华东师大初中数学八年级下册46.菱形(提高)巩固练习

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】【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（2015•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. （2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （2015•江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （2015•建湖县一模）如图，△ABC 中，∠ACB=60°，分别以△ABC 的两边向形外作等边△BCE 、等边△ACF ，过A 作AM ∥FC 交BC 于点M ，连接EM ． 求证：（1）四边形AMCF 是菱形； （2）△ACB ≌△MCE ．14. （2016•安顺）如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．5.【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝9315 2333333 244+---=.二.填空题7.【答案】．；【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】23；【解析】由题意∠A ＝60°，DE ＝3.10.【答案】5；53；2532； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=. 11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】（1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD ， ∴BC=AD ，∠ABC=∠CDA ． 又∵BE=EC=BC ，AF=DF=AD ， ∴BE=DF ．∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时， ∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点， ∴BE=EC ，即BE=AE ． 又BC=2AB=4， ∴AB=BC=BE ，∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形， ▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为，∴菱形AECF 的面积为2．15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜22233(3)44S ≤<33 3.4S ≤<中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

专题19.8 《矩形、菱形与正方形》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题1．（2017·山西九年级专题练习）关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB▱BC，则▱ABCD是菱形B．若AC▱BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形2．（2020·山东省平邑县第一中学九年级月考）正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是( )A．16B．C．8D．3．（2020·深圳市福田区南华实验学校九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF▱AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：▱EG＝DF；▱▱AEH+▱ADH＝180°；▱▱EHF▱▱DHC；▱若AEAB＝23，则3S▱EDH＝13S▱DHC，其中结论正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2020·渠县树德文武学校九年级月考）如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为3和4，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．65B．125C．245D．不确定5．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是( )A ．7.5B ．6C ．10D ．56．（2020·河南许昌市·八年级期末）从▱▱▱▱中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（ ）A ．▱B ．▱C ．▱D ．▱7．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对边平行且相等D ．对角线相等8．（2020·河北邯郸市·八年级期末）已知平面上四点()0,0A ，()10,0B ，()10,6C ，()0,6D ，一次函数()10y kx k =-≠的图象将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则(k = )A ．2B ．45C ．5D ．69．（2019·内蒙古农业大学附属秋实中学八年级月考）如图，在▱ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ▱AB 于E ，PF ▱AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 ( )A．65B．52C．53D．5410．（2017·河南九年级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．B C．D．11．（2020·陕西九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点D作直线m▱AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF▱AC且EF＝AC，四边形ACFE的面积是( )A．48B．40C．24D．30 12．（2019·山东德州市·中考模拟）如图，在锐角▱ABC中，延长BC到点D，点O是AC 边上的一个动点，过点O作直线MN▱BC，MN分别交▱ACB、▱ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：▱OE＝OF；▱CE＝CF；▱若CE＝12，CF＝5，则OC 的长为6；▱当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（）A．▱▱B．▱▱C．▱▱▱D．▱▱▱13．（2019·山东省青岛市第五十三中学九年级单元测试）四个点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从▱//AB CD ；▱AB CD =；▱AC BD ⊥；▱AD BC =；▱//AD BC ，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD 是菱形的选法有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种14．（2019·全国八年级课时练习）小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求． 根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．有一内角为60°的平行四边形15．（2019·临邑县第一中学八年级月考）如图，下列条件中▱AC BD ⊥▱BAD 90∠=▱AB BC =▱AC BD =，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．▱▱B ．▱▱C ．▱▱D ．▱▱▱16．（2020·甘肃白银市·八年级期中）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．1917．（2019·苏州市景范中学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，E 是AC 上的一点，且AB AE = ，则EBC ∠ 的度数是（)A．20度B．22.5度C．30度D．45度18．（2019·河南焦作市·九年级期末）矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm 两部分，则这个矩形的面积是（）A．4cm²B．6cm²C．12cm²D．4cm²或12cm²19．（2019·河南洛阳市·八年级期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（）A．90∠=B．AC▱BDABCC．AB=CD D．AB // CD20．（2019·全国九年级专题练习）正方形的边长与对角线之比是（）A．1▱2B▱2C．2▱3D．2▱1二、填空题21．（2018·山西九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则▱AEB＝__________.22．（2014·山西九年级专题练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于___________．23．（2019·黑龙江七台河市·八年级期末）在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交▱ABCD的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．（1）如图▱，四边形EGFH 的形状是___；（2）如图▱，当EF▱GH 时，四边形EGFH 的形状是___；（3）如图▱，在（2）的条件下，若AC=BD ，四边形EGFH 的形状是___；（4）如图▱，在（3）的条件下，若AC▱BD ，四边形EGFH 的形状是___．24．（2020·河北邯郸市·育华中学八年级期末）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE▱BD ，DE▱AC ．若AC=4，则四边形CODE 的周长是__________．25．（2019·河南周口市·八年级期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点E 是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E ，若点P 运动的时间为t 秒，那么当t ＝_____时，▱APE 的面积等于24cm 2．26．（2020·云南大理白族自治州·八年级期末）四边形ABCD 为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则▱ABC 为_____度．27．（2021·上海九年级专题练习）已知，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为__________.28．（2020·浙江绍兴市·八年级期末）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED =CD ，连接AE ，交BD 于点F ．若▱CDE =40°，则▱DFC 的度数为_____．E F G H分别为四边形ABCD的边29．（2019·全国九年级课时练习）如图，点,,,AB BC CD DA的中点，当四边形EFGH满足条件_______时，四边形EFGH是菱形．（只,,,需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）30．（2019·山东青岛市·九年级单元测试）一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和4cm 两部分，则矩形的周长为________cm．三、解答题31．（2020·山东济南市·九年级二模）如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF▱AE于点F．求证：AB＝DF．32．（2020·绍兴市越城区成章中学九年级期中）已知：如图，在▱ABCD中，DE平分▱ADB，交AB于E，BF平分▱CBD，交CD于F．（1）求证：▱ADE▱▱CBF；（2）当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．33．（2020·山东济宁市·和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF 还相等吗？说明理由．（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．34．（2020·黄石市实验中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．35．（2019·甘肃张掖市·临泽二中九年级期中）（2016•呼伦贝尔）如图，在▱ABC中，点D 是边BC的中点，DE▱AC、DF▱AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：DE=DF；（2）当▱A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．参考答案1．C【解析】选项C中，满足矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以选C. 2．C【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】▱正方形的一条对角线长为4，▱这个正方形的面积=12×4×4=8，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．3．D【分析】根据题意可知▱ACD=45°，则GF=FC，继而可得EG=DF，由此可判断▱；由SAS证明▱EHF▱▱DHC，得到▱HEF=▱HDC，继而有▱AEH+▱ADH=180°，由此可判断▱；同▱证明▱EHF▱▱DHC，可判断▱；若AE:AB=2:3，则AE=2BE，可以证明▱EGH▱▱DFH，则▱EHG=▱DHF且EH=DH，则▱DHE=90°，▱EHD为等腰直角三角形，过点H作HM▱CD于点M，设HM=x，则DM=5x，，CD=6x，根据三角形面积公式即可判断▱.【详解】▱▱四边形ABCD为正方形，EF▱AD，▱EF=AD=CD，▱ACD=45°，▱GFC=90°，▱▱CFG为等腰直角三角形，▱GF=FC，▱EG=EF-GF，DF=CD-FC，▱EG=DF，故▱正确；▱▱▱CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，▱FH=CH ，▱GFH=12▱GFC=45°=▱HCD ，在▱EHF 和▱DHC 中，EF CDEFH DCH FH CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱EHF▱▱DHC(SAS)，▱▱HEF=▱HDC ，▱▱AEH+▱ADH=▱AEF+▱HEF+▱ADF -▱HDC=▱AEF+▱ADF=180°，故▱正确；▱▱▱CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，▱FH=CH ，▱GFH=12▱GFC=45°=▱HCD ，在▱EHF 和▱DHC 中，EF CDEFH DCH FH CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱EHF▱▱DHC(SAS)，故▱正确；▱▱AE:AB=2:3，▱AE=2BE ，▱▱CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，▱FH=GH ，▱FHG=90°，▱▱EGH=▱FHG+▱HFG=90°+▱HFG=▱HFD ，在▱EGH 和▱DFH 中，ED DFEGH HFD GH FH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱EGH▱▱DFH(SAS)，▱▱EHG=▱DHF ，EH=DH ，▱DHE=▱EHG+▱DHG=▱DHF+▱DHG=▱FHG=90°， ▱▱EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，，CD=6x，则S▱DHC=12×CD×HM=3x2，S▱EDH=12×DH2=13x2，▱3S▱EDH=13S▱DHC，故▱正确，所以正确的有4个，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．4．B【解析】连结OP.▱AD=4，CD=3，，又▱矩形的对角线相等且互相平分，▱AO=OD=2.5cm，▱S▱APO+S▱POD=12×2.5▱ PE+12×2.5▱PF=12×2.5(PE+PF)=14×3×4，▱PE+PF=12 5.故选B.点睛：本题考查了矩形的性质以及三角形面积的计算问题.此题难度适中，注意辅助线的执法，注意掌握数形结合思想的应用.5．A【分析】先根据勾股定理得出AC=10，再根据折叠图形的不变性，得出OA=OC=5，OE=OF ，EF▱AC ，然后由两个角对应相等，两个三角形相似，证明出▱OCF▱▱BCA ，根据相似三角形对应边成比例即可求出OF 的长度，进而得出EF 的长度．【详解】解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：10AC ==又根据折叠知：OA=OC=5，OE=OF ，EF▱AC ．▱▱COF=▱B=90°，▱OCF=▱BCA ，得：▱OCF▱▱BCA ， ▱=OF OC AB BC▱568=OF ▱OF=3.75，即EF=7.5．故选：A ．6．C【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．【详解】与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为▱，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的判定，是一道几何结论开放题，认真观察，熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.7．B【解析】分析：根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等．详解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B ．点睛：本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．8．B【分析】根据题意四边形ABCD 是矩形，直线y kx 1=-只要经过矩形对角线的交点，即可得到k 的值．【详解】()A 0,0，()B 10,0，()C 10,6，()D 0,6，OD BC ∴=，CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，DAB 90∠=，∴四边形ABCD 是矩形，∴对角线AC 、BD 的交点坐标为()5,3，∴直线y kx 1=-经过点()5,3时，直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分， 35k 1∴=-，4k 5∴=． 故选B ．【点睛】本题考查矩形的判定和性质、一次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握中心对称图形的性质是解决问题的关键．9．A【分析】先根据矩形的判定得出四边形AEPF 是矩形，再根据矩形的性质得出EF ，AP 互相平分且相等，再根据垂线段最短可以得出当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求解即可．【详解】解：▱3AB =，4AC =，5BC =，▱90EAF ∠=︒，▱PE AB ⊥，PF AC ⊥，▱四边形AEPF 是矩形，▱EF ，AP 互相平分，且EFAP =， 又▱M 为EF 与AP 的交点，▱当AP 的值时，AM 的值就最小，而当⊥AP BC 时，AP 有最小值，即此时AM 有最小值， ▱1122AP BC AB AC =， ▱AP BC AB AC =，▱3AB =，4AC =，5BC =，▱534AP =⨯， ▱125AP =， ▱1625AM AP ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，找出AP 取最小值时图形的特点是解题关键．10．A【解析】▱E 、F 分别是AD 、CD 的中点， ，▱四边形ABCD 是菱形，▱S 菱形ABCD =1AC?BD 2=122⨯ ，故选A.【解析】【分析】根据题意在运动过程中EF▱AC 且EF ＝AC,所以可得四边形ACFE 为平行四边形,因此计算面积即可.【详解】根据在运动过程中EF▱AC 且EF ＝AC∴ 四边形ACFE 为平行四边形过D 作DM 垂直AC 于点M根据等面积法，在ADC ∆中1122ADC S AC DM AD DC ∆==∴ 可得四边形ACFE 为平行四边形的高为684.810AD DC DM AC ⨯===10 4.848ACFE S ∴=⨯=故选A【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，关键在于计算平行四边形的高.12．A【解析】【分析】▱只要证明OC=OE ，OC=OF 即可．▱首先证明▱ECF=90°，若EC=CF ，则▱OFC=45°，显然不可能，故▱错误，▱利用勾股定理可得EF=13，推出OC=6.5，故▱错误．▱根据矩形的判定方法即可证明．▱MN▱CB ，▱▱OEC ＝▱BCE ，▱OFC ＝▱ACF▱▱ACE ＝▱BCE ，▱ACF ＝▱DCF ，▱▱OEC ＝▱OCE ，▱OFC ＝▱OCF ，▱OC ＝OE ＝OF ，故▱正确，▱▱BCD ＝180°，▱▱ECF ＝90°，若EC ＝CF ，则▱OFC ＝45°，显然不可能，故▱错误，▱▱ECF ＝90°，EC ＝12，CF ＝5，▱EF ＝13，▱OC ＝12EF ＝6.5，故▱错误， ▱OE ＝OF ，OA ＝OC ，▱四边形AECF 是平行四边形，▱▱ECF ＝90°，▱四边形AECF 是矩形．故选A ．【点睛】本题考查矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法即可解答.【详解】第一种：▱//AB CD ；▱AB CD =；▱AC BD ⊥；由条件▱▱判定四边形ABCD 为平行四边形，再由条件▱判定平行四边形ABCD 为菱形；第二种：▱AB CD =；▱AC BD ⊥；▱AD BC =；由条件▱▱判定四边形ABCD 为平行四边形，再由条件▱判定平行四边形ABCD 为菱形；第三种：▱//AB CD ；▱AC BD ⊥；▱//AD BC ；由条件▱▱判定四边形ABCD 为平行四边形，再由条件▱判定平行四边形ABCD 为菱形；第四种：▱AC BD ⊥；▱AD BC =；▱//AD BC ；由条件▱▱判定四边形ABCD 为平行四边形，再由条件▱判定平行四边形ABCD 为菱形.故选D.【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解决问题的关键.14．B【解析】【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形．【详解】解：▱分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ， ▱AC=AD=BD=BC ，▱四边形ADBC 一定是菱形，故选：B ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．15．A【解析】【分析】菱形的判定方法有三种：▱定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；▱四边相等的四边形是菱形；▱对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】▱▱ABCD 中，AC▱BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故▱正确；▱▱ABCD中，▱BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故▱错误；▱▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故▱正确；D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故▱错误．故选A．【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．16．B【解析】如图设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，▱AC=2CD，CD==2，▱EC2=22+22，即EC=；▱S2的面积为=8；▱S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，▱S1+S2=8+9=17．故选B．17．B【解析】【分析】在正方形中可知▱BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出▱ABE，又知▱ABE＋▱EBC＝90°，故能求出▱EBC．【详解】解：在正方形ABCD中，▱BAC＝45°，▱AB＝AE，▱▱ABE＝▱AEB＝67.5°，▱▱ABE＋▱EBC＝90°，▱▱EBC＝22.5°，故选B．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．18．D【解析】【分析】利用角平分线得易得▱DAE=▱AED,可得到AD=DE.那么根据DE的不同情况得到矩形各边长,进而求得面积.【详解】解：本题有两种情况,如图(1)DE=1cm,EC=3cm.因为AE平分▱DAB,故▱DAE=45o,▱ADE中,AD=DE=1,矩形面积为1⨯(1+3)=4cm2.(2)DE=3cm,EC=1cm.因为AE平分▱DAB,故▱DAE=45o,▱ADE中,AD=DE=3,矩形面积为3⨯(1+3)=12cm2.故选D.【点睛】本题主要运用了矩形性质和等角对等边知识,正确地进行分情况讨论是解题的关键.【解析】【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【详解】▱对角线AC与BD互相平分，▱四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90.故选：A.【点睛】考查矩形的判定，常见的判定方法有：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.20．B【解析】试题分析：根据正方形的性质可得：正方形的边长：对角线=1：2，故选B．21．75【解析】因为▱AEF是等边三角形，所以▱EAF=60°，AE=AF，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，▱B=▱D=▱BAD=90°.所以Rt▱ABE▱Rt▱ADF（HL），所以▱BAE=▱DAF.所以▱BAE+▱DAF=▱BAD-▱EAF=90°-60°=30°，所以▱BAE=15°，所以▱AEB=90°-15°=75°.故答案为75.22．4．▱四边形ABCD是菱形，▱BC＝AB＝8，AC与BD的交点O是BD的中点．▱E是CD的中点，▱OE是▱DBC的中位线，▱142OE BC==．23．平行四边形菱形菱形正方形【分析】（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；（2）当EF▱GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；（4）当AC=BD且AC▱BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证▱BOG▱▱COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．【详解】（1）四边形EGFH是平行四边形；▱▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱点O是▱ABCD的对称中心；▱EO=FO，GO=HO；▱四边形EGFH是平行四边形；（2）▱四边形EGFH是平行四边形，EF▱GH，▱四边形EGFH是菱形；（3）菱形；由（2）知四边形EGFH是菱形，当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；（4）四边形EGFH是正方形；证明：▱AC=BD，▱▱ABCD是矩形；又▱AC▱BD，▱▱ABCD是正方形，▱▱BOC=90°，▱GBO=▱FCO=45°，OB=OC；▱▱GOF=90°；▱BOG+▱BOF=▱COF+▱BOF=90°▱▱BOG=▱COF；▱▱BOG▱▱COF（ASA）；▱OG=OF，同理可得：EO=OH，▱GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，▱四边形EGFH是正方形．故答案为(1). 平行四边形(2). 菱形(3). 菱形(4). 正方形【点睛】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．24．8【解析】试题分析：首先由CE▱BD，DE▱AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．试题解析：▱CE▱BD，DE▱AC，▱四边形CODE是平行四边形，▱四边形ABCD是矩形，▱AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，▱OD=OC=12AC=2，▱四边形CODE是菱形，▱四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．考点: 1.菱形的判定与性质；2.矩形的性质.25．4或8.2【分析】分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可．解：▱如图1，当P在AB上时，▱▱APE的面积等于24，▱12×2x•8＝24，解得：x＝3；▱当P在BC上时，▱▱APE的面积等于24，▱S矩形ABCD﹣S▱CPE﹣S▱ADE﹣S▱ABP＝24，▱10×8﹣12(10+8﹣2x)×5﹣12×8×5﹣12×10×(2x﹣10)＝24，解得：x＝8.2；▱当P在CE上时，▱12(10+8+5﹣2x)×8＝24，解得：x＝8.5＜12(10+8+5)，x＝8.5时2x＝17，P在BC边，▱舍去；故答案为4或8.2．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想．26．30或150【解析】如图1所示：当▱A为钝角,过A作AE▱BC,▱菱形ABCD的周长为l6，▱AB=4，▱面积为8，▱AE=2，▱▱ABE=30°，▱▱ABC=60°，当▱A为锐角时，如图2，过D作DE▱AB，▱菱形ABCD的周长为l6，▱AD=4，▱面积为8，▱DE=2，▱▱A=30°，▱▱ABC=150°，故答案为30或150.27．11【分析】首先过A作AE▱DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，得CE=AD=4，再证明▱ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．【详解】解：如图，过A作AE▱DC交BC与E，▱AD▱BC，▱四边形AECD是平行四边形，▱AD=EC=5，AE=CD，▱AB=CD=6，▱AE=AB=6，▱▱B=60°，▱▱ABE是等边三角形，▱BE=AB=6，▱BC=6+5=11，故答案为11.【点睛】此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．28．110︒．【解析】利用ABCD是正方形得出角之间相等的关系，由已知条件得出▱DFC．解：▱四边形ABCD是正方形，▱AB=AD，▱BAF=▱CBF，▱▱BAF▱▱CBF，▱▱AFB=▱CFB，▱▱AFB=▱CFB=70°，▱▱CFB=180°-70°-70°=40°▱▱EDC=▱EFC，▱C、E、D、F四点共圆，▱▱CFE=▱CDE=40°，▱▱DEC=70°，▱▱DFC=110°．故答案为110°．=（答案不唯一）29．HG GF【解析】【分析】本题属于开放性试题，要判定四边形EFGH是菱形，只要HG=GF=FE=EH即可．【详解】解：在四边形ABCD中，▱E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点▱HG=EF=12AC，GF=HE=12BD▱四边形EFGH是平行四边形若HG GF=▱平行四边形EFGH是菱形．故答案为HG GF=.【点睛】判定特殊的四边形，必须根据已知条件，选择适当的方法．菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）四边相等的四边形是菱形．30．20或22【解析】【分析】本题需分两种情况解答．即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分分一边为3cm和4cm；当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．【详解】分两种情况：当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．【点睛】本题主要考查的是基本的矩形性质，属于基础题型．解答这个题目时一定要注意的是分两种情况作答即可．31．见解析【解析】分析：利用矩形和直角三角形的性质得到▱AEB=▱EAD、▱AFD=▱B，从而证得两个三角形全等，可得结论．详解：▱四边形ABCD是矩形，▱AD▱BC，▱B=90°，▱▱AEB=▱DAE．▱DF▱AE，▱▱AFD=▱B=90°．在▱ABE和▱DF A中，▱AEB DAEAFD BAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩▱▱ABE▱▱DF A，▱AB=DF．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．32．见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，▱A=▱C，AD▱BC，进而得出▱ADE=▱CBF，利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用矩形的判定解答即可．【详解】（1）▱▱ABCD，▱AD=BC，▱A=▱C，AD▱BC，▱▱ADB=▱CBD．▱DE平分▱ADB，BF平分▱CBD，▱▱ADE=▱CBF=▱BDE=▱DBF．在▱ADE与▱CBF中，▱ADE CBFAD BCA C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，▱▱ADE▱▱CBF（ASA）；（2）当AD=BD时．理由如下：▱DE平分▱ADB，▱DE▱BE，▱▱DEB=90°．▱▱ADE▱▱CBF，▱DE=BF．▱▱EDB=▱DBF，▱DE▱BF，▱四边形DEBF是平行四边形．▱▱DEB=90°，▱平行四边形DEBF是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：平行四边形的对边平行，对角相等．33．（1）AD=CF．理由见解析；（2）【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，▱AOC=▱DOF=90°，然后求出▱AOD=▱COF，再利用“边角边”证明▱AOD和▱COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF▱OE，DG=OG 12OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．【详解】解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，▱AO=CO，OD=OF，▱AOC=▱DOF=90°，▱▱AOC+▱COD=▱DOF+▱COD，即▱AOD=▱COF．在▱AOD和▱COF中，▱AO=CO，▱AOD=▱COF，OD=OF，▱▱AOD▱▱COF（SAS）．▱AD=CF．（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF▱OE，DG=OG=12 OE，▱正方形ODEF=2．▱DG=OG=12OE=12×2=1．▱AG=AO+OG=3+1=4，在Rt▱ADG中，AD===．34．（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，解得t=8．答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ-t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=6．答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，面积为：10×8=80（cm2）．35．（1）证明见解析；（2）四边形AFDE是正方形．理由见解析.【解析】试题分析：（1）由已知条件可由“HL”证Rt▱DBF▱Rt▱DCE，从而可得：DE=DF；（2）由▱A=▱DFA=▱DEA=90°可证得四边形AFDE是矩形，结合DF=DE，可得四边形AFDE 是正方形.试题解析：（1）▱D是BC的中点，▱BD=CD，▱DE▱AC，DF▱AB，▱▱BFD=▱CED=90°，在Rt▱BDF和Rt▱CDE中，BD CD BF CE=⎧⎨=⎩，▱Rt▱BDF▱Rt▱CDE（HL），▱DE=DF；（2）当▱A=90°时，四边形AFDE是正方形．理由如下：▱DE▱AC，DF▱AB，▱▱DEA=▱DFA=90°，又▱▱A=90°，▱四边形AFDE是矩形，又▱DF=DE，▱四边形AFDE是正方形．31。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是　120　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为　52cm　，面积为　120cm2　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为　20°　．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为　6.5　．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。

《菱形的性质》提高训练一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．18C．36D．362．（5分）如图，将面积为S的矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝BC，DH＝AD，连接EF，FG，GH，HE，AF，CH．若四边形EFGH为菱形，＝，则菱形EFGH的面积是（）A．2S B．S C．3S D．S3．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（）A．25°B．35°C．50°D．65°4．（5分）如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（5分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．7．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．8．（5分）菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为cm2．9．（5分）已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．10．（5分）在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E 为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．12．（10分）如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．求证：AE＝CF．13．（10分）如图，在平行四边形BFEC中，连接FC，并延长至点D，延长CF至点A，使DC＝AF，连接AB、DE．（1）求证：AB∥DE．（2）若平行四边形BFEC是菱形，且∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，则CF＝．14．（10分）如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，∠B＝∠EAF ＝60°，（I）求证：∠BAE＝∠CEF；（Ⅱ）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．15．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，求证：DE＝AC．《菱形的性质》提高训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．18C．36D．36【分析】只要证明△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO＝60°，∴BO＝tag60°•AO＝3，∴BD＝6．∴菱形ABCD的面积＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．2．（5分）如图，将面积为S的矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝BC，DH＝AD，连接EF，FG，GH，HE，AF，CH．若四边形EFGH为菱形，＝，则菱形EFGH的面积是（）A．2S B．S C．3S D．S【分析】设FB＝2a，AB＝3a，由Rt△EBF≌Rt△GDH（HL），推出FB＝DH，推出BF ＝DH＝AD＝BC＝2a，设AE＝CG＝x，由FG＝GH，可得16a2+x2＝（x+3a）2+4a2，解得x＝，用a表示菱形的面积即可解决问题．【解答】解：∵FB：AB＝2：3，∴可以假设FB＝2a，AB＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵AE＝CG，∴BE＝GD，∵∠EBF＝∠GDH＝90°，EF＝GH，EB＝GD，∴Rt△EBF≌Rt△GDH（HL），∴FB＝DH，∵AD＝DH，∴BF＝DH＝AD＝BC＝2a，设AE＝CG＝x，∵FG＝GH，∴16a2+x2＝（x+3a）2+4a2，解得x＝，∴S菱形EFGH＝2××2a×（3a+）+6a2+2××4a×＝15a2，∵S＝6a2，∴a2＝，∴菱形EFGH的面积＝S．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（）A．25°B．35°C．50°D．65°【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝130°，∴∠C＝130°，BC＝DC，∴∠DBC＝∠CDB＝（180°﹣130°）＝25°．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．4．（5分）如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（5分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，OD＝3，由勾股定理得：AD＝5，∴BC＝5，∴S菱形ABCD＝＝BC×DE，∴×6×8＝5×DE，解得：DE＝，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．7．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝105°．【分析】由菱形及菱形一个内角为120°，易得△ABC与△ACD为等边三角形．CE⊥AD 可由三线合一得CE平分∠ACD，即求得∠ACE的度数．再由CE＝BC等腰三角形把∠E 度数求出，用三角形内角和即能去∠EFC．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△ACD是等边三角形∵CE⊥AD∴∠ACE＝∠ACD＝30°∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°∵CE＝BC∴∠E＝∠CBE＝45°∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°故答案为：105°【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形及三线合一，三角形内角和．按照题目给的条件逐步综合信息即能求出答案．8．（5分）菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为120 cm2．【分析】根据周长先求出边长，由菱形的对角线平分且垂直求出它的另一条对角线的长，再根据面积公式求得面积．【解答】解：∵菱形ABCD的周长等于52cm，∴边长＝52÷4＝13cm，∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，BD＝24，∴OA＝5，∴AC＝10，∴菱形的面积为10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点评】本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，关键是根据菱形面积的等于对角线乘积的一半解答．9．（5分）已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10（cm），则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10 ＝50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积＝×两条对角线的乘积．10．（5分）在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E 为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为105°．【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×50°＝25°∴∠ABF＝∠BAF＝25°∵∠ABC＝180°﹣50°＝130°，∠CBF＝130°﹣25°＝105°∴∠CDF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题考查全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质，关键是利用SAS判定△BCF≌△DCF．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CDF即可．（2）想办法证明EA＝EB＝EC即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵四边形AECF是菱形，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠EAC＝90°，∠B+∠ECA＝90°，∴∠B＝∠EAB，∴EA＝EB，∴BE＝CE＝5．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．求证：AE＝CF．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵菱形ABCD，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．13．（10分）如图，在平行四边形BFEC中，连接FC，并延长至点D，延长CF至点A，使DC＝AF，连接AB、DE．（1）求证：AB∥DE．（2）若平行四边形BFEC是菱形，且∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，则CF＝ 3.6．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BF∥CE，BF＝CE，根据平行线的性质得到∠BFC＝∠ECF，由平角的定义得到∠BF A＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D，根据平行线的判定即可得到结论；（2）过点B作BM⊥CF于点M，根据勾股定理得到AC＝＝5，根据三角形的面积公式得到BM＝＝2.4，根据菱形的性质得到BF＝BC＝3，CF＝2FM，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形BFEC为平行四边形，∴BF∥CE，BF＝CE，∴∠BFC＝∠ECF，∴∠BF A＝∠ECD，在△AFB与△DCE中，，∴△AFB≌△DCE，（SAS），∴∠A＝∠D，∴AB∥DE；（2）解：过点B作BM⊥CF于点M，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BM，∴BM＝＝2.4，又∵四边形BFEC为菱形，∴BF＝BC＝3，CF＝2FM，在Rt△BFM中，FM＝＝1.8，∴CF＝2×1.8＝3.6．故答案为：3.6．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．14．（10分）如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，∠B＝∠EAF ＝60°，（I）求证：∠BAE＝∠CEF；（Ⅱ）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．【分析】（I）连接AC，由菱形的性质结合∠B＝∠EAF＝60°，可得出∠B＝∠ACD，∠BAE＝∠CAF和AB＝BC，进而可得出△ABE≌△ACF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AE＝AF，由等边三角形的性质可得出∠AEF＝60°，由邻补角互补及三角形内角和定理，可得出∠CEF+∠AEB＝120°＝∠BAE+∠AEB，进而可证出∠BAE＝∠CEF；（II）由（I）的结论可得出∠ABE＝∠ACF，∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，进而可证出△ABE≌△ACF（AAS），根据全等三角形的性质可得出AE＝AF，利用等边三角形的性质可得出∠AEF＝60°，由∠AEB+∠CEF＝60°＝∠AEB+∠BAE可得出∠BAE＝∠CEF．【解答】（I）证明：在图（1）中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，CA平分∠BCD．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∴∠B＝∠ACD＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，∴∠CEF+∠AEB＝120°．∵∠BAE+∠AEB＝120°，∴∠BAE＝∠CEF．（II）解：∠BAE＝∠CEF．在图（2）中，连接AC，由（I）知：∠ABC＝∠ACD＝60°，∠EAF＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，∴∠AEB+∠CEF＝60°．∵∠AEB+∠BAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠CEF．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及角的计算，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABE≌△ACF；（2）利用全等三角形的性质结合角的计算找出∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE．15．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，求证：DE＝AC．【分析】先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的判定和性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形∴DE＝AC．【点评】此题考查了菱形的性质、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定是解决问题的关键．。

（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习一、选择题1．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（21+，1）D．（1，+）21答案：C解答：作CE⊥x轴于点E，∵四边形OABC是菱形，OC＝2，∴OA＝OC＝2，又∵∠AOC＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∵OC＝2，OE＝CE，又∵222+=，∴OE＝CE＝1，∴点COE CE OC的坐标为（1，1），又∵BC＝OA＝2，∴B的横坐标为OE＋BC＝12+，B的纵坐标为CE＝1，则点B的坐标为（21+，1），故选C．分析：根据菱形的性质，作CE⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．2．如图：在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为（）A．5 B．10C．6 D．8答案：A解答：由菱形的性质知：AC⊥BD，OA＝12AC＝3，OB＝12BD＝4，在Rt△OAB中，AB＝2222345OA OB+=+=，所以菱形的边长为5．分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15C．10 D．5答案：D解答：∵AB＝BC，∠B＋∠BCD＝180°，∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5．分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．4．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24 B．20C．10 D．5答案：B解答：如图，∵AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，BO＝4，∴AB＝5，∴这个菱形的周长是20，故选B．分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可．5．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．3cm2D．23cm2答案：D解答：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长23，则菱形的面积＝223223⨯÷=cm2，故选D．分析：根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面×两条对角线的乘积，即可求得菱形的积公式：菱形的面积＝12面积．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12aC．8a D．4a答案：C解答：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2a，则菱形ABCD的周长为8a，故选C．分析：根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB＝2OE，从而不难求得其周长．7．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD 的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A．DA＝DE B．BD＝CEC．∠EAC＝90°D．∠ABC＝2∠E答案：B解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，AB＝DA，又∵BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DA＝AB＝DE，故A正确；∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠OAD＋∠ODA＝90°，又∵BD∥AE，∴∠EAD＝∠ODA，∴∠EAD＋∠OAD＝90°，即∠EAC＝90°，故C正确；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝2∠ABD，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴∠E＝∠ABD，∴∠ABC ＝2∠E，故D正确；所以选B．分析：依题意推出∠OAD＋∠ODA＝90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB＝DA＝DE，∠E＝∠ABD，∠EAD ＋∠ODA＝90°，则∠EAC＝90°，∠ABC＝2∠E．8．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD答案：C解答：菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．分析：此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系．9．如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为203cm，则∠1等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B解答：铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，即203cm，又因为菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形求出∠1＝60°，故本题选B．分析：首先铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，又已知菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形可求解．10．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A．6cm B．63cmC．3cm D．33cm答案：A解答：根据菱形的性质可得较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线等于菱形的边长，已知菱形的边长为6cm，则较短的对角线的长为6cm，故选A．分析：本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用．11．菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A．60°B．90°C．120°D．150°答案：D解答：设菱形的边长为a，高为h，则依题意，4a＝8h，即a＝2h，延长最大角的一边，让其邻边和高构造直角三角形，∵有一直角边是斜边的一半，∴菱形的较大内角的外角为30°，∴菱形的较大内角是150°，故选D．分析：熟悉菱形的性质，及一些特殊的直角是解题的关键，画出图形再解题有助于理清思路．12．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A．AO⊥BO B．∠ABD＝∠CBD C．AO＝BO D．AD＝CD答案：C解答：菱形的对角线互相垂直平分，所以A正确；一条对角线平分一组对角，所以B正确；菱形的对角线不相等，所以C不正确；菱形的四边均相等，所以D正确；故选C．分析：根据菱形的对角线垂直、平分且平分每一组对角的性质对各个选项进行验证．13．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A．4.5cm B．4cm C．53cm D．43cm答案：C解答：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°，又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm，cm，则较长的对根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为532角线长为53cm，故本题选C．分析：根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数，又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长．14．已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A．116cm B．29cm C．229cm D．29cm答案：D解答：因为菱形的两条对角线互相垂直平分，所以AC⊥BD，AO＝CO＝2cm，BO＝CO＝5cm，由勾股定理得AB＝222529+=cm，故本题选D．分析：根据菱形的性质：两条对角线相互垂直且互相平分，求出AO＝CO＝2，BO＝CO＝＝5，然后根据勾股定理求出AB的长．15．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）cm2A．25cm2B．16cm2 C．2522D．162cm2答案：C解答：由已知可得，菱形的边长AB＝5cm，∠A＝45°，∠D＝135°，作BE⊥AD于E，则△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE＝52 2cm，则菱形的面积为52252522⨯=cm2，故选C．分析：首先由已知得出∠A和∠D的度数以及AB的长，然后作BE⊥AD于E，得出△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE则易求出菱形的面积．二、填空题16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程40x-=的解，则菱形ABCD的周长为．答案：16解答：∵解方程40x-=得：x＝4，∴菱形的边长为4，∴菱形ABCD 的周长为4×4＝16．分析：边AB的长是方程40x-=的解，解方程求得x的值，即可求得菱形ABCD的周长．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为．答案：（22+，2）解答：过点D作DE⊥x轴，垂足为E，在菱形ABCD中，∠ABC＝45°，∴∠DCE＝∠ABC＝45°，又∵在Rt△CDE中，CD＝2，∴CE＝DE＝2，∴OE＝OC＋CE＝22+，+，∴点D坐标为（22 2）．分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向x轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．18．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．答案：8解答：在菱形ABCD中，AB＝5cm，AC＝6cm，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB＝90°，AO＝3cm，在Rt△AOB中，BO＝2222-=-=cm，∴BD＝2BO＝8cm．534AB AO分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3cm；根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4cm，则另一条对角线的长是8cm．19．已知菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的边长是cm．答案：5解答：菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，∴OA＝OC＝12AC＝162⨯＝3cm，OB＝OC＝12BD＝182⨯＝4cm，由勾股定理得AB＝2222345OA OB+=+=cm．分析：根据菱形性质与勾股定理解题即可．20．如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．答案：2，4，7，13，23解答：如图（1）所示，∵PD＝1，每个菱形有一个角是60°，∴PC＝3，∵∠APB＝90°，∴斜边CD＝2，CB＝()22+=，327 DA＝()22+=，AB＝4；如图（2）所示，123132223=+=；综上所述，可能的直角三角形斜边的长有MN PM PN2，4，7，13，23．图（1）图（2）分析：根据已知求得PD，PC的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长．三、解答题21．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，求OH的长．答案：3解答：解：由题意可得AD＝6，在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，∴OH＝12AD＝3．分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．22．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．答案：72°解答：解：如下图，先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC ＝72°，可得∠BAD＝180°－72°＝108°，根据菱形对角线的对称性可得∠ABD＝∠ADB＝12∠ADC＝1722⨯︒，EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP＝∠ADB＝36°，∴∠PAB＝∠DAB－∠DAP＝108°－36°＝72°，在△BAP中，∠APB＝180°－∠BAP－∠ABP＝180°－72°－36°＝72°，由菱形对角线的对称性可得∠CPB＝∠APB＝72°．分析：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的；灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．23．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．答案：60°解答：解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF＝12×80°＝40°∴∠ABF＝∠BAF＝40°，∵∠ABC＝180°－80°＝100°，∠CBF＝100°－40°＝60°，∴∠CDF ＝60°．分析：连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．24．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，求∠EAF．答案：60°解答：解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴∠C＋∠EAF＝180°，又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠EAF＝∠B，又∵BE＝12BC，AB＝BC，∴BE＝12AB，∴∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，∴∠EAF＝60°．分析：画出图形，根据菱形的性质求出∠C＋∠EAF＝180°，又因为∠B＋∠C＝180°，推出BE＝12BC，AB＝BC，BE＝12AB，最后可推出∠EAF＝60°．25．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．答案：55°解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，，在△BGF与△CPF中，CBF PCF BF CFBFG CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BGF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠BEP＝90°，∴EF＝12PG，∵PF＝12PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP ＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A ＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝12（180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．分析：延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．。

【精编】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.2.1.菱形的性质同步练习一、单选题1．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边相等2．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（6，0）D．（5，0）3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．四条边都相等4．菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm5．下列命题错误．．的是（）A．平行四边形的对边平行且相等B．矩形的四条边均相等C．菱形的对角线互相垂直D．正方形的四个内角均为90°6．如图，菱形花坛ABCD的面积为12平方米，其中沿对角线AC修建的小路长为4米，则沿对角线BD修建的小路长为（）A．6米B．3米C．8米D．10米7．有下列说法：①平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②正方形有四条对称轴；③平行四边形相邻两个内角的和等于180°；④菱形的面积计算公式，除了“ S菱形=底×高”之外，还有“ S菱形=两对角线之积”；⑤矩形和菱形均是特殊的平行四边形，因此具有平行四边形的所有性质.其中正确的结论的个数有（）A．1B．2C．3D．4 8．为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）.小聪为了说明“A.正方形；B.矩形；C.四边形；D.菱形；E.平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（）（用名称前的字母代号表示）A．C，E，B，D B．E，C，B，D C．E，C，D，B D．E，D，C，B二、填空题9．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=6，则菱形ABCD的周长为．10．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的解，则菱形ABCD 的周长为．11．已知菱形的面积为16，一条对角线长为16，那么这个菱形的另一条对角线长为．12．如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为.13．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∠AC，CE∠BD，则OE的长为．14．在∠ABCD中，连接BD，作AE∠BD于E，CF∠BD于F，连接CE、AF，点P、Q 在线段BD上，且BP=DQ，连接处AP、CP、AQ、CQ，那么图中共有个平行四边形（除∠ABCD外），它们是．三、解答题15．如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF16．已知：如图，四边形DEBF是平行四边形，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．17．如图，在∠ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，若四边形DEFB为菱形，且AB=8，BC=12，求菱形DEFB的边长．参考答案与试题解析1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】2410．【答案】1611．【答案】212．【答案】35°13．【答案】514．【答案】2；∠AECF，∠APCQ15．【答案】解：连接BE、DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∠BC，AD=BC，又∵AE=CF，∴DE∠BF，DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OE=OF．16．【答案】解：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形DEBF是平行四边形．∴OE=OF，BO=DO．∵AE=CF，∴OE+AE=OF+CF．∴AO =CO ．∴四边形ABCD 是平行四边形．17．【答案】解：设菱形DEFB 的边长为x ， ∵四边形DEFB 是菱形，∴BD=DE=BF=x ，DE∠BF ，∴∠ADE∠∠ABC ，∴DE BC = AD AB， ∵AB=8，BC=12，∴x 12 = 8−x 8， 解得：x= 245， 即菱形DEFB 的边长为 245。

《菱形》同步练习1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为( )A.1B. 2C.D.7．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______。

8．（2015•南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对角线AC 长和BD长之比为。

答案和解析一．基础训练 1.【答案】D ； 2.【答案】C ； 3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16。

4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15。

23cm cm二．拓展提升 5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC ＝∠BAD ，CB ∥AD ，∵∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB ∥AD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABC ＝180°－100°＝80°。

（新课标）华东师大版八年级下册19.2.1菱形的判定一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_________ （写出一个即可）．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是_________ ．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_________ （只填写序号）．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是_________ ．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_________ （只填写序号）．．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件_________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．19.如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．19.2.1菱形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形考点：菱形的判定；坐标与图形性质．分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．解答：解：图象如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA=0C，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．点评：本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定考点：菱形的判定；矩形的性质．分析：求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．解答：解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，∴四边形EGFH为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于G点，∴GE=GF，∴四边形EGFH为菱形．故选B．点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形考点：菱形的判定．分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误．故选D．点评：此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直D．四条边相等的四边形是菱形考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：A、根据平行线的性质进行判断；B、由平行线的判定定理进行判断；C、由矩形的性质进行判断；D、由菱形的判定定理进行判断．解答：解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；故选：D．点评：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．解答：解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB=AD （写出一个即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．解答：解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），故答案为：AB=AD．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是AD=DC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．考点：菱形的判定．专题：推理填空题．分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．解答：解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．点评：本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．考点：菱形的判定．分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．解答：解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，∴AD=AB﹣2OB=．故答案是：．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是AC⊥BD，AB=BC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．解答：解：在平行四边形ABCD的基础上①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．点评：本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有①②③④（只填写序号）．考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．专题：压轴题．分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．解答：解：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；③若AD平分∠BAC，则DE=DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；④若AD⊥BC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．解答：解：可添加的条件为AB=AD，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AB=AD．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC∴∠2=∠E，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．解答：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；（2）四边形BCDE是菱形；证明：∵∠1=∠2，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．点评：本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF 是菱形．考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．解答：证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM ≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）AE∥CF（矩形的对边平行）∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）又∵△BOE≌△DOF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．19．如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．证△AOE≌△COF可得；（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．解答：解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．又AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．解答：证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF又∵AD∥BC，∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．∴GF∥EH、EG∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．在△AEG和△FBG中，，∴△AEG≌△FBG（AAS）∴EG=GB，AG=GF，在△ABE和△BAF中∵，∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AF=BE，∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，∴EG=GF，∴四边形EGFH是菱形．点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．。

菱形1一．选择题1.（2014•珠海）边长为3cm 的菱形的周长是（ ）A ．6cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）A ．邻角互补B ．内角和为360°C ．对角线相等D ．对角线互相垂直3.（2014•上海）如图1，已知AC ．BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）A ．△ABD 与△ABC 的周长相等B ．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍C ．△ABD 与△ABC 的面积相等 D ．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍4.（2014•山东枣庄）如图2，菱形ABCD 的边长为4，过点A ．C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ．F ，AE=3，则四边形AECF 的周长为（ ） A. 22 B. 18 C. 14 D. 11二．填空题5.（2015广东）如图3，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是. 6.如图4，P 为菱形ABCD 的对角线上 一 点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是 cm ．7．（2013•无锡）如图5，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，BC=8，E 是CD 的中点，则OE 的长等于 ．8.（2014•四川宜宾）菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是 cm ． 图3图2 图1 图4图5 图69．（2014•甘肃白银）如图6，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．三．解答题10．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，求∠CDF的值．11.（2013•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，(1)求AO：BO的值；(2)求菱形ABCD的面积．12. 如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2．求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC与BD的长．13.（2014•邵阳）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．5.2菱形11.C2.D3.C4.A5.66.37.48. 59.12 10. 60°11.(1) 1：2； (2) 16 12.(1)120°（2）4与4 13.（1）略（2）．菱形2一．选择题1.下列命题错误．．的是（）A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形B. 平行四边形的对角线互相平分C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是菱形3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD ，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=C D，AD=BC，AC⊥BD4.如图1，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．2 B．3 C．6 D ．二．填空题5. □ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是形；（2）若AC=BD，则□ABCD是形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形．6．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m 和8m，则这个花园的面积为．7.如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=D F．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．8．如图3，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD 的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．图1 图2 图3三．解答题9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

专题19.7 《矩形、菱形与正方形》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 掌握 矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握 矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.特别说明：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；宽＝长矩形⨯S 2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．【思路点拨】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，=S 正方形12即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【答案与解析】（1）BDE 是等腰三角形，理由如下：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∵//AD BC ，∵ADB DBC ∠=∠，∵ADB EBD ∠=∠，∵BE DE =，∵BDE 是等腰三角形．（2）解：设AE x =，则8BE DE x ==-，∵四边形ABCD 是矩形，∵90A ∠=︒，∵在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∵3AE =．【总结升华】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3，BC ＝ 5，则重叠部分△DEF 的面积是__________．【答案】5.1.cm cm 2cm提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝，DF ＝5－，在Rt △DFC 中，，解得＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型二、菱形2．如图，在菱形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且AE DE =，连接CE ． （1）求证：DE CE =．（2）当EA AB ⊥于点A ，1AE ED ==时，求菱形的边长．【分析】（1）根据SAS 证明∵ADE∵∵CDE ，从而得到AE ＝CE ，再根据AE ＝DE ，再得出结论； （2）连接AC 交BD 于H ，由菱形的性质可得AB=AD ，AC∵BD ，BH=DH ，AH=CH ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∵DAE=∵ADE=∵ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∵AD ＝DC ，∵ADE ＝∵CDE ，在∵ADE 和∵CDE 中，AD DC ADE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ，∵∵ADE∵∵CDE （SAS ），∵AE ＝CD ，又∵AE=DE ，∵DE CE =；（2）解：如图，连接AC 交BD 于H ，x x 222DC FC DF +=x 85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12∵四边形ABCD是菱形，∵AB=AD，AC∵BD，BH=DH，AH=CH，∵∵ABD=∵ADB，∵AE═ED=1，∵∵DAE=∵EDA，∵∵DAE=∵ADE=∵ABD，∵∵DAE+∵ADE+∵BAE+∵ABD=180°，∵∵DAE=∵ADE=∵ABD=30°，∵BE=2AE=2，∵BD=BE+DE=3，∵BH=DH=32，∵∵ABD=30°，AH∵BD，∵AB=2AH，BH=3AH，∵AH=3，AB=2AH=3，∵菱形的边长为3．【点拨】考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是菱形，CE∵AB于E，DF∵BC交BC的延长线于F，求证：CE=DF．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∵BC=CD ，BA∵CD ，∵CE∵AB 于E ，DF∵BC 交BC 的延长线于F ，∵∵CEB=∵CFD=90°，∵BA//CD ，，∵∵B=∵DCF ，在∵BEC 和∵CFD 中，B DCF CEB CFD BC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵BEC∵∵CFD （AAS ），∵CE=DF ．【点拨】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．熟记菱形的各种性质是证题的关键．类型三、正方形3、如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点F ，90E ∠=︒，ED EC =．求证：四边形DFCE 是正方形．【思路点拨】根据正方形的判定和性质定理即可得到结论．证明：∵四边形ABCD是正方形，∵∵FDC＝∵DCF＝45°，∵∵E＝90°，ED＝EC，∵∵EDC＝∵ECD＝45°，∵∵FCE＝∵FDE＝∵E＝90°，∵四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∵四边形DFCE是正方形．【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．【答案】AE∵CG，证明见解析．【思路点拨】由于四边形ABCD是正方形，那么AD=CD，∵ADC=90°，同理DG=DE，∵GDE=90°，可知∵ADC=∵GDE，再根据等式性质可得∵CDG=∵ADE，利用SAS可证∵CDG∵∵ADE，于是∵CGD=∵AED，由于∵GDE=90°，根据直角三角形的性质可得∵2+∵AED=90°，而∵1=∵2，根据等式性质可得∵1+∵CGD=∵2+∵AED=90°，易证AE∵CG．解：猜想：AE∵CG，证明如下：如图，设AE与CG的交点为点H，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=CD，∵ADC=90°，同理DG=DE，∵GDE=90°，∵∵ADC=∵GDE，∵∵ADC+∵ADG=∵GDE+∵ADG ，∵∵CDG=∵ADE ，在CDG 和ADE 中，CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()CDG ADE SAS ≅，∵∵CGD=∵AED ，∵∵GDE=90°，∵∵2+∵AED=90°，∵∵1=∵2，∵∵1+∵CGD=∵2+∵AED=90°，∵∵GHE=90°，∵AE∵CG ．【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．【变式2】 如图，四边形ABCD 是正方形，M 是边BC 上一点，E 是CD 的中点，AE 平分∵DAM ．（1）∵AMB =2∵MAE ；（2）求证：AM =AD +MC ；（3）若AD =4，求AM 的长．【分析】（1）由AD∵BC，得，∵DAM＝∵AMB；又因AE平分∵DAM，得∵MAE＝12∵DAM，等量代换得∵AMB＝2∵MAE；（2）因AE平分∵DAM，得ED＝EF，AD＝AF，CD的中点，可证明Rt∵EFM∵Rt∵ECM，易得FM＝CM；即可证明AM＝AD＋MC；（3）由（2）和AD＝4，在Rt∵ABM中，由勾股定理可求得AM的长．解：（1）∵AD∵BC，∵∵DAM＝∵AMB，∵AE平分∵DAM，∵∵MAE＝12∵DAM，∵∵AMB＝2∵MAE；（2）如图2所示：过点E作EF∵AM交AM于点F，连接EM．∵AE平分∵DAM，DE∵AD，DF∵AM，∵ED＝EF，又∵E是CD的中点，∵ED＝EC，∵EF＝EC，AD＝AF在Rt∵EFM和Rt∵ECM中EF EC EM EM ⎧⎨⎩＝＝，∵Rt∵EFM∵Rt∵ECM（HL）∵FM＝MC，又∵AM＝AF＋FM，∵AM＝AD＋MC；（3）设MC＝a，则FM＝a，∵AD＝AF＝AB＝BC，∵AD＝AF＝AB＝BC＝a，∵AM＝AF＋FM＝4＋a，又∵BC＝BM＋MC，∵BM＝4−a，在Rt∵ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2＋BM2∵（4＋a）2＝（4−a）2＋42解得：a＝1，∵AM＝4＋a＝4＋1＝5．【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．。