用几何分析磁偏转 学法指导

教育研究86课程教育研究电偏转和磁偏转是电磁学中的两种常见偏转，二者既有一定的联系也有区别，是近些年高考的特点问题，由于二者的概念比较抽象，学生理解起来比较困难，本文主要对电偏转和磁偏转求电子荷质比进行分析。

物理教材粤教版选修3-5的第三章《原子结构之谜》的第一节是《敲开原子的大门》。

本节课文除了对物理学史的介绍以外，还有一个重要的内容，就是利用电场和磁场对电子的作用求出电子的荷质比。

关于荷质比的求法，笔者对于课本的编排和叙述方式存在一定异议。

我们先来看看课本是如何叙述电子荷质比求法的：“为了进一步确定阴极射线的成分，汤姆生决定测量阴极射线中带电粒子的荷质比，即电量和质量的比值。

他的基本思想是，一个质量为m 、电荷为e 的带电粒子以速率v 垂直进入磁场B 中，如果粒子仅受磁场力的作用，将做圆周运动，向：只要确定了粒子运动的速率及半径，就可以测出荷质比。

……然而，上式中的半径r 不容易测量，有没有其他办法呢？”这里首先提出可以用洛伦兹力提供向心力的方法来计算，但由于r 不易求出转而提出疑问，引导学生尝试其他方法。

接下来进入了“讨论与交流”部分：“设平行板M 、N 间的间距为h ，板的水平长度为d 。

首先是阴极射线仅受电场力作用并达到最大偏转，测出此时的场强E ，随后保持E 不变，外加磁场使射线回复水平不再偏转，测出此时的磁感应强度B 。

1.请证明粒子的初始速率v2.请证明射线粒子荷质比的表达式为从这个“讨论与交流”可以看出，了电子在匀强磁场中做匀速圆周运动（即磁偏转）的解（即电偏转）。

可是在“讨论与交流”下面的课文中又说道：：通过使阴极射线在电场作用下达到最大偏转，从而将不易测量的物理量半径r 转换为容易测量的平行板间距h 和平行板长度d 。

”这样一来，课本似乎是在提醒学生，如果能求出半径间距h 及平行板长度d 之间的关系，就能利用解出，这显然与“讨论与交流”使用电偏转的方法相违背。

这给自主学习的学生带来很大的困惑。

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分析磁偏转类问题的方法与思路
作者：苏军
来源：《中小学教学研究》2012年第12期
带电粒子在磁场中的偏转问题是高中物理的重要内容，也是历年来各省市高考命题的重点和热点，笔者从事高三物理教学多年，结合教学实践就此类问题的分析方法及思路做一剖析，以期对爱好物理和高三应考的同学有所帮助。

一、几何对称法
粒子的运动轨迹关于入射点和出射点的中垂线对称.
靠近M点发射出来的带电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。

所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0.
（责任编辑：张华伟）。

用几何分析磁偏转1. 确定圆心的位置一般有两种方法：（1）圆的切线垂直于过切点的直径。

作出粒子在运动轨迹中任意两点（一般取射入和射出磁场的两点）速度的垂线，两垂线的交点即为圆心。

（2）弦的中垂线过圆心。

作出某一点速度的垂线，再作一条弦的中垂线，它们的交点即为圆心。

要注意运用圆周运动的对称规律：从某一直线边界射入磁场的粒子，再从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；沿径向射入圆形磁场区域的粒子，必沿径向射出。

例1. 如图1所示，在的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。

一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为。

若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比。

分析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，将沿图2的轨迹运动，并从A点射出磁场，射出时速度的大小仍为。

由圆周运动的对称性知，射出方向与x轴的夹角仍为。

由O、A两点速度的方向（或根据弦的中垂线过圆心的特性）可以确定圆心C的位置。

由几何关系得：再由，可得：2. 求半径圆心一确定，即可根据直角三角形的性质或相交弦定理求半径。

例2. 如图3所示，两块长为L、间距为d的平行金属板水平放置于方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场中。

质量为m、电量为q的质子，从左端正中间的A处水平射入。

为使质子从右端飞离磁场，入射速度应满足什么条件？分析：质子不打在极板上的临界轨迹如图4中的圆弧AB ，作出与其对称的圆弧AD ，设质子做匀速圆周运动的半径为R ，根据相交弦定理得：L d R d 2222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪则R L d d=+4422（也可以由勾股定理L R d R 2222+-⎛⎝⎫⎭⎪=求得）。

再由，得：()v Bq L d dm=+4422所以，要使质子从右端飞离磁场，需满足()v Bq L d dm>+44223. 求运动时间粒子在磁场中的运动时间与其转过的圆弧所对应的圆心角成正比，这里常用到“偏向角等于做圆周运动的圆心角”。

巧用角平分线性质妙解磁偏转临界问题作者：董刚来源：《理科考试研究·高中》2017年第11期摘要：以一个常见的磁偏转临界问题为例，指出角平分线性质在几何作图中的重要性，同时总结出此类问题确定圆心的通用方法，将动态圆问题转化为固定圆问题处理，并通过变式达到触类旁通之效果.关键词：角平分线性质；磁偏转；临界问题带电粒子在磁场中的偏转问题是高考热点问题，该题型较多运用简单的初中几何知识，在平时的习题教学中，教师通常会高估学生的几何水平，对于习题的处理蜻蜓点水，一带而过，更谈不上规范精准的几何作图，久而久之学生也懒得作图或者随手乱画，这将影响到思维能力的提升，所以规范的几何作图非常重要.下面以常见的直线型边界的临界问题为例，总结角平分线性质在此类问题作图中的重要性.一、案例分析及总结题目如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，宽度为D.一带电粒子从左边界外侧以速率v垂直射入匀强磁场，入射方向与左边界间夹角为θ.已知微粒的质量为m，电量为+q，重力忽略不计，为使带电粒子不会由磁场右边界射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大？分析带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，在初速度大小确定的情况下，磁感应强度越小，偏转半径越大，当磁感应强度控制到一个临界值时，粒子恰好不从磁场右边界射出，此时的运动轨迹与右边界相切.由几何关系，运动轨迹上有两个点分别在左右边界上，圆心一定在与入射速度垂直的直线上，且圆心到入射点的距离和到边界切点的距离相等，即为半径R.由角平分线的性质定理“角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等”可知，圆心一定在入射方向和右边界夹角的角平分线上，如图2所示.解答如图2所示，设此时粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，由几何关系知R+Rsinθ=D，由牛顿第二定律可得qvB=mv2R，联立可得B=mvqR=mvqD（1+sinθ）.若带电粒子不射出磁场，磁感应强度B至少为mvqD（1+sinθ）.总结带电粒子在有界匀强磁场中偏转，恰好不从另一直线边界穿出的临界条件是轨迹圆与此边界相切，入射速度的垂线和入射速度方向的延长线与轨迹圆相切边界夹角的角平分线的交点即为圆心.二、在矩形边界约束问题中的应用例1如图3所示，在0≤x≤a、0≤y≤a2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：（1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.分析本题给定的情形是粒子轨道半径R和周期T大小确定，但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，所以是个动态圆问题.但考虑到最后离开磁场区域的粒子运动时间最长，所以轨迹对应的圆心角最大（且为90°）、弦长最长，故粒子应该从右边界某一点离开磁场，且运动轨迹必定和上边界相切.设最后离开磁场的粒子从粒子源射出时速度方向与y轴正方向的夹角为α，由前面结论粒子入射速度的垂线和入射速度方向的延长线与上边界夹角的角平分线的交点即为圆心，并画出轨迹图如图4所示，然后借助几何关系求解.解答设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律得：qvB=mv2R，解得：R=mvqB.由几何关系得：Rsinα+a2=R，Rsinα+Rcosα=a又∵sin2α+cos2α=1解得：R=（2-22）a，v=（2-62）aqBm，sinα=6-610三、在角形边界约束问题中的应用例2如图5所示，在POQ角形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.有一束正离子流（不计重力）沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边界射入磁场，已知OA=d，∠POQ=45°，离子的质量为m、带电量为q，要使离子不从OP边射出，则离子进入磁场的速度最大不能超过.解析离子不从OP边射出，临界轨迹圆弧与OP相切，由前面结论可快速找出轨迹圆的圆心O′，如图6所示.在Rt△OO′B中，O′B为轨道半径R，OO′=d-R=2R，得R=d2+1=（2-1）d，根据牛顿第二定律得：qvB=mv2R，解得：R=mvqB，联立可得：v=（2-1）qBdm.即学即练（2016全国新课标Ⅲ理综卷第18题）平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图7所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）.粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）A.mv2qBB.3mvqBC.2mvqBD.4mvqB参考答案由前面结论可迅速找到圆心，从而画出运动轨迹，发现轨迹与ON的交点和OM 上的出射点的连线恰好为轨迹圆的直径，由几何关系可知选项D正确.四、在三角形边界约束问题中的应用例3如图8所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m的粒子从距A点3a的D点垂直于AB方向进入磁场.若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？分析粒子速度越大其轨道半径越大，由图8可知速度过大将会从BC边射出，速度过小又会从AB边射出.为了使粒子从AC边射出，速度必须限定在某一个范围内，即需要找到两个临界圆弧，一个过D点与BC边相切，另一个过D点与AC边相切，由几何关系确定两圆弧的半径即可确定速度的范围，也可确定粒子从AC间射出的范围.解答过D点作速度的延长线，交BC边于M点，交AC的延长线于N点，由前述结论可得出两临界圆的圆心分别为O1和O2，如图9所示.由几何关系，∠DMO2=75°，DM=BDtan60°=（2-3）3a=（23-3）a，R2=O2D=DMtan75°=（23-3）（2+3）a=3a，其中tan70°=2+3，由此可知O2与A点重合.R1sin60°+R1=3a，解得R1=3（2-3）a，根据牛顿第二定律得：qvB=mv2R，解得：R=mvqB，将R1=3（2-3）a和R2=3a代入可得，v1=3（2-3）aqBm，v2=3aqBm，所以粒子速率应满足3（2-3）aqBm五、结语利用角平分线的性质定理得到直线边界临界圆圆心的特殊方法，将以往此类问题解答方法中的动态圆直接定格为临界圆，由几何关系达到准确求解之目的，在教学中值得推广应用.。

磁聚焦与磁发散•常规磁聚焦与磁发散一束平行粒子经有界磁场偏转后会聚于一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从一点向不同方向经有界磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散砮如图砱所示，当圆形磁场区域半径R与轨迹圆半径r相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射人圆形磁场的粒子全部平行射出，方向与过该点的磁场圆直径垂直（磁发散）砮反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且过该点的磁场圆直径与粒子的入射速度方向垂直（磁聚焦）砮证明：如图砲所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心砮图中AO、OC、CB、BA的长度均为R，故AOCB为菱形砮由几何关系可知CB//AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直砮反之也成立砮微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从应强度的大小与方向砮与硸轴相交的区域，并说明理由砮速度变为砲v，那么它们与x轴相交的区域又在的带电微粒在恰好没有磁场力，则会射向x轴的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．相交的区域范围是x>砰.•其他磁聚焦与磁发散方式（砱）叶子型磁场如图破所示，两个半径R相等的四分之一圆弧相交的部分存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，带正电的粒子从O点以相同的速度v向第一象限入磁场砮当R 砽mvqB，即粒子的轨迹半径与磁场半径相等时，粒子将平行硸轴射出砮反之，逆过程也成立，平行射入磁场的粒子会从同一点射出砮（砲）蝴蝶型磁场如图砵所示，在xOy 平面上有一片稀疏的电子处在−H <y <H 的范围内，从x 负半轴的远处以相同的速率v 沿着x 轴正方向平行地向y 轴射来砮当H 砽mveB 1，即电子在y 轴左侧区域的轨迹半径与磁场半径相等时，由“叶子型”磁场的磁聚焦原理可知电子会全部经过坐标原点当砲H 砽mveB 2，即电子在y 轴右侧区域的轨迹半径与磁场半径相等时，由“叶子型”磁场的磁聚焦原理可知电子会平行x 轴射出，且射出区域为−砲H <y <砲H 砮（砳）抛物线型磁场如图砶所示，质量均为m ，电荷量均为砫q 的一簇粒子在P 砨−a,砰砩点朝xOy 上半平面各个方向以速率v 散开，垂直于xOy 平面的匀强磁场将这些离子汇聚于R 砨a,砰砩点，设粒子间的相互作用可以忽略，磁感应强度大小为B ，则磁场的边界该如何？圆形磁场根据圆形磁场的磁聚焦与磁发散原理，只需要在硹轴左右两侧添加圆形磁场即可，如图所示砮磁场区域的圆心分别为砨−a,r 砩、砨a,r 砩，且磁场区域半径需满足r 砽mv qB抛物线型磁场离子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场做匀速直线运动砮因为硐、硒相对硹轴对称，因此离子的运动轨迹、磁场区域必然关于硹轴对称砮如图所示为离子在第一象限内的运动轨迹砮设轨迹圆心在砨砰,b砩点，半径为r砽mvqB，离子在磁场边界点砨x,y砩外切费力圆轨道指向R点砮由相似三角形的知识，可得y−b x 砽a−xy①因为砨x,y砩点在圆轨道上，所以有x2砫砨y−b砩2砽r2②将①2带入②可得砨r2−x2砩y2砽砨a−x砩2x2同理在第二象限有砨r2−x2砩y2砽砨a砫x砩2x2故磁场边界可表示为y砽x砨a−x砩砨r2−x2砩砻x 砰y砽−x砨a砫x砩砨r2−x2砩砻x<砰下面分几种情况来讨论可汇聚于R点的离子发射角度的范围ϕ及磁场区域砮硉砮若设r<a，即mvqB<a，离子束中射出角ϕ<砹砰◦的离子均可汇聚于R点，而ϕ 砹砰◦的均不能到达R点，如图所示砮硉硉砮若设r砽a，即mvqB砽a，离子束中射出角ϕ 砹砰◦的离子均可汇聚于R点，而ϕ>砹砰◦的均不能到达R点，如图所示砮硉硉硉砮若设r>a，即mvqB>a，离子束中射出角ϕ ϕmax砽硡硲硣硴硡确a√r2−a2的离子均可汇聚于R点，如图所示砮部分布在Oa边 部分布在ab边布在ab边 部通过b点•磁聚焦的应用——磁透镜（砱）磁透镜的概念磁透镜是指能够把匀速带电粒子束会聚，并且把这样的束程中的物体形成像的轴对称磁场砮这样的磁场砨磁透镜砩可以由螺线管、电磁铁或永磁体产生砮用于电子和离子显微镜、带电粒子加速器及其他装置中砮（砲）磁透镜聚焦的原理如果一个带电粒子进入匀强磁场时，其速度v的方向与磁感强度硂的方向成任意角度θ，则可将v分解成平行于B和垂直于B的两个分量v//和v⊥砮因磁场的作用，垂直于B的速度分量v⊥虽不改变大小，却不断改变方向砮在垂直于B的平面内作匀速圆周运动，平行于B的速度分量v//不变，其运动是沿B方向的匀速直线运动，这两种运动的合成，为螺旋线运动砮此带电粒子作螺旋运动时，螺旋线的半径砨即电子在磁场中作圆运动的回旋半径砩为r砽mv⊥qB砽mv硳硩确θqB粒子每转一周前进的距离称为螺距，用符号表示，则：s砽v//T砽v硣硯硳θ·砲πm qB上式中的T是粒子转过一周所需的时间，称为回转周期砮在匀强磁场中某点A处有一束带电粒子，当带电粒子的速度v与B的夹角很小、各粒子速率v大致相同时，这些粒子具有相同的螺距砮经一个回转周期后，他们各自经过不同的螺距轨道重新会聚到A 点砮发散粒子依靠磁场作用会聚于一点的现象称为磁聚焦，它与光束经光学透镜聚焦相类似砮实际应用中，更多利用它产生的非匀强磁场聚焦，短线圈的作用类似光学中的透镜，称为磁透镜，也可用于电子显微镜中砮学透镜成像时，物距L1、象距L2、焦距f三者之间满足关系式：砱f 砽砱l1砫砱L2由于光学透镜的焦距f是不能改变的，要满足成像条件，必须同时改变L1和L2砮与光学透镜相似，电磁透镜成像时也必须满足关系式砬但磁透镜的焦距可以通过改变线圈中通过电流的大小来调节砮采用磁透镜成像时，可以在固定L1的情况下，改变f和L2来满足成像条件；也可以保持L2不变，改变f和L1来满足成像条件砮方向向左射入磁场，将由CO答案硁硄O解析硁．由题意可知，粒子由圆周上的M点沿平行OD方向向右射出磁场，则粒子在磁场中向右偏转，粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力与v垂直向上，由左手定则可知，粒子带负电，故硁正确；硂．粒子带负电，若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场，由左手定则可知，粒子将向上偏转，粒子不会从C点射出磁场，故硂错误；硄．有磁聚焦规律可知，粒子运动的半径与磁场的半径相等，则有R砽mv qB解得B砽mv qR故硄正确；硃．粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r 砽R ，从C 点以速度v 沿纸面射入磁场、速度v 的方向与CO 夹角为砳砰◦的粒子运动轨迹如图所示CO MO 是菱形，O 点一定在运动轨迹上，即粒子运动过程中经过O 点，故硃错误.时，常常将其分解为两个简单的运动形式，你认为？O 答案砨砱砩电子的螺旋运动可分解为P O 方向的匀速直线运动和垂直P O 方向的匀速圆周运动砨砲砩e m 砽砸π2U B 2l 2O 解析砨砱砩电子沿P O 方向进入，不受力，做匀速直线运动；竖直方向由于洛伦兹力做匀速圆周运动，故电子的螺旋运动可分解为P O 方向的匀速直线运动和垂直P O 方向的匀速圆周运动.砨砲砩从发散点到再次汇聚点，两个方向的分运动时间相等，由t直砽t圆加速电场eU砽砱砲mv2①匀速直线运动t直砽lv②匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力evB砽m v2R③T砽砲πRv砽砲πmeB④t圆砽T⑤①②③④⑤联立解得e m 砽砸π2UB2l2习题砱（$$$）如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速度v沿不同方向射入硉象限，现加一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向砫x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积砮习题砲（$$$$$）如图砨硡砩所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在xOy平面内有与硹轴平行的匀强电场在半径为R的圆形区域加有与xOy平面垂直的匀强磁场，在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置砮它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q砨q>砰砩和初速为v0的带电粒子，已知重力加速度大小为g．（砱）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿硸轴正方向运动，求电场强度和磁感应强度的大小和方向砮（砲）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第硉象限，如图砨硢砩所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积．；方向与x轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运习题砱砮O 答案S min砽砨π−砲砩m 2v 2砲e 2B 2O 解析从O 点射出的电子经磁场偏转后平行射出，由磁聚焦与磁发散的规律可知，在第I 象限存在圆形磁场，且圆形磁场的半径与电子在磁场中运动的半径相同.R 砽mv eB又由电子由不同的方向射入第I 象限，可知磁场区域最小为“叶子型”磁场，如图所示磁场区域的最小面积为S min砽砲砨砱破πR 2−砱砲R 2砩砽砨π−砲砩m 2v 2砲e 2B 2习题砲砮O 答案砨砱砩B 砽mv 0qR ；方向垂直纸面向外砨砲砩S min 砽砨π砲−砱砩R 2O 解析砨砱砩由磁聚焦的规律可知，粒子的运动轨迹与磁场区域的半径相同，即R 砽mv 0qB解得B 砽mv 0qR 由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外.砨砲砩由题意可知，最小磁场区域为“叶子型”磁场，如图所示磁场区域的最小面积为S min 砽砲砨砱破πR 2−砱砲R 2砩砽砨π砲−砱砩R 2习题砳砮O 答案砨砱砩B 砽√砳mv aq 砨砲砩θ砽π砳；S min 砽砨π砲−砱砩R 2O 解析砨砱砩设磁场的磁感应强度为B ，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ，圆心为C ，从D 处射出磁场，其坐标为D 砨x,y 砩，如图砨硡砩所示硒硴码CED ∼硒硴码DGF可得ya −x 砽x √r 2−x 2且P OQ 的曲线方程为y 砽x 砨a −x 砩…a2砳−x 2解得r 砽√砳砳a又r砽mv qB解得B砽√砳mv aq砨砲砩设粒子射入磁场时的速度方向与x轴夹角为θ时，粒子在磁场中运动的轨迹与P Q相切，则运动的时间最长，最长时间为t，如图砨硢砩所示.由几何关系得砲√砳a砳砽r砫y−r硣硯硳θx砽r硳硩确θ解得硳硩确θ砽√砳砲θ砽π砳粒子在磁场中运动时间最长为t砽砲θmqB砽砲√砳πa砹v。

1 例析电、磁偏转的几种情形
带电粒子的电、磁偏转问题在《考纲》中是Ⅱ级要求，也是历年高考考查的重点和热 点.处理电偏转的基本思路与处理平抛运动的思路完全相同，处理磁偏转的基本思路是“画草图、找圆心、定半径”. 下面介绍带电粒子电、磁偏转的五种情形.
1.两次电偏转分别引起x 、y 偏移
例1 从阴极K 发射出的电子经电势差为05000U =V 的电场加速后，沿平行于板面的方向射入两组平行金属板中，如图1所示，两组平行金属板相互垂直，A B 、两板水平，C D 、两板竖直，两组平行金属板大小相同，板长1L =10cm ，板间距离4d =cm ，在距A B 、平行金属板275L =cm 处放置一张有直角坐
标系的记录纸.整个装置放在真空中，电子
的初速度不计.
（1）若只在水平金属板A B 、上加
11000U =V 的直流偏转电压（电势A ϕ＞
B ϕ）
，则电子离开平行板时，竖直方向上偏转的位移S 是多大？ 图1
（2）若在水平金属板AB 、CD 上同时加上直流电压11000U =V （电势A ϕ＞B ϕ，C ϕ＞
D ϕ）
，求电子打在记录纸上的坐标位置.
图2 图3
解析：（1）从阴极K 发射出的电子在0U 中加速，有：2002
1mv qU =
.① 电子在平行金属板中做类平抛运动，有：t v L 01=，②。

巧用圆性质，妙解磁偏转问题七法浙江省诸暨市学勉中学何锋 311811带电粒子（不计重力）在磁场中的偏转问题，是常见的力学、电磁学知识结合的典型综合题，各地高考几乎每年必考。

如：08年高考浙江卷(全国I) 25题（22分）、10年高考浙江卷24题（22分）等，带电粒子的运动轨迹是圆周或圆弧，物理上通常把这种运动称为圆偏转，又叫磁偏转。

分析磁偏转问题要注意两个因素：第一是带电粒子运动的环境——有界磁场，常见的有界磁场形状有圆形、三角形、矩形；第二是运动对象——带电粒子的入射和出射速度（大小和方向）、粒子的电量和质量等相关量。

求解这类问题的关键是：在综合分析以上两个因素的基础上，充分运用圆周的知识（平面几何），确定轨迹圆圆心、半径和粒子的偏转角，获得半径r的长度，再由r=mv/qB求解某些量；或根据r=mv/qB求得半径，找准圆心的位置，作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和物理规律确定有关答案；即：找圆心、求半径、画轨迹。

而圆心的确定是解决这类问题的首要任务，现把确定问题1（简化模型）：如图1所示，离子带负电，与AB成θ角射入磁场区域，A为入射点，B请作出粒子在磁场中运动的轨迹图。

1. 垂直平分线法如图2所示，此法作图步骤如下：（1）过A作直线AC垂直于入射速度v矢量[因为圆心一定在直线AC上，以下各种作法的第一步均与此法（1）相同]；（2）作线段AB的垂直平分线交AC于O；（3）以O为圆心，OA为半径作圆；（4）连接OB，作OB的垂线即为出射速度的方向，弧AB 为粒子在磁场中的运动轨迹。

此法定圆心是（1）、（2）两步，而作弦AB 的垂直平分线是确定圆心的关键，故取名垂直平分线法。

2. 等腰三角形法如图3所示，此法作图步骤为：（1） 过A 点作直线AC 垂直于入射速度v 矢量； （2） 过B 点作∠ABO=∠CAB ，且BO 交AC 于O 点，O 点即为圆心。

（3） 以O 为圆心，OA 为半径作圆，弧AB 即为带电粒子在磁场中的运动轨迹。