(完整版)矩阵知识点完整归纳

矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。

它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。

1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。

1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。

1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。

二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。

2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。

2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。

2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。

三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。

3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。

3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。

3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。

四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。

4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。

矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。

本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。

一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。

如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。

2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。

（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。

（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。

（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。

矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。

一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。

如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。

1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。

n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。

⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。

⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。

⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。

⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。

1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。

矩阵论知识点第一章：矩阵的相似变换1. 特征值，特征向量特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量2. 相似对角化充要条件：（1）（2）（3）（4）3. Jordan标准形计算：求相似矩阵P及Jordan标准形求Jordan标准形的方法：特征向量法，初等变换法，初等因子法4. Hamilton-Cayley定理应用：待定系数法求解矩阵函数值计算：最小多项式5. 向量的内积6. 酉相似下的标准形特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论1. 向量的范数计算：1，2，范数2. 矩阵的范数计算：1，2，，m , F 范数，谱半径3. 谱半径、条件数第三章：矩阵分析1. 矩阵序列2. 矩阵级数特别的：矩阵幂级数计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3. 矩阵函数计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4. 矩阵的微分和积分计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dA(t),)()(X R AXX X X X f T T T 等5. 应用计算：求解一阶常系数线性微分方程组第四章：矩阵分解1. 矩阵的三角分解计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解计算：Householder矩阵，Givens矩阵，矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解计算：满秩分解，奇异值分解4. 矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计与表示1. 特征值界的估计计算：模的上界，实部、虚部的上界2. 特征值的包含区域计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值3. Hermite矩阵特征值的表示计算：矩阵的Rayleigh商的极值4. 广义特征值问题AX转化为一般特征值问题计算：BX第六章：广义逆矩阵1. 广义逆矩阵的概念2. {1}逆及其应用计算：）（1A ，判别矩阵方程D AXB ，b Ax 解的情况3. Moore-Penrose 逆A计算：利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解第七章：矩阵的直积1. 矩阵的直积计算：B A 的特征值，行列式，迹2. 矩阵的行拉直计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程FXBAX 第八章：线性空间与线性变换1. 线性空间的基、维数、坐标计算：基、维数、坐标，值域和核空间2. 线性变换计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数3. 欧氏空间1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形2. 求解一阶常系数线性微分方程组3. Crout 分解，Doolittle 分解4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向5. 奇异值分解6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值7. 利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解8. 求解矩阵方程FXB AX 1.向量1，2，范数，矩阵的1，2，，m , F 范数，谱半径2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4.函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dsinAt ，)()(X R AX X X X X f TTT 等5.模的上界，实部、虚部的上界6.矩阵的Rayleigh 商的极值7.广义特征值BX AX 转化为一般特征值问题8.）（1A ，B A 的特征值，行列式，迹9.基、维数、坐标，值域和核空间10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数。

矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。

矩阵可以用大写字母表示。

1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。

- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。

行和列的个数分别称为行数和列数。

1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。

- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。

1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。

- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。

1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。

- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。

- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。

其秩等于不为零的行数。

- 同样列最简形矩阵都是列等价的。

其秩等于不为零的列数。

- 行秩等于列秩。

1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。

非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。

- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。

- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。

1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。

矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。

（一）矩阵的定义。

1. 矩阵的概念。

- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。

2. 特殊矩阵。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。

- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。

- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。

- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。

（二）矩阵的运算。

1. 矩阵的加法。

- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。

- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。

2. 矩阵的数乘。

- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。

- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。

3. 矩阵的乘法。

- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。

- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。

矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。

- 列数：矩阵中的列数为n。

- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。

- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。

1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。

即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。

即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。

矩阵知识点(总10页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵定义 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3．正交矩阵定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。

定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。

定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。

注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

E A A T=A 1=A 1-=A TA A =-1)(1TA A 即-AB ⇔1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

矩阵及其性质知识点及题型归纳总结
1. 矩阵基本概念
- 矩阵是一个二维数组，由行和列组成。

- 矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

2. 矩阵的性质和运算
- 矩阵的转置：交换矩阵的行和列, 记作A^T。

- 矩阵的加法：对应位置元素相加。

- 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素乘以一个数。

- 矩阵的乘法：满足左乘法则和右乘法则。

- 矩阵的逆：对于可逆方阵，存在逆矩阵使得矩阵乘法满足乘法逆的要求。

3. 矩阵的特殊类型和性质
- 单位矩阵：一个方阵的主对角线上元素为1，其他元素为0。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

- 对角矩阵：只有主对角线上元素非零，其他元素为0。

- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身。

- 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0。

- 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0。

4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法和转置操作。

- 矩阵的性质判断：检查矩阵是否为对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。

- 矩阵的逆和行列式：求逆矩阵、计算行列式的值等。

- 矩阵的方程求解：解线性方程组、求矩阵的特征值和特征向量等。

以上是矩阵及其性质的基本知识点及题型归纳总结。

通过掌握这些知识，你将能够更好地理解和应用矩阵在数学和工程等领域的相关问题。

矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。

一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。

2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。

3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。

4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。

5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。

2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。

3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。

4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。

5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。