全等三角形的概念与性质

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

全等三角形概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，最常见的是直角三角形、等腰三角形和等边三角形。

除了这些特殊的三角形，还有一种特殊的三角形被称为“全等三角形”。

本文将讨论全等三角形的概念和性质。

概念：全等三角形是指具有相同的形状和大小的两个三角形。

换句话说，如果两个三角形的对应边长相等，对应角度相等，则这两个三角形是全等三角形。

全等三角形可以通过平移、旋转和翻转来重合。

性质一：对应边长相等全等三角形的对应边长相等。

如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF。

性质二：对应角度相等全等三角形的对应角度相等。

如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

性质三：对应的高、中线、角平分线相等在全等三角形中，对应的高、中线和角平分线也相等。

也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的对应的高H1H2，中线M1M2和角平分线L1L2分别相等。

性质四：面积相等全等三角形的面积也相等。

如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的面积相等，可以用面积公式S = 1/2 * 底边长 * 高。

性质五：全等三角形可以证明其他形状的相等如果两个三角形是全等三角形，那么它们的其他对应部分也相等。

通过证明两个三角形全等，可以得出更多的相等关系，这对于解决几何问题非常有用。

应用：全等三角形在实际生活和几何学中有广泛的应用。

下面列举几个例子：1. 结构物的设计：在建筑、桥梁和其他结构物的设计中，确定三角形的相等性对保证结构的稳定性和均衡性非常重要。

通过利用全等三角形的性质，工程师可以设计出不同部分相等的结构，从而增强结构的强度和稳定性。

2. 地图和导航：地图和导航系统依赖于准确的测量和定位，而全等三角形的性质提供了一种测量和定位的方法。

通过测量两个地点和一个共同的角度，可以确定两个地点之间的距离和方向。

3. 几何证明：在几何学的证明过程中，利用全等三角形的性质可以简化证明过程。

三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。

其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。

本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。

一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。

全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。

二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。

3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。

4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。

通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。

例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。

2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。

通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。

3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。

4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。

我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。

全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。

- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。

- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。

全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

三角形的全等性质总结三角形是几何学中的基本图形之一，而其中的全等性质是研究三角形特征的重要内容之一。

全等性质指的是两个三角形在各个对应的角度和边长相等。

在几何学中，全等性质不仅仅是一种理论，更是解决实际问题和推导其他定理的基础。

一、全等三角形的定义全等三角形是指两个三角形的对应的边长和角度均相等的情况。

记作ΔABC≌ΔDEF，其中Δ表示三角形，ABC和DEF分别表示两个三角形的顶点。

二、不同类型的全等性质1. SSA全等性质SSA全等性质是指两个三角形的两个边和一个非夹角的角度相等时，可以确定这两个三角形全等。

这里的SSA分别代表两个边和一个角。

2. SAS全等性质SAS全等性质是指两个三角形的一个边和两个夹角相等时，可以确定这两个三角形全等。

SAS分别代表一个边和两个角。

3. SSS全等性质SSS全等性质是指两个三角形的三个边相等时，可以确定这两个三角形全等。

SSS分别代表三个边。

4. ASA全等性质ASA全等性质是指两个三角形的两个夹角和一个边相等时，可以确定这两个三角形全等。

ASA分别代表两个角和一个边。

5. AAS全等性质AAS全等性质是指两个三角形的两个角和一个非夹角的边相等时，可以确定这两个三角形全等。

AAS分别代表两个角和一个边。

三、全等性质的应用全等性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用。

1. 证明两个三角形全等在解决几何题目时，通过使用全等性质可以证明两个三角形全等。

根据已知条件，确定两个三角形的对应边长和角度相等，从而得出这两个三角形全等。

2. 推导其他定理全等性质在几何学的研究中经常用于推导其他更复杂的定理。

利用已知的全等性质和其他已知条件，可以逐步推导出更多的几何定理，进一步拓展我们对于三角形性质的认识。

3. 解决实际问题全等性质不仅在几何学中有应用，它也可以帮助我们解决实际生活中的问题。

例如，在测量三角形的边长和角度时，我们可以利用全等性质来推导出未知的边长和角度，从而解决实际问题。

全等三角形的知识点归纳1.全等三角形的定义：如果两个三角形的对应的边相等，对应的角也相等，则这两个三角形是全等三角形。

2.全等三角形的符号表示：通常使用三个粗体字母表示全等三角形，例如△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。

3.全等三角形的性质：a.边-边-边（SSS）全等：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。

b.顶角-底角-顶角（ASA）全等：如果两个三角形中两个顶角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。

c.底边-底角-底边（SAS）全等：如果两个三角形中两条底边和它们夹的角相等，则这两个三角形全等。

d.直角-直角-斜边（RHS）全等：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。

e.角-边-角（AAS）全等：如果两个三角形中两个夹角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。

f.边-角-边（ASA）全等：如果两个三角形中一条边和夹角相等，另一条边和夹角的夹边相等，且夹角不是直角，则这两个三角形全等。

4.全等三角形的性质推论：a.如果两个三角形是全等的，则它们对应的边和角是一一对应的。

b.全等三角形的一边等于另一个全等三角形的一边，一角等于另一个全等三角形的一角。

c.全等三角形的对应边和对应角是相等的。

d.全等三角形的对应边平行。

e.全等三角形的对应边垂直。

f.全等三角形的对应角相等。

g.如果一个角等于一个角，两边分别等于两边，那么两个三角形可能全等，也可能不全等。

5.全等三角形的判定方法：a.SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

b.SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角相等，则这两个三角形全等。

c.ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一条边相等，则这两个三角形全等。

d.RHS判定法：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。

6.全等三角形的性质应用：a.利用全等三角形的性质，可以证明两个三角形的各边之比相等。

全等三角形的概念和性质学习目标：1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.要点梳理：1.全等图形概念：形状，大小相等的，放在一起能够完全重合的两个图形，叫全等形。

注：发生位置的移动（旋转，翻折，平移等）后，形状与大小没变的；全等形的面积和周长都是相等的2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形平移、翻折、旋转形状、大小都不变。

这也是得到全等三角形的方法。

3.对应顶点、边、角定义：全等三角形重合在一起，重合的点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

重要：写两全等三角形时，要把对应顶点依次写下来比如，△ABC≌△DEF，则：对应的边AB=DE,BC=EF,AC=DF;对应角∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F找出对应角边的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.知识拓展：全等三角形对应角边相等；全等三角形对应角上的角平分线也相等，对应边上的高、中线也相等，全等三角形周长，与面积也相等。

巩固练习：1.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB2.如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.3.如图△ABD ≌△EBC，如果AB=75mm,DE=50mm,求BC的长4.如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．知识归纳：1.能够重合的两个图形叫做全等形；2、其中：互相重合的顶点叫做＿对应顶点＿；3、互相重合的边叫做＿对应边＿＿；4、互相重合的角叫做＿对应角＿；5. 能够重合的两个三角形叫做全等三角形6、“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”；7、全等三角形的性质: 全等三角形的对应边和对应角相等；8、书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上。