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黎曼的伟大猜想：素数之魂(上) 与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题2019年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。
在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。
距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。
那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。
这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地方，那就是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。
那个难题就是“黎曼猜想”。
黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。
素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。
这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。
从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。
素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。
黎曼猜想到底是什么意思？2018年，89岁⾼龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵⼠举⾏了他最后⼀次公开的数学报告：这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个⽉，⽼爷⼦就溘然长逝。
这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进⾏审查。
哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破⽅向，这在数学史上也层出不穷。
留待学界、时间来检验吧。
但是，黎曼猜想：函数的所有⾮平凡零点的实部都是。
到底说了什么，能让这位耄耋⽼⼈在⽣命的最后⼀刻依然向它发起冲锋；让⼀代代的数学家为之魂系梦绕（⼤数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第⼀件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。
逝者安息，⽣者传承，下⾯就以我们的⽅式尽量数普⼀下黎曼猜想，把⽼爷⼦这份执着传递⼀⼆，把⽆数数学家的这份执着传递⼀⼆。
1 素数⼤于 1 的⾃然数中，除了 1 和该数⾃⾝外，⽆法被其他⾃然数整除的数称为素数（Prime Number），⽐如 2、3、5、7、11、。
我们知道素数是⽆穷的[1]，也可以通过埃拉托斯特尼筛法[2]筛出有限个的素数：但对于素数的整体了解依然⾮常少，素数似乎是完全随机地掺杂在⾃然数当中的⼀样，下⾯是1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877、881、883、887 ⼜突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数⼀样多）：别说素数的精确分布了，就是随机抽取⼀个⾜够⼤的⾃然数出来，要检验它是否是素数都需要经过⼀番艰苦的计算。
以研究素数为核⼼的数论，在数学家眼中就是：数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。
----⾼斯你可能会有⼀个疑问，研究素数⼲嘛？可以改善⽣活吗？提⾼寿命吗？粮⾷增产吗？移民⽕星吗？当然可以给出⼀些现实的理由，⽐如流⾏的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的⼀些理论。
但是随着了解的深⼊，我发现对于数学家⽽⾔这些根本不重要，不⾜以构成驱使他们前进的动⼒。
理解最伟大的数学猜想——黎曼猜想昨天写了一篇文章，证明了所有自然数之和等于-1/12，很多小伙伴留言：老胡你真是胡说科学、混淆视听、怎么可能、逻辑错误……同学们都很厉害，但是大家比较谦虚，很少能说出问题的关键，这里涉及到一个非常著名的数学猜想：黎曼猜想，和一个数学概念：解析延拓！废话少说，进入正题！可以说，如今纯数学中最重要的未解决的证明就是黎曼假设了，该假设与素数的分布密切相关。
理解这个问题所需的基本技术之一称为解析延拓，这是本文的主题。
解析延拓是一种来自于数学分支复分析的技术，用于扩展复解析函数的定义域。
•图1:解析延拓技术在自然对数(虚部)上的应用示意图一些重要的数学概念在介绍这项技术之前，我将简要地解释一些重要的数学概念。
泰勒级数假设我们想求某个函数f(x)的多项式近似。
多项式是由变量和系数构成的数学表达式。
它们涉及基本操作(加法、减法和乘法)，并且只包含变量的非负整数指数。
一个n次变量x的多项式可以写成：•方程1：一元x次n的多项式图2:3次和4次多项式图现在假设多项式有一个无穷大的次数(它是由无限项的和给出的)。
这种多项式称为泰勒级数(或泰勒展开)。
泰勒级数是函数的无限项和的多项式表示。
级数的每一项都是由f(x)在一个点上的导数值，关于点a处的泰勒级数的形式为：•方程2:一个关于a的函数f(x)的泰勒级数其中上标(0)、(1)…表示f(x)的导数在x=a时的阶数。
人们可以使用一个多项式来近似一个函数，而该多项式对应的泰勒级数的项数是有限的。
这种多项式叫做泰勒多项式。
在下面的图中，函数f(x) = sin x的几个泰勒多项式被显示出来。
•图3:泰勒多项式与越来越多的项显示。
黑色曲线是sin(x)其他的近似是1、3、5、7、9、11、13次泰勒多项式f(x) = sinx的前四个泰勒多项式由：•方程3:f(x) = sinx的泰勒多项式，阶数为1、3、5、7。
它们在上图中被绘制(连同高阶展开)。
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。
千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。
我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。
）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。
“素数之恋”——黎曼假设的神秘世界一个仍未确定解决的重要谜题比哥德巴赫猜想重要性大得多的谜题据说一些数学家愿用灵魂换答案的谜题Riemann Hypothesis (RH)以尽量简洁的陈述说明黎曼假设，共5部分：1.黎曼假设的表述2.问题源头的初等问题3.黎曼假设的提出4.历史进展5.意义和对我们的影响•一、黎曼假设的表述：ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2（这个陈述看起来不太友好，然而无法更精简了，这也是没有广泛流传的原因）这里有三个关键词：ζ函数、零点、非平凡（哦，对了，可能还要加上“实部”这个词）但是——但是一上来就解释这三个词，会不那么有趣，所以先记住这三个关键词，进入第二部分，回头再解释这个表述。
•二、问题源头的初等问题1. 素数(Prime number)、素数定理、高斯黎曼假设看起来太遥远，所以说要先来点简单明了的，比如说素数。
素数即质数，我们认识质数通常是在小学5年级课本，并且需要背诵前8个质数：2、3、5、7、11、13、17、19当然，我们也可以把110以内的质数都列出来，并以适当布局排列，会很好记2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109特别是中间两行，注意到了么：尾数几乎一致，且每10个自然数中的质数个数很齐整。
质数的重要性，学过小奥的都知道，就不再解释了。
如果不熟悉质数也没关系，高斯，这位数学王子，连小朋友都是熟悉的，当然，主要是那个速算1~100的和的故事。
然而在他稍大一点的时候，还有另一个故事，就是他从15岁开始，每天“休闲一刻钟”的空闲，用来计算连续1000个自然数中有多少个质数，差不多坚持了1000个1000（也就100万）。
看起来没什么了不起，嗯。
不过我们可以试着处理一个数字：20291，才2万多，这是他第21天就会遇到的1000个数字之一，那么这个数是不是质数呢？——欢迎使用计算器O(∩_∩)O实际上高斯计算了四五年，在19岁猜想了质数在数字中出现的频率：在前N个自然数中，大约有N/lnN 个质数（其中lnN是以e为底的对数运算）这个结论后来被改进的更加精确：前x个自然数中，质数的个数约为Li(x)（其中Li(x)是一个积分式）这个结论叫做素数定理，简称PNT（能猜出是哪几个单词的缩写么？）PNT可以通过枚举来做一些验证，但并不是个简单易证的定理，至少直到高斯甚至直到黎曼去世的时候，素数定理还没有公布于众的任何证明。
Riemann 猜想漫谈- 卢昌海 -If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. - H. Montgomery目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Hardy 的电报 Riemann ζ 函数与 Riemann 猜想 素数的分布 Riemann 的论文 - 基本思路 Riemann 的论文 - 零点分布与素数分布 错钓的大鱼 从零点分布到素数定理 零点在哪里？ Riemann 的手稿 探求天书 Riemann-Siegel 公式 休闲课题：围捕零点 从纸笔到机器 最昂贵的葡萄酒 更高、 更快、 更强 零点的统计关联 茶室邂逅 随机矩阵理论 Montgomery-Odlyzko 定律 Hilbert-Pólya 猜想 Riemann 体系何处觅？ Bohr-Landau 定理 Hardy 定理 Hardy-Littlewood 定理 数学世界的独行侠 临界线定理 Levinson 方法 艰难推进 哪里没有零点？ - 未完待续 - 附录一： 超越 ZetaGrid -Riemann 猜想漫谈 (一) - 卢昌海 -If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. - H. Montgomery 返回目录Bernhard Riemann 一. Hardy 的电报 让我们从一则小故事开始我们的 Riemann 猜想之旅吧。
黎曼猜想其实大部分人都知道，如果用一句话概括就是黎曼函数的非平凡零点的实部都是。
想介绍黎曼猜想势必离不开对黎曼函数的介绍，我们就一步步的先从最简单的说起吧。
我们先从一个大家都知道的概念出发——数列。
照字面意思解释就是数的排列，比如下面几个例子都是数列1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……2 4 8 16 32 64 128 256……45 26 15 78 34 67 839 1234 542 779……很显然第一个是自然数的数列，第二个是个公比为2的等比数列，很多学霸肯定在拼命的计算第三种是啥数列，在这里鞠个躬，不好意思没啥规律，就是个随机数的排列，这其实也是个数列。
对于第一个数列，它的第1项是1，第2项是2，第3项是3，第n项是n；对于第二个数列，它的第1项是21，第2项是22，第3项是23，第n项是2n。
n和2n就是所谓的通项，就是用项数n来表示数列第n项的值。
我们一般用Sn表示数列前n项的和，初中数学教过我们等比和等差数列的求和公式，这里不列出了，因为和题目没什么关系。
说穿了级数就是数列前n项求和，就是我们上面提到的Sn，只不过换了一个更高大上的名字而已。
无穷级数顾名思义，就是数列无穷项求和的值（这个值不一定存在）。
这个概念看似复杂，其实只是说上面提到的无穷级数的和是否存在的问题。
如果存在就说级数收敛，如果不存在就说级数发散。
这里所说的存在是要一个确定的具体的数，无穷大不算。
（当然收敛还分绝对收敛和条件收敛，这里并不牵涉到，就暂时不说了）调和级数指的是这么一个特殊的无穷级数，它是从1开始所有自然数的倒数的和，如下：这个级数非常重要，请容许我这里多废话几句。
14世纪晚期，奥雷姆提出了对于调和级数趋于无穷大的证明，这个证明在今天看来也是十分简单易懂的。
推导过程如下：数学上对于这些级数以及无穷大和无穷小的量的研究被统称为分析。
此后大数学家欧拉也对调和级数有更深入的研究，在1748年出版的关于分析的教科书中把它叫做《无穷小的分析引论》。
