中国石油大学高等数学第九章课件

= 1 + ( 2 x ) + ( 2 y ) dxdy
2 2
原式 =
∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
Σ
Σ1
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
D′ xy
′ = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} 其中 D xy
∆σ ∆A ⋅ cos γ = ∆σ , ∆A = cos γ
∆S
z
z = f ( x, y)
S M
, (∆S ≈ ∆A)
x
Π
O
∆A
γ
n
γ ∆A • ∆S
y
设曲面S 设曲面S的方程为
:
r ∆σ z = z ( x,y ) ,( x,y ) ∈ D xy , r k
其中 D xy 是S在 xOy 平面内的投影 在 D xy 上有连续的一阶偏导数
于是
∂z 2 ∂z 2 dS = 1 + ( ) + ( ) dσ ∂x ∂y
对面积的曲面积分计算公式： 对面积的曲面积分计算公式：
设积分曲面 由z = z( x, y) ∑ 给出， 给出， 在xoy面上的投影区域 ∑ 为Dxy， z = z( x, y)在Dxy上 函数 , 具有连续偏导数被积函数 f ( x, y, z)在∑上 连续 则有： ,则有：
M ≈ ∑ ρ (ξ i ,η i ,ζ i)∆S i .
i =1
(4)取极限 : 质量为， = 质量为， M
∑ ρ (ξ i ,ηi ,ζ i)∆Si . λ →0
lim
i =1
n
9.6.1 第一类曲面积分的概念与性质
是光滑的, 定义 设曲面Σ 是光滑的, 函数 f ( x , y , z ) 在Σ 上有界, 上有界, 把Σ 分成 n小块 ∆S i （ ∆S i 同时也表示 小块曲面的面积） 第 i 小块曲面的面积 ）, 设点 (ξ i ,η i , ζ i ) 为 ∆S i 上 任意取定的点, 任意取定的点,作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆S i ,
故
∫∫ ( x + y + z )dS
Σ
D xy
= 2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy = 2 ∫∫ (5 + x)dxdy
D xy
= 2 ∫∫ 5dxdy = 125 2π.
D xy
dS 2 例 计算曲面积分 ∫∫ z ,其 ∑ 中 是球面 2 + y2 + z2 = a2 x ∑ z 被平面 = h(0 < h < a)截出 的顶部。 的顶部。
z
依对称性知： 解 依对称性知：
抛物面 z = x 2 + y 2 面对称， 关于xoz及yoz面对称，
被积函数| xyz |关于
y
y及x是偶函数， 是偶函数，
Σ Σ1
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
dxdy,
dS 1 = ∫∫ ∴ ∫∫ z D a2 − x2 − y2 ∑ xy
adxdy
a2 − x2 − y2 adxdy = ∫∫ 2 利用极坐标计算二重积 分 : a − x2 − y2 Dxy 0 ≤ θ ≤ 2π x = r cosθ , y = r sin θ , 0 ≤ r ≤ a 2 − h2
解: (1)∑的 方程: z = a2 − x2 − y2 ;
(2)∑在xoy面上的投影区域为Dxy , 闭区域: x2 + y2 ≤ a2 − h2； 是圆形
(3)dS = 1+ zx + z y dxdy
2 2
(1)Σ的方程: z = a − x − y ;
2 2 2
∂z − 2x −x = = ∂x 2 a 2 − x 2 − y 2 a2 − x2 − y2
∑
=
∫∫ f ( x, y, z)dS
2 f [ x, y, z( x, y)] 1+ z′2( x, y) + z′y ( x, y)dxdy x ∫∫ Dxy
dσ → ∂z ∂z dS = dA = , n = {− ,− ,1}, cosγ ∂x ∂y cosγ = 1 ∂z 2 ∂z 2 1+ ( ) + ( ) ∂x ∂y
∑
9.6.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y) ( x, y) ∈ Dxy
z x , z y在Dxy上连续 .
∫∫ f ( x, y, z)dS
Σ
2 Dxy
三个替换
2
= ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′ + z′ dxdy; x y
利用极坐标
π
2 1 2
x = r cos t , y = r sin t ,
2
= 4 ∫0 dt ∫0 r cos t sin t ⋅ r
π
2
1 +∫0 r 5 1 + 4r 2 dr
1
令u = 1 + 4r
2
1 5 u−1 2 125 5 − 1 ) du = = ∫1 u( . 4 4 420
显然
Σ1
Σ 3 ： x + y = 1.
2 2
∫∫ xdS = ∫∫ xdxdy = 0 ,
D1
∫∫ xdS = ∫∫ x D Σ
2 1
1 + 1dxdy = 0,
, Σ 影 论 讨 Σ3时 将 3投 在xoz面 . 上 2 左、 片） （ 意 y = ± 1 − x 分 左 右 片） 注 ： 为 、 两
1 (1− x)3 1 y y dx = 3 ∫ x (1 − x ) − dx = 3∫0 x ⋅ 0 6 2 3 0
3 1− x
3 1 3 2 3 4 = ∫0( x − 3x + 3x − x )dx = 120 6
例4
计算 ∫∫ | xyz | dS ,
Σ
其中 Σ 为抛物面 z = x2 + y2（0 ≤ z ≤ 1）.
Dxy
注: 曲面Σ : z = f ( x, y), ( x, y) ∈ Dxy ,
曲面面积： = ∫∫ dS = ∫∫ 1+ z′ + z′ dxdy 曲面面积： A x y
2 2
2. 若曲面Σ : y = y( x, z)
则 f ( x , y , z )dS = ∫∫
Σ
Σ
Dxy
∫∫ f [x, y( x, z), z]
2π a 2 − h2
dS ardrdθ = a dθ ∫∫ z = ∫∫ a2 − r2 ∫ 0 Dxy ∑
1 2 2 = 2 πa − ln( a − r ) 2 0
∫
0
rd r 2 2 a −r
a 2 − h2
a = 2 πa ln h
例3 计算∫∫ xyzdS, 其中 ∑ x 由平面 = 0, y = 0, ∑是 z = 0及x + y + z = 1所 围成的四面体的整个 边界曲面。 边界曲面。
例5
2 2 计算 ∫∫ xdS , 其中 Σ是圆柱面 x + y = 1,
平面 z = x + 2及 z = 0所围成的空间立体的表面. 所围成的空间立体的表面
Σ
解
∫∫
Σ
=
∫∫
Σ1
+
∫∫
Σ2
+
∫∫
Σ3
其中 Σ 1 ： z = 0 ,
2
Σ 2： z = x + 2,
2
投影域 D1 ： x + y ≤ 1
换元 换域 公式的推导思路如下: 公式的推导思路如下 换面积元素
dσ , (∆S ≈ ∆A) dS = dA = cosγ
由于Σ 由于Σ的法向量为
r ∂z ∂z n = − ,− ,1, ∂x ∂y 1 , ∴ cosγ = ∂z 2 ∂z 2 1+ ( ) + ( ) ∂x ∂y
Dxz
Dyz
1+ y′ + y′ dxdz; x z
2 2
3. 若曲面Σ： x = x( y, z)
则 ∫∫
Σ
′ 2 + x′2 dydz. f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x( y, z), y, z] 1+ xy z
例1
计算
∫∫ ( x + y + z)dS , 其中 Σ为平面
M = ∫∫ f ( x , y , z )dS
(4)当被积函数 f ( x , y , z ) ≡ 1时，x , y , z ) ∈ Σ， (
∑
A = ∫∫ dS 表示曲面 的面积 表示曲面Σ .
Σ
(5) 当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
∫∫ f ( x, y, z )dS
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
Σ
1 2
Remark: (1) 当曲面Σ为光滑或分片光滑曲面片 f (x,y,z) 在Σ上 当曲面Σ为光滑或分片光滑曲面片, 连续时 上必可积 以下恒设此条件满足. 可积,以下恒设此条件满足 连续时, f (x,y,z) 在Σ上必可积 以下恒设此条件满足 (2) 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 有如定积分类似的性质 从略. (3) 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 物理意义