目标规划典型例题

规划问题的教学例题例1 某工厂在计划期内要安排I、II两种产品生产。

生产单位产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗以及资源的限制如表1-1所示另外，工厂每生产一单位I可以获利50元，每生产一单位II可以获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品I和产品II，才能获利最多？例 2 货物托运问题某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及托运限制如表1-2且甲种货物最多托运4件，问两种货物各托运多少件，可获利最大。

例3 投资场所的选择某公司计划在市区的东、南、西、北四个区建立销售门面，拟议中有10个位置Ai(i=1,2, (10)可供选择，考虑到各个地区居民消费水平以及居民的居住密度，规定在东区A1,A2,A3三个点中至少选择两个；在西区A4,A5两个点中至少选择一个；在南区A6,A7两个点中至少选择一个；在北区A8,A9,A10三个点中至少选择2个。

另外，投资总额不能超过720万元，问应该选择哪几家销售点，可使得年利润为最大？例4 固定成本问题高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器的各种资源的数量如表1-3所示不考虑固定费用，每种容器出售一只的利润分别为4万元，5万元，6万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月。

例5 路灯照度问题在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何使得路面上最暗和最亮的点的位置？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果将如何？例6 某部门有三个生产同一产品的工厂（产地），生产的产品运往四个销售点（销地）出售，各个工厂的生产量、各销地的销量（单位：吨）、从各个工厂到各个销售点的单位运价（元/吨）如下表，研究如何调运才能使得总运费最小。

一、某企业生产A 、B 、C 三种产品，装配工作在同一生产线上完成，三种产品装配时的工作消耗分别为6小时、8小时和10小时，生产线每月正常工作时间为200小时，三种产品销售后每件可分别获利500元、650元和800元，每月预计销量为12台、10台和6台，有关经营目标如下：P1：利润指标不少于每月16000元；P2：充分利用生产能力；P3：加班时间不超过24小时；P4：产量以预计销量为标准。

为确定生产计划，试建立该问题的相关模型。

解：设每月生产A 、B 、C 产品分别为x1、x2、x3台，总偏差为Z 。

)(min 6655444332211+-+-+-+--++++++++=d d d d d d P d P d P d P Z⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+=-+++=-+++=-++++-+-+-+-+-+-+-6,5,4,3,2,1;0,,,,610122241086200108616000800650500321663552441333212232111321i d d x x x d d x d d x d d x d d x x x d d x x x d d x x x i i二、某工厂生产两种产品录音机和电视机，在甲、乙两车间的单件工时及其它相关资料如下表所示：度目标为：P1：检验和销售费每月不超过4600元；P2：每月售出录音机不少于50台；P3：甲、乙车间的生产工时得到充分利用（重要性权系数按两个车间每小时费用的比例确定）；P4：甲车间加班不超过20小时。

问：试确定该厂为达到以上目标的月度计划生产数。

（要求建立相关的运筹学模型，不需求解）解：设每月生产录音机X 1台，电视机X 2台，总偏差为Z+---+++++=544332211)4(min d P d d P d P d P Z⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-++=-++=-+=-+++-+-++-+-+-+-5,4,3,2,1;0,,,2015031202504600305021553442133212211121i d d x x d d d d d x x d d x x d d x d d x x i i三、某厂拟生产甲、乙两种产品，每件利润分别为20元、30元。

线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。

工厂有两个生产车间：车间1和车间2。

生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。

每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。

我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。

二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。

假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。

目标规划的数学模型例子【例7.7】某厂生产两种产品A ，B ，每生产一台需占用装配线一小时，装配线每周计划开动40小时，预计市场每周产品A 的销量是24台，每台可获利80元，产品B 的销量是30台，每台可获利40元，该厂确定目标如下：P1：充分利用装配线每周计划开动40小时；P2：允许装配线加班，但加班时间每周不超过10小时；P3：装配产品的数量尽量满足市场需要，因产品A 的利润高，取其权系数为2。

试建立该问题的目标规划模型。

解：设x1,x2分别表示产品A 和B 的产量，问题的目标规划模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-)4,3,2,1;,2,1( 0,,3024504044233122211121i j d d x d d x d d x d d x x d d x x i i j 【例7.8】 某计算机制造厂生产A 、B 、C 三种型号的计算机，它们在同一条上产线上装配，三种产品工时消耗分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台1000元、1440元、2520元，该厂 经营目标如下：P 1: 充分利用现有工时，必要时可以加班。

P 2: A 、B 、C 的最低产量分别为5,5,8台，并依单位工时的利润比例确定权系数。

P 3: 生产线的加班时间每月不超过20小时。

P 4: A 、B 、C 三种产品的月销售量指标分别为10台，12台，10台，并依单位工时的利润比例确定权系数。

试建立目标规划模型。

解： 设A 、B 、C 三种产品的产量分别为x 1,x 2,x 3，单位工时利润分别为1000/5=200，1440/8=180，2520/12=210，单位工时利润比例设为20:18:21，故得目标规划模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=-+=-+=-+=-+=-+=-+=-+=-++++-+-++-+-+-+-+-+-+-)8,,2,1;3,2,1( 0,,20101210855170128588177366255144333222111321 i j d d x d d d d d x d d x d d x d d x d d x d d x d d x x x i i j )211820()211820(min 765483432211---+----+++++++=d d d P d P d d d P d P Z 【例7.9】 某研究所现有科研人员38人，定编人数42名，人员的工资级别与各级人员定编数如下表所示。

线性规划经典例题一、问题描述假设你是一家制造公司的生产经理，你需要决定每个月生产两种产品A和B 的数量，以最大化公司的利润。

产品A和B的生产需要消耗不同的资源，并且有不同的利润率。

你需要使用线性规划来确定最佳的生产计划。

二、问题分析1. 目标：最大化利润2. 变量：产品A的生产数量（记为x），产品B的生产数量（记为y）3. 约束条件：- 资源1的消耗：每个单位产品A需要消耗3个单位的资源1，每个单位产品B需要消耗2个单位的资源1。

资源1的总量为100个单位。

- 资源2的消耗：每个单位产品A需要消耗2个单位的资源2，每个单位产品B需要消耗4个单位的资源2。

资源2的总量为80个单位。

- 生产数量的非负性：产品A和B的生产数量不能为负数。

三、数学建模1. 目标函数：最大化利润利润 = 利润率A * 产品A的生产数量 + 利润率B * 产品B的生产数量利润率A = 10，利润率B = 15目标函数：maximize 10x + 15y2. 约束条件：资源1的消耗：3x + 2y <= 100资源2的消耗：2x + 4y <= 80生产数量的非负性：x >= 0，y >= 0四、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以得到最佳的生产计划。

五、结果分析最佳的生产计划为：产品A的生产数量为20个单位产品B的生产数量为15个单位利润为(10 * 20) + (15 * 15) = 200 + 225 = 425六、敏感性分析通过敏感性分析，可以了解到资源量的变化对最佳生产计划和利润的影响。

1. 资源1的敏感性分析当资源1的总量增加时，最佳的生产计划和利润会发生怎样的变化？假设资源1的总量增加了10个单位，即资源1的总量为110个单位。

重新求解线性规划问题，得到新的最佳生产计划和利润。

最佳的生产计划为：产品A的生产数量为25个单位产品B的生产数量为20个单位利润为(10 * 25) + (15 * 20) = 250 + 300 = 550可以看到，资源1的增加导致了最佳生产计划中产品A和B的生产数量的增加，从而提高了利润。

目标规划例题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--目标规划某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C 三种设备，关于产品的赢利与使用设备的工时及限制如表 2 所示。

问该企业应如何安排生产，才能达到下列目标：表 2甲 乙 设备的生产能力（h ）A (h/件) 2 2 12B (h/件) 4 0 16C (h/件) 0 5 15赢利（元/件） 200 300（1）力求使利润指标不低于 1500 元；（2）考虑到市场需求，甲、乙两种产品的产量比应尽量保持 1:2；（3）设备 A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4）设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 既要求充分利用，又尽可能不加班。

在重要性上，设备B 是设备C 的 3 倍。

建立相应的目标规划模型并求解。

解 设备 A 是刚性约束，其余是柔性约束。

首先，最重要的指标是企业的利润，因此，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持 1:2 的比例，列为第二级；再次，设备B,C 的工作时间要有所控制，列为第三级。

在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的三倍，因此，它们的权重不一样，设备B 前的系数是设备C 前系数的 3 倍。

设生产甲乙两种产品的件数分别为x1, x2, ，相应的目标规划模型为 min z = P1d1- + P2 ( d2+ + d2- ) + P3 ( 3d3+ + 3d3- + d4+ )121211122213324412221220030015002040515,,,0(1,2,3,4...)i i x x x x d d x x d d x d d x d d x x d d i -+-+-+-+-++≤⎧⎪++-=⎪⎪-+-=⎪⎨+-=⎪⎪+-=⎪≥=⎪⎩LINGO 程序编码model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=;goal= 0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;wplus=0 1 3 1;wminus=1 1 3 0;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)* dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));End程序解释当程序运行时，会出现一个对话框。

实验二：目标规划一、实验目得目标规划就是由线性规划发展演变而来得，线性规划考虑得就是只有一个目标函数得问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有得还相互矛盾。

这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。

熟悉目标规划模型得建立，求解过程及结果分析。

二、目标规划得一般模型设)...2,1(n j x j =就是目标规划得决策变量，共有m 个约束就是国内刚性约束，可能就是等式约束，也可能就是不等式约束。

设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束得偏差就是),...,2,1(,l i d d i i =-+。

设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。

在同一个优先级k p 中，有不同得权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。

因此目标规划模型得一般数学表达式为： min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k kd w d w p z 11);(s 、t 、,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= .,...2,1,0,,,...,2,1,,,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x ci i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。

四、实验内容及步骤1、打开LINGO ，并利用系统菜单与向导在E 盘创建一个项目。

目录与项目名推荐使用学生自己得学号。

2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序得可读性。

例2、1：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。

企业得经营目标不仅仅就是利润，还需要考虑多个方面：（1） 力求使利润不低于1500元；（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品得产量比应尽量保持1：2；（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。