式满足的基本恒等式：[][][][][][][][][]B C A C B A C AB CB A B A B BC A C A B A C B A ,,,,,,,,,+=+=+=+[][][][][][]0=++B A C A C B C B A ,,,,,,（Jacobi 恒等式）16． 一些重要的对易关系：[][][]αββαβαβαδ i p xp px x===,,0,,0,⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡γγγγαββββαεL p x i L p x L ,[][][]zyxzyxzy xJi J J si s s Li L L ===,,,,,[][][]0,,0,,0,222===αααJ Js s L L附：要会证明对易关系 注：量子力学证明题多关于算符和自旋。
17．若算符B A 、对易，即0],[=B A ，则A 和B 有共同的本征函数系。
在A 和B 的共同的本征函数表示的态中测量B A 、，都有确定值。
18.不确定关系:若算符B A 、不对易，即0],[≠B A ，则必有],[21)()(22B A B A ≥∆⋅∆简记为 ],[21B A B A ≥∆⋅∆特别地，2≥∆∆x p x第四章 态和力学量的表象1． Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψψ算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*，选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。
平均值公式是ψψF F +=， 归一化条件是I =+ψψ，本征值方程是ψλψ=F 。
附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。
2． 幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足1-+=S S ；态的变换是a S b +=； 算符的变换是FS S F +='。
幺正变换不改变算符的本征值。
11)()()8()()()7()()()6()()()5()()()4()()()3(),(),()2(),(),()1(****=============∂∂=∂∂==⎰⎰⎰∑∑⎰ψψψψψψψψψψψψδδψψψψφψφψdx x x F F dx x F x F n c dxx x u c nc x u c x n m dx x u x u n E n H x u E x u H H ti t x H t x ti F t x t x F n n n nn nn n mnmnn m n n n n,,I x xdx I nn n==⎰∑附：在自身表象中，本征函数是δ函数。
