2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换课时作业28倍角公式新人教B版必修4

课时作业 ( 二十八 ) 简单的三角恒等变换A 级απ，πα4α ＋ππ1．假如 ∈ 2 ，且 sin ＝ 5，那么 sin 4 ＋ cos α＋)4 ＝ (4 24 2A. 5B ．－ 53 2 3 2C.5D ．－5ππ 3 72．(2012 ·山东卷 ) 若 θ∈4 ，2 ， sin 2 θ ＝ 8 ，则 sin θ＝ ()3 4A. 5B. 573 C. 4D. 4π1π 2sin 2α＋ sin 2 α3．已知 tan α＋ 4＝2，且－ 2 <α<0，则 cosπ 等于 ( )α－42 53 5A ．－ 5B ．－ 103 10D. 2 5 C ．－10534．(2012 ·中山模拟 ) 已知角 A 为△ ABC 的内角，且 sin 2A ＝－ 4，则 sinA － cos A ＝ ()77A. 2B ．－ 211 C ．－ 2D. 25．定义运算ab＝ ad －bc ，若 cos 1sinα sinβ3 3β<α< π cd α＝ ，α cos β＝， 0<，7 cos142则 β 等于 ()ππA. 12B. 6π πC. 4D. 3tan45°－ α sin αcos α6．化简 1－ tan 2 45°－ α · cos 2α－ sin 2α＝________.7．已知 α、 β 均为锐角，且cos( α＋ β ) ＝ sin( α－ β) ，则 tan α ＝________.11＋ sin 2 θ－ cos 2 θ9．化简1＋ sin 2θ＋cos 2θ ＝________.10．(2012 ·烟台模拟 ) 已知 tan α 11＋ sin 2 α2 ＝ 2 ，求 1＋ sin 2α＋ cos 2 α的值．1 111．求证： tan α＋ π α ＝cos α. tan 4 ＋2B 级1．已知实数 a ，b 均不为a sin α＋b cos α πb0，a cos α－b sinα＝ tanβ ，且 β－ α＝ 6 ，则a 等于 ()3A. 3B. 33C ．－ 3D ．－ 3cos 10 °＋ 3sin 10 °2．计算：1－cos 80 °＝ ________.3．设函数 f ( x ) ＝ cos 2x ＋π ＋sin2x .3(1) 求函数 f ( x ) 的最大值；(2)设，，C 为△的三个内角，若cos ＝ 1 ， C ＝－ 1 ，且 为锐角，求 si n .A BABCB 3 f 24CA答案：课时作业 ( 二十八 )A 级1． D ∵ sin α＝ 4， π＜ α＜π，∴ cosα＝－ 3，5 25而 sinπ＋ cosπ2sinπ2cos α＝－32 .α＋ 4 α＋ 4 ＝α＋ 2＝ 5πππ2． D ∵ θ∈ 4 ， 2 ，∴ 2θ∈ 2 ，π .∴ cos 2 θ＝－1－ sin 22θ＝－1 θ＝1－ cos 2 θ 3，∴ sin2＝ .843． A 由 tanπtan α＋11 α＋ 4＝ 1－ tan α＝2 ，1π10得 tanα＝－ 3. 又－ 2 <α<0，所以 sin α＝－ 10 .2sin 2α＋ sin 2α 2sin αsin α＋ cos α＝2 2sin25故＝2α＝－.cos α－πα54sin α＋ cos234． A ∵ A 为△ ABC 的内角且 sin 2 A ＝2sinA cos A ＝－ 4<0，∴ sin A >0， cos A <0，∴ sin A －cos A >0.又 (sin A － cos A ) 2＝ 1－2sin A cos A ＝ 47.∴ sin－ cos 7＝ .2α － β3 35． D 依题意有 sin αcos β－cos αsin β＝ sin ()＝ 14 ，π π 又 0<β<α< 2 ，∴ 0<α－β < 2 ，故 cos( α－ β) ＝ 1－ sin 213α－ β ＝ 14，143而 cos α＝ ，∴ sinα＝，77于是 s in β＝ sin[ α－ ( α－ β )] ＝sinαcos( α－ β) － cos αsin( α －β)＝4 3× 13－1× 3 3＝ 3，714 7 14 2π故 β＝ 3 ，选 D.11sin 2 α26．分析：原式＝ 2tan(90 °－ 2α) · cos 2 α11sin 90°－ 2α2sin 2 α1cos 2 α 1sin 2α 1 ＝2cos 90°－ 2α· cos 2 α ＝ 2sin 2 α·2cos 2 α＝ 4.答案：147．分析： 依据已知条件： cos αcos β－sin αsin β ＝ sin αcos β－ cos αsinβ， cos β(cosα－ sin α ) ＋ sin β(cos α－ sinα) ＝ 0，即 (cos β＋ sin β)(cos α－ sin α ) ＝ 0.又 α、 β 为锐角，则 sin β＋ cos β>0，∴ cos α－ sin α＝ 0，∴ tan α＝ 1.答案： 18．分析： 由(1 ＋ 3tanα)(1 ＋ 3tan β) ＝4，tan α＋ tan β 3，即 tan( α＋ β) ＝ 3.可得1－ tan αtan β＝π又 α＋ β∈ (0 ，π ) ，∴ α＋ β＝ 3 .π答案：39．分析： 原式＝ 1＋ 2sin θ ·cos θ－1－ 2sin 2θ 2sin θ·cos θ＋ 2sin 2θ 1＋ 2sin θ ·cos θ＋2cos 2θ－1＝2sin θ·cos θ＋ 2cos 2θ2sin θ· cos θ ＋sinθ＝2cos θ· sin θ ＋cos θ＝tanθ.答 案： tan θαα12tan 21410．分析：∵tan2 ＝ 2，∴ tan α ＝2 α＝1＝3.1－ tan 21－41＋ sin 2 αsin 2α＋cos 2α＋ 2sin αcos αsin α＋ cos α∴1＋sin 2 α ＋cos 2 α＝2sin α cos α＋ 2cos 2α＝2cos αtan α＋ 1 7＝2＝6.cos πα11．证明：sinα 4 ＋2左侧＝ cos α＋ π αsin ＋24sin αsin π α＋ cosαcosπ α4 ＋2 4 ＋ 2＝π αcos α sin4 ＋ 2π απαcos 4 ＋ 2 － αcos 4 － 2＝ αsinπ ＋ α ＝cos αsinπ ＋ αcos 4 24 2παsin4 ＋ 21α＝右侧．＝πα ＝coscos αsin 4＋2∴原式得证．B 级tan3πππα ＋ 31． B由 β － α ＝6 得 β ＝ α ＋ 6 ，∴ tanβ ＝ tan α＋ 6 ＝3＝1－ 3 tanα3tan α＋ 3 3sin α＋ 3cosαb33－ 3tan α＝3cos α－ 3sin α与已知比较可设a ＝ 3t ，b ＝ 3t ， t ≠0，故 a ＝ 3 ，选B.2．分析： cos 10 °＋ 3sin 10 °2 sin 30 °cos 10 °＋ cos 30 °sin 10 °1－cos 80 ° ＝2sin 240°2sin 40 °＝＝ 2.2sin 40 °答案： 23．分析：(1) f ( x ) ＝ cos 2π－ sin 2π 1－ cos 2 xx cos x sin＋3 3213 1113＝ 2cos 2 x － 2 sin 2 x ＋2－ 2cos 2 x ＝ 2－ 2 sin 2 x .所以，当 2 x ＝－ πk π， k ∈Z ，即 x ＝－ π＋ π( ∈ Z) 时，＋ 22 4 k kf ( x ) 获得最大值， f ( x )1＋ 3＝.max2(2) 由C 1 1 31f 2 ＝－ ，即 －sin ＝－，42 2C43π解得 sinC ＝ 2 ，又 C 为锐角，所以 C ＝3.12 2由 cos B ＝ 3求得 sin B ＝ 3 .所以 sin＝sin[ π－ ( ＋ )] ＝ sin( ＋ ) ＝ sincos ＋ cos sinAB CB CBCBC2 21 13 22＋3.＝ 3 ×2＋3×2＝6。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课时过关·能力提升5 π 휃1.若 sin θ=<θ<π,则 sin 的值等于( )13, 2226 A .B .- 2626265 26 5 26 C .D .-2626 5π 12 解析:由 sin θ=13且 <θ<π 可得 cos θ=- .213π휃π又,4 < 2 <212휃 1 - cos 휃1 - (- 13)5 2625所以 sin.2 =26 =2==262答案:C2.tan 15°+cot 15°等于( ) A.2 B.2 34 3C.4D.31 - cos30° sin30°sin30° +解析:tan 15°+cot 15°= =4.1 - cos30°答案:C1 + cos(π + 훼)3.设 α∈(π,2π),则等于( )2 훼훼A.sinB.cos2 2 훼훼C.-sinD.-cos22 훼π2 ∈ (2,π)解析:由 α∈(π,2π)知,所以1+cos(π+훼)2=1-cos훼2훼훼=|sin2|=sin .2答案:Asin훼14.若1+c os훼=,则sin α+cos α的值是()27829A. B. C.1 D.55151sin훼143解析:由,结合sin2α+cos2α=1可得sin α= (sin α=0舍去),于是cos α= ,从而1+c os훼=2557sin α+cos α= .5答案:Aππ375.若θ∈[2],sin 2θ= ,则sin θ等于()4,83473A. B. C. D.5544πππ解析:由θ∈[2],得2θ∈[2,π].4,371又sin 2θ= ,故cos 2θ=- .881-cos2휃3故sin θ=.2=4答案:D1+sin8휃-cos8휃6.化简等于()1+sin8휃+cos8휃A.tan 2θB.cot 4θC.tan 4θD.cot 2θ1+sin8휃-cos8휃解析:1+s in8휃+c os8휃=(1-cos8휃)+sin8휃(1+c os8휃)+s in8휃=2sin24휃+2sin4휃cos4휃2cos24휃+2sin4휃cos4휃=2sin4휃(sin4휃+cos4휃)2cos4휃(cos4휃+s in4휃)=sin4휃cos4휃=tan 4θ.答案:C3훼7.已知α为三角形的内角,sin α=,则tan =.524훼π훼1-cos훼12∈(0,2)解析:由已知得cos α=±,且,于是tan2==3或.51+cos훼31答案:3或33π11111★8.若<α<2π,且cos α=,则2+2+2cos2훼的值是.2421111111111110解析: 2+2+2cos2훼=2+2cos2+2cos훼=2+2×4=.2훼=24答案:10419.已知0°<α<β<90°,sinα与sin β是方程x2-( 2cos 40°)x+cos240°- =0的两根,则2cos(2α-β)=.解析:由已知,得Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,22∴x= cos 40°±sin 40°.22∴x1=sin 45°cos 40°+cos 45°sin40°=sin 85°,2x 2=sin 45°cos 40°-cos 45°sin 40°=sin 5°.又由 0°<α<β<90°,知 β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°) 6 - 2=cos 75°=cos(45°+30°)=.4答案: 6 - 24ππ1π π110.已知 sin (4 + 2훼)sin (4 - 2훼)= 4,α∈( 2),求 2sin 2α+tan α--1的值.4,tan 훼ππ 1解:∵sin (4 + 2훼)sin (4 - 2훼)= ,4ππ1∴2sin (4 + 2훼)cos (4 + 2훼)= ,2π1 1即 sin (2 + 4훼)= .∴cos 4α= .221而 2sin 2α+tan α- -1tan 훼sin 2훼 - cos 2훼2sin 훼cos 훼(cos2훼 + t an2훼)=-cos 2α+=-.π ππ∵α∈( 2),∴2α∈(2,π).4,1 + cos4훼3∴cos 2α=- =- ,221 - cos4훼3 ∴tan 2α=-=- .1 + cos4훼 32 325tan2훼) (-) =∴-(cos2훼 +=-,2 +3-31 5 3即 2sin 2α+tan α- -1的值为.tan 훼23★11.已知向量 a =(sin x ,-cos x ),b =(cos x , 3cos x ),函数 f (x )=a ·b + .2(1)求f(x)的最小正周期;π(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.2解:(1)f(x)=sin x cos x-3cos2x+3213=sin 2x-(cos 2x+1)+ 223 213π=sin 2x-cos 2x=sin .22(2푥-3)故f(x)的最小正周期为π.3π(2)∵0≤x≤,2ππ2π∴-≤2x-3≤,333π2(2푥-3)∴-≤sin≤1,3 即f(x)的值域为[-2,1].4。

3.2.1 倍角公式学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin αcos α，(S2α)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)tan 2α＝2tan α1－tan2α.(T2α)知识点二二倍角公式的变形(1)公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝________，cos 2α－sin 2α＝________，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________， 1＋cos α＝______________，1－cos α＝____________ .降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一 给角求值例1 求下列各式的值.(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7；(2)1sin 50°＋3cos 50°.类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝________. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625引申探究 在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.类型三 利用倍角公式化简例3 化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.跟踪训练3 化简下列各式： (1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.122.sin 4π12－cos 4π12等于( ) A.－12 B.－32 C.12 D.323.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2； ③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2.答案精析问题导学知识点一思考1 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二(1)12sin 2α cos 2α (2)2cos 2α 2sin 2α 2cos2α2 2sin 2α2题型探究例1 解 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 跟踪训练1 (1)18(2)4 例2 (1)89(2)A 引申探究 解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19， 即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 跟踪训练2 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 例3 解 原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 跟踪训练3 (1)sin α－cos α (2)0 当堂训练1．B 2.B 3.1－32 4. 3 5．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513， 且0<x <π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.。

高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业 新人教版必修41.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )解析 如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f （x ）cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有f （x ）|cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合. 答案 B2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12B.22C.2D.32解析 原式＝3－sin 70°2－12（1＋cos 20°）＝2（3－cos 20°）3－cos 20°＝2.答案 C 3.若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A.－13B.－79C.13D.79解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos[2⎝⎛⎭⎫π6－α]＝－[1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α]＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79.答案 B4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________. 解析 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－12，sin α＝1－cos 2α＝32，所以tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－（－3）2＝ 3. 答案35.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.解析 由sin 2 α＋cos 2α＝14得sin 2 α＋1－2sin 2 α＝1－sin 2 α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.答案36.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1；(2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12最新中小学教案、试题、试卷＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 7.求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°. (2)sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. 8.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值. (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值.解 (1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35，sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.能 力 提 升9.4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3D.22－1 解析 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4cos 50°cos 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （60°＋20°）－sin （60°－20°）cos 40°＝32cos 20°＋32sin 20°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，选C.答案 C10.若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A.3B.－3C.－2D.－12解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ（sin θ＋cos θ）2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3. 答案 A11.函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________. 解析 y ＝sin 2x ＋23sin 2 x ＝sin 2x ＋23×1－cos 2x2＝sin 2x －3cos 2x ＋ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，所以周期T ＝2π2＝π. 答案 π12.已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.答案 313.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m sin x cos x ，x ∈R .(1)当m ＝0时，求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3内的最小值及相应的x 的值； (2)若f (x )的最大值为12，求m 的值.解 (1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，则2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤16π，56π，所以f (x )min ＝12，此时x ＝0或π3. (2)令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m sin x cos x ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋32·sin 2x ＋12cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝12m ＋32，于是f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14，令⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14＝12，得m。