高中数学复习学(教)案(第61讲)简单多面体与球
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球与多面体切接问题教学设计《课程标准》指出:几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.教学目标核心素养1.掌握长方体、正方体与球的切接问题2.掌握正四面体与球切接问题三种方法,能运用三种方法解决类似问题1直观想象能直观感受空间正多面体与球内切与外接的位置2数学抽象能由实物抽象出数学平面的直观图,并能具体画出某一截面的情况;能抽象出正方体切截出正四面体的方法。
3逻辑推理能由平面二维的等面积推理到三维等体积4数学计算能通过在截面找到球心位置计算推演出球心精确的位置重点:长方体、正方体、正四面体与球的切接问题难点:正四面体内切球、外接球半径与棱长的关系一复习引入:球的基本性质:性质1:用一个平面去截球,截面是圆______________--截面过球心,半径等于球半径;_______--截面不过球心. 性质2:球心和截面圆心的连线_________于截面性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r , 有下面的关系_________二新课探究1长方体与球探究:长方体的(体)对角线等于球________一般的长方体有内切球吗?设长方体长宽高分别为a,b,c则球的直径为_________练习12正方体与球通过视频学习,以动画的形式,让学生更直观的想象正方体的外接球,棱切球,内切球的情况,加深印象,更容易理解。
探究:棱长为a的正方体的内切球直径为_______棱切球直径为_________外接球直径为_________内切球,棱切球,外接球半径之比_________练习23正四面体与球探究:求棱长为 a 的正四面体 P– ABC 的外接球的半径_____内切球的半径______活动一:法一(截面法)通过建立勾股关系,在RT△OAD中求解外接球半径通过三角形相似,建立数学等量关系,求解内切球半径小组活动:通过小组讨论,运用学过的球的性质,建立几何关系,通过推理运算,得出外接球及内切球半径。
课题一:球与多面体一.复习目标:1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题;2.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法.二.主要知识:1.欧拉公式 ;2.球的表面积 ;球的体积公式 ;3.球的截面的性质: .三.课前预习:1.一个凸多面体的顶点数为20,棱数为30,则它的各面多边形的内角和为 ( )()A 2160 ()B 5400 ()C 6480 ()D 72002.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积是 ( )()A 3π ()B 4π ()C ()D 6π3.正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4.地球表面上从A 地(北纬45,东经120)到B 地(北纬45,东经30)的最短距离为(球的半径为R ) ( )()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5.设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四.例题分析:例1.已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2.在北纬60圈上有甲、乙两地,它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径),求甲,乙两地间的球面距离。
例3.如图,球心到截面的距离为半径的一半,BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点,CA 是球O 的直径,(1) 求证:平面ABD ⊥平面ADC ;(2) 如果球半径是13,D 分BC 为两部分, 且:1:2BD DC =,求AC 与BD 所成的角;(3) 如果:2BC DC =,求二面角B AC D --的大小。
五.课后作业:1.给出下列命题:①正四棱柱是正多面体;②正四棱柱是简单多面体;③简单多面体是凸多面体;④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体;其中正确的命题个数为 ( )()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2.已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,则顶点数V 与面数F 满足的关系是( )()A 24F V += ()B 24F V -= ()C 22F V += ()D 22F V -=3.棱长为a 的正方体中,连接相邻两个面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )()A 33a ()B 34a ()C 36a ()D 312a 4.有一棱长为a 的正方体框架,其内放置一气球,是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为 ( )()A 2a π()B 22a π ()C 23a π ()D 24a π 5.以正方体的顶点为顶点作正四面体,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为( )()A 3:1 ()B 1:3 ()C ()D 3:26.地球半径为R ,A 、B 两地均在北纬45°圈上,两地的球面距离为3Rπ,则,A B 两地的经度之差的绝对值为 ( )()A 3π ()B 2π ()C 32π ()D 4π 7.棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上,则这个球的表面积为 ( )()A 2π ()B 3π ()C ()D 12π 8.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则球心O 到平面ABC 的距离为 ( ) ()A 31()B 33 ()C 32 ()D 36 9.如图,,,A B C 是表面积为48π的球面上三点,2,4,60AB BC ABC ==∠=,O 为球心,则直线OA 与截面ABC 所成的角是 ( )()A arcsin 6()B arccos 6()C arcsin 3 ()D arccos 310.一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形, 求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 .11.有30个顶点的凸多面体,它的各面多边形内角总和是_____ ___.12.球面上三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形,18,24,30AB BC AC ===, 且球心到该截面的距离为球的半径的一半,(1) 求球的体积; (2) 求,A C 两点的球面距离。
简单多面体与球(文)一周强化一、一周知识概述1、棱柱、棱锥的定义:(1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱;(2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥.2、棱柱、棱锥的性质:(1)棱柱:①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(2)正棱锥:①各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形;②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形;③(定理)如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面与底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.3、长方体的对角线:如图,(1)长方体的对角线的长:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点处三条棱长的平方和;(2)设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为∠C 1AB 、∠C 1AD 、∠C 1AA 1 ,则有cos 2∠C 1AB +cos 2∠C 1AD +cos 2∠C 1AA 1=1;(3)长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为∠C 1AC 、∠C 1AB 1、∠C 1AD 1,则有cos 2∠C 1AC +cos 2∠C 1AB 1+cos 2∠C 1AD 1=2 , 或sin 2∠C 1AC +sin 2∠C 1AB 1+sin 2∠C 1AD 1 =1; 4、棱柱、棱锥有关的公式:(1)棱柱的侧面积:若直棱柱的底面周长为c ,高为h, 则它的侧面积为 S 侧= ch ;斜棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为c ,侧棱长为l ,则它的侧面积为S侧=cl ;(2)正棱锥的侧面积:若正棱锥的底面周长为c ,斜高为h ',则它的侧面积为 S 侧=ch ';5、正多面体:(正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体)正多面体一览表:类型每顶点处的棱数m 每面边数n 棱数E 面数F 顶点数V正四面体 3 3 6 4 4正六面体 3 4 12 6 8正八面体 4 3 12 8 6正十二面体 3 5 30 12 20正二十面体 5 3 30 20 126、(1)定义①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.②球体:球面所围成的几何体.(2)性质①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆).②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且其中R为球半径,r为截面半径,d为球心到截面的距离.(3)球的任何截面都是圆,过球心的截面是球的大圆,解球的问题,一般是作球的大圆,转化为平面图形来解决.(4)在球的有关计算中,由球的半径R,截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角三角形,也是常用的关键图形.二、重、难点知识的归纳与剖析(一)本周复习的重点1、棱柱和正棱柱的概念和性质。
2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——多面体和球一、明确复习目标1.明白得棱柱、棱锥的有关概念,把握棱柱、棱锥的性质和体积运算;2.会画棱柱、棱锥的直观图,能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系,并能进行有关角和距离的运算.3.了解球、球面的概念, 把握球的性质及球的表面积、体积公式, 明白得球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何咨询题的解法.二.建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面差不多上四边形,同时每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质:——侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质 ①侧棱都相等,侧面差不多上平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (3)棱柱的分类:①按底面多边形的边数分类:三棱柱,四棱柱,…,n 棱柱. ②按侧棱与底面的位置关系分类:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧斜棱柱其他直棱柱正棱柱直棱柱棱柱 (4)专门的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱 → 正方体.请在〝→〞上方添上相应的条件. (5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. (6)棱柱的体积公式:Sh V =柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高.二、棱锥1.定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥.假如一个棱锥的底面是正多边形,同时顶点在底面的射影是底面中心,如此的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质——侧棱、侧面的性质和一些Rt Δ(1)各侧棱相等,各侧面差不多上全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一样棱锥的性质——定理:假如棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,那么截面和底面相似,同时它们面积的比等于截得的棱锥的高和棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=31Sh ,其S 是棱锥的底面积,h 是高.三、球1.定义:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面。
沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录:刘世亮第 65 讲:多面体和球主要知识及主要方法:1.每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体 .2. 正多面体有且只有 5 种. 分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 .3.简单多面体: 考虑一个多面体, 例如正六面体, 假定它的面是用橡胶薄膜做成的, 如果充以气体, 那么它就会连续 (不破裂)变形,最后可变为一个球面. 如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体 .说明: 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体4. 球的概念: 与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球 定点叫球心,定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 . 一个球或球面用球心的字母表示。
5. 球的性质 :( 1)平面截球所得的截面是圆. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
( 2)球心和球面圆心的连线垂直于截面;( 3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系: r R 2 d 2( 4)地球上的径度是个二面角,纬度是个线面角。
6. 两点的球面距离: 经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 叫做两点的 球面距离 . lR ( 为球心角 的弧度数 ).7.球的表面积和体积公式:S 4 R 2,V 34 R 3.基础 1. 正方体的全面积为24,球 O 与正方体的各棱均相切,球O 的体积是( D自测A.4B.4 3C.86D. 8 2332. 把边长为2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为( CA.2B.C.2D.33. 球面上有三点, 任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6 ,经过这三个点的小圆周长为 4 ,那么这个球的半径为 ( B )A.4 3B. 2 3C.2D. 34. 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 9.典例剖析例1已知在多面体 ABCDEFG 中, AB 、AC 、 AD 两两互相垂直,平面ABC ∥平面 DEFG ,平面 BEF ∥平面 ADGC , AB=AD=DG=2, AC=EF=1,则这个多面体的体积为(BA.2B.4C.6D.8例 2 ①已知过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6, AB=4,则球的半径等于3 6/2,球的表面积等于54.②设球 O 的半径是 1,A 、B 、C 是球面上三点, 已知 A 到 B 、C 两点的球面距离都是90 ,且二面角 B —OA —C 的大小为 60 ,则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是( CA.76B. 54C. 43D. 32例 3①P 、 Q 为斜三棱柱相对棱上的点,若AQ=PC ,则多面体 B —ACPQ 的体积是三棱柱体积的( B1A.1B.1C. 2D.32334②设 A 、B 、C 、D 是球面上的四个点,且在同一平面内, AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是( AA.86B.64 6C. 24 2D. 722③长方体 ABCD —A B C D 的 8 个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD= 3 ,AA=1,则顶点 A 、B 间的球面距离是 (C )111 11A.2 2B. 2C.2 D.224④长方体 ABCD —A 1B 1C 1 D 1 的各顶点都在球 O 的球面上,其中 AB ∶AD ∶AA 1=1∶1∶ 2 , A 、B 两点的球面距离记为 m ,A 、D 1 两点的球面距离记为 n ,则 m : n 的值为 1 : 2 .例 4 已知三棱锥 P —ABC 中, E 、F 分别是 AC 、AB 的中点,△ ABC 、△ PEF 都是正三角形, PF ⊥AB.(1)证明: PC ⊥平面 PAB2)求二面角 P —AB —C(3)若点 P 、A 、 B 、 C 在一个表面积为 12 的球面上,求△ ABC 的边长 .(1)证明 连结 CF ,∵ PE=EF= 1 BC= 1AC ,∴ AP ⊥PC.22∵ CF ⊥AB ,PF ⊥AB CF ∩PF=F.∵ PC 平面 PCFPC ⊥ AB.( 2)方法一 ∵AB ⊥PF ,AB ⊥CF设 AB=a ,则 PF=EF= a,CF= 3a .22AB ⊥平面 PCF.AP ∩ AB=APC ⊥平面 PAB.PFC 为所求二面角的平面角 .cos ∠PFC=3.3方法二 设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF ≌△ PAE ,∴△ PAB ≌△ PAC 得 PA=PB=PC ,于是 O 是△ ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 .设 AB=a ,则 PF= a ,OF= 1 ·3a .cos ∠PFO=OF3 .2 3 2PF3( 3)方法一 设 PA=x ,球半径为 R. PC ⊥平面 PAB , PA ⊥ PB ,∴ 3x =2R.∵4 R 2=12 ,∴ R=3 ,得 x=2. ABC 的边长为 2 2 .方法二 延长 PO 交球面于 D ,则 PD 是球的直径 . 连结 OA 、AD ,得△ PAD 为直角三角形,设 AB=x ,球半径为 R.4 R 2=12,∴PD=2 3PO=OFtan ∠PFO=6 x ,OA= 2· 3 x6 3 22∴ 3x6x 2 36x ,于是 x=22 .ABC 的边长为 2 2 .366例 4 如图,三个12×12 cm 的正方形,都被连结相邻两边中点的直线分成 A、B 两片〔如图( 1)〕,把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图( 2)〕,然后折成多面体〔如图( 3)〕,求此多面体的体积 .解法一:补成一个正方体,如图甲, V=1V 正方体=1×123=864 cm3. 22甲乙解法二:补成一个三棱锥,如图乙,3 V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864 cm .解法三:如图( 3)7 设 C 是所在棱的中点,截面CDE 把几何体截成两部分,沿体的下一半 .C EDDE 把上部分翻转过来可拼成正方例 5 已知球的半径为R ,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少 ?。