2.5.2向量在物理中的应用举例
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2.5.2 向量在物理中应用
练习； 练习； （1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一 ）如图所示，用两条成 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 个灯具，已知灯具的重量为 ， 10N ————。 。 120º
如图，今有一艘小船位于 如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边 宽的河边 P处，从这里起，在下游 l =80m处河流有一 处 从这里起， 处河流有一 处瀑布， 处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 ），水速大小为 （与河岸平行），水速大小为 为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？ 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？ 划速最小时，划速方向如何？ 60m P
Q θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、 分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 由题意， 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ，由题意， 合 船 船的实际速度为向量 水
θ
瀑 布
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示： 它就不会掉下瀑布， 图所示：
V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ，船只要朝着这个方向行 P 提问:表示划船速度的向量怎样画 提问 表示划船速度的向量怎样画? 表示划船速度的向量怎样画 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？ 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
实际问题
物理问题
分析绳子受到的拉力大小与两绳子间的 夹角的关系？ 夹角的关系？
分析建模 ①作受力分析图 建立数学模型（ ②建立数学模型（由向量的平行四 边形法则， 边形法则，力的平衡及解直角三角 形等 ） 解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道. 可以知道
2.5.2向量在物理中的应用举例1
小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线 到达正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 ——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象.
练习.有两个向量 e1 (1, 0), e2 (0, 1), 今有动点P从P0 ( 1, 2)开始沿着与向量
e1 e2相同的方向做匀速运动 , 速度为 | e1 e2 |, 另有一动点Q , 从Q0 ( 2, 1) 开始沿着与 3e1 2e2相同的方向做匀速 运动, 速度为| 3e1 2e2 |, 设P、Q在时 刻t 0秒时分别在P0、Q0处 , 则当PQ P0Q0时，求 t 的值.
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
2.5.2向量在物理中的应用举例
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c
a
(b
c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
2.5.2向量在物理中的应用举例 (3)
D
等边三角形，故 a与OD共线且模相等
所以：OD a,即有：a b c 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提
一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上
运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释
这个现象吗？
F
分析：上述的问题跟如图所示的
是同个问题，抽象为数学模型如
F1
下：
用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
F2 θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题讲解
例1：同一平面内，互成 1200 的三个大小相等的共点力的
合力为零。
A a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
120º O
按照向量的加法运算法则，有：
b
c
a +b +c = a +（b +c）=a +OD B
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
2.一艘船从 O 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂 直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例2
一、向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被 称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们 要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！
1、向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、 加速度、位移等都是向量！
2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减 法，运动的叠加也用到向量的合成！
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
大渐通时变过，小上，2θ 由面因0的此º到式：9子0º，逐有渐：变当大θ，c由os0º2θ到的1值80由º逐大渐逐变
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！
（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流 的速度 v2 = 2km/h。
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被 称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们 要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！
1、向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、 加速度、位移等都是向量！
2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减 法，运动的叠加也用到向量的合成！
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
大渐通时变过，小上，2θ 由面因0的此º到式：9子0º，逐有渐：变当大θ，c由os0º2θ到的1值80由º逐大渐逐变
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！
（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流 的速度 v2 = 2km/h。
2.5.2向量在物理中的应用举例
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: 向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题的转化： 问题的转化 问题； 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 模型的建立： 模型的建立 学模型； 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 参数的获得： 参数的获得 ——理论参数值； 理论参数值； 理论参数值 (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 问题的答案： 问题的答案 回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象. 解决有相关物理现象
课堂小结
两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式：
两角差的余弦公式， 两角差的余弦公式， 首先要认识公式结构的特征， 首先要认识公式结构的特征，了解 公式的推导过程， 公式的推导过程，熟知由此衍变的两角 和的余弦公式.在解题过程中注意角 和的余弦公式 在解题过程中注意角α、 的象限，也就是符号问题， β的象限，也就是符号问题，学会灵活 运用. 运用
探究2: 探究
你能总结用向量解决物理问题的一 般步骤吗? 般步骤吗 (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题的转化： 问题的转化 问题； 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 模型的建立： 模型的建立 学模型； 学模型； 参数的获得： (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 参数的获得 ——理论参数值； 理论参数值； 理论参数值 (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 问题的答案： 问题的答案 回到问题的初始状态， 解决相关物理现象. 解决相关物理现象
探究1： 探究 ：
(1)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少 为何值时， 最小 最小值是多少? 最小， (2)|F1|能等于 吗?为什么 能等于|G|吗 为什么 为什么? 能等于
探究2: 探究
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把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96 km/h
v1
v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时dv1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
勤奋的人会有各种幸运， 懒惰的人则只有一种不幸.
备课：张正勇
情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 夹角越小越省力
情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握 杠才省力? 两臂的夹角越小,手臂就越省力
在生活中，我们有这样的经验：两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体 向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学 的角度解释这个现象吗？
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问 题；
（4）用所得的结果解释物理现象。
小结
物理现象
抽象 概括
解
向量问题
释
利用向量 知识解决
向量问题的解
作业 课本习题2.5A组3,4题
复习 向量是怎样定义的?
小结
物理现象
抽象 概括
解
向量问题
释
利用向量 知识解决
向量问题的解
分析：上述的问题跟如图所示的 是同一个问题，抽象为数学模型 如下：
F1
用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题的数学解释！
F F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
大渐通时变过，小上，2θ面由因的0此º到式：9子0º，逐有渐：变当大θ，由co0sº到2θ 的18值0º由逐大渐逐变
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
（（1答）2：）θ为F在1何能（值等*）时于式，G中吗，F？1最当为小θ 什=，0么最º时？小，值co是s 2θ多最少大？， F1 最小且等于
v
v2
练习；
（1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 —1—0N——。
如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边
P处，从这里起，在下游 l=80m处河流有一
处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 （与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
G 2
答：在（*）中，当 cos
θ 2
=
1 2
即θ=120º时，F1 =
G
小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先
把这一物理问题转化成数学问题。如上题目， 只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！
（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量 问题，用向量的有关法则解决问题！
（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关 的物理现象。
60m
P
120º
Q
θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速
和船它的们实的际合速速度度为为向量V水 、 V船 和 V合，由题意，
V合 =V船+ V水
其方向为临界方向 PQ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
提问:表示划船速度的向量怎样画?
从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
G物体，绳子与垂直方向的夹角为
绳子所受的拉力为F1 ，
F1
O
F2
G
求：1）│F1│，│F2│随角 的变化而变化的情况；
2）当│F1│ 2│G│时，求 的取值范围。
解:1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形
法则知：－G = F1 + F2
F1 －G
解直角三角形得│F1│＝
│F2│＝ ta n │G│
c
o
1 s
│G│，
O
F2
当 由 0 o趋 向 于 9 0 o时 ， │F1│，│F2│皆逐渐增大；
2）令│F1│＝
c
1 os
│G│
2│G│，
(0o,90o)
得 cos 1
2
(0o,60o]
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些 物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么 内容？ 如何解决物理中与向量有关的问题：
物理中的矢量与数学中的向量有区别吗?
物理中有很多量，如力、速度等都是既有大 小又有方向的量——即向量，利用向量的有 关知识来研究物理中的相关问题.
用数学知识解决物理问题，首先要把 物理问题转化成数学问题，即将物理 量之间的关系抽象成数学模型，然后 再通过这个数学模型的研究解释相关 物理现象.
在日常生活中,你是否有这样的经验:两个 人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单 杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越 省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
θ 瀑 布
l
Q
Q
解：由题意知：V合 = V船 + V水
V合的方向
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
602 802 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为：
v船
=
5
×
sinθ
=5
×3
5
=3（m/s）
练习：如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为
例2：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流 的速度 v2 时间是多少？ 500m
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所