(完整版)矩阵知识点完整归纳

矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。

它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。

1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。

1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。

1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。

二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。

2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。

2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。

2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。

三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。

3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。

3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。

3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。

四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。

4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。

矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。

本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。

一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。

如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。

2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。

（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。

（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。

（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。

矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。

一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。

如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。

1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。

n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。

⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。

⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。

⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。

⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。

1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。

矩阵论知识点第一章：矩阵的相似变换1. 特征值，特征向量特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量2. 相似对角化充要条件：（1）（2）（3）（4）3. Jordan标准形计算：求相似矩阵P及Jordan标准形求Jordan标准形的方法：特征向量法，初等变换法，初等因子法4. Hamilton-Cayley定理应用：待定系数法求解矩阵函数值计算：最小多项式5. 向量的内积6. 酉相似下的标准形特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论1. 向量的范数计算：1，2，范数2. 矩阵的范数计算：1，2，，m , F 范数，谱半径3. 谱半径、条件数第三章：矩阵分析1. 矩阵序列2. 矩阵级数特别的：矩阵幂级数计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3. 矩阵函数计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4. 矩阵的微分和积分计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dA(t),)()(X R AXX X X X f T T T 等5. 应用计算：求解一阶常系数线性微分方程组第四章：矩阵分解1. 矩阵的三角分解计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解计算：Householder矩阵，Givens矩阵，矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解计算：满秩分解，奇异值分解4. 矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计与表示1. 特征值界的估计计算：模的上界，实部、虚部的上界2. 特征值的包含区域计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值3. Hermite矩阵特征值的表示计算：矩阵的Rayleigh商的极值4. 广义特征值问题AX转化为一般特征值问题计算：BX第六章：广义逆矩阵1. 广义逆矩阵的概念2. {1}逆及其应用计算：）（1A ，判别矩阵方程D AXB ，b Ax 解的情况3. Moore-Penrose 逆A计算：利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解第七章：矩阵的直积1. 矩阵的直积计算：B A 的特征值，行列式，迹2. 矩阵的行拉直计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程FXBAX 第八章：线性空间与线性变换1. 线性空间的基、维数、坐标计算：基、维数、坐标，值域和核空间2. 线性变换计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数3. 欧氏空间1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形2. 求解一阶常系数线性微分方程组3. Crout 分解，Doolittle 分解4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向5. 奇异值分解6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值7. 利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解8. 求解矩阵方程FXB AX 1.向量1，2，范数，矩阵的1，2，，m , F 范数，谱半径2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4.函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dsinAt ，)()(X R AX X X X X f TTT 等5.模的上界，实部、虚部的上界6.矩阵的Rayleigh 商的极值7.广义特征值BX AX 转化为一般特征值问题8.）（1A ，B A 的特征值，行列式，迹9.基、维数、坐标，值域和核空间10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数。

矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。

矩阵可以用大写字母表示。

1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。

- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。

行和列的个数分别称为行数和列数。

1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。

- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。

1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。

- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。

1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。

- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。

- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。

其秩等于不为零的行数。

- 同样列最简形矩阵都是列等价的。

其秩等于不为零的列数。

- 行秩等于列秩。

1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。

非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。

- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。

- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。

1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。

矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。

（一）矩阵的定义。

1. 矩阵的概念。

- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。

2. 特殊矩阵。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。

- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。

- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。

- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。

（二）矩阵的运算。

1. 矩阵的加法。

- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。

- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。

2. 矩阵的数乘。

- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。

- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。

3. 矩阵的乘法。

- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。

- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。

矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。

- 列数：矩阵中的列数为n。

- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。

- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。

1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。

即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。

即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。

矩阵知识点(总10页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵定义 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3．正交矩阵定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。

定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。

定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。

注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

E A A T=A 1=A 1-=A TA A =-1)(1TA A 即-AB ⇔1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

矩阵及其性质知识点及题型归纳总结
1. 矩阵基本概念
- 矩阵是一个二维数组，由行和列组成。

- 矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

2. 矩阵的性质和运算
- 矩阵的转置：交换矩阵的行和列, 记作A^T。

- 矩阵的加法：对应位置元素相加。

- 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素乘以一个数。

- 矩阵的乘法：满足左乘法则和右乘法则。

- 矩阵的逆：对于可逆方阵，存在逆矩阵使得矩阵乘法满足乘法逆的要求。

3. 矩阵的特殊类型和性质
- 单位矩阵：一个方阵的主对角线上元素为1，其他元素为0。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

- 对角矩阵：只有主对角线上元素非零，其他元素为0。

- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身。

- 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0。

- 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0。

4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法和转置操作。

- 矩阵的性质判断：检查矩阵是否为对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。

- 矩阵的逆和行列式：求逆矩阵、计算行列式的值等。

- 矩阵的方程求解：解线性方程组、求矩阵的特征值和特征向量等。

以上是矩阵及其性质的基本知识点及题型归纳总结。

通过掌握这些知识，你将能够更好地理解和应用矩阵在数学和工程等领域的相关问题。

矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。

一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。

2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。

3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。

4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。

5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。

2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。

3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。

4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。

5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。

矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。

2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。

例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。

3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。

方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。

2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。

例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。

A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。

三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。

a11 则其系数矩阵为A = a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11 增广矩阵为 A = a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
d1 d2 d3
矩阵变换： 矩阵变换 1、互换矩阵两行； 2、把某一行同乘（除）以一个非零的数； 3、某一行乘以一个数加到另一行。
一、矩阵的基本概念
Am×n
1、矩阵：矩形数表， 表示m行n列矩阵 aij 2、元素：矩阵中的每一个数， 表示第i行 第j列的元素 3、方矩阵：m=n= 1 aii 4、单位矩阵： 其余元素均为0的方矩阵
二、矩阵变换与解方程组
a11 x + a12 y + a13 z = d1 有方程组 a21 x + a22 y + a23 z = d 2 a x + a y + a z = d 32 33 3 31
cosθ −sinθ sinθ cosθ
关于x轴对称 关于 轴对称
−1 0 0 −1 0 1 1 0
关于原点对称
关于y轴对称 关称
4、矩阵与矩阵的乘法
Am× p B p×n = Cm×n
运算法则： 运算法则：
A+ B = B + A
α A = Aα α ( A + B) = α A + α B
AE = EA = A A( B + C ) = AB + AC ( A + B)C = AC + BC A( BC ) = ( AB)C AB ≠ BA
变换矩阵
几何意义
横坐标变为原来的a倍 横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的b倍 纵坐标变为原来的 倍

根据矩阵知识点总结及题型归纳
1. 矩阵简介
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，是线性代数中的重要概念。

矩阵可以表示向量和线性变换，并在各个领域中得到广泛应用。

2. 矩阵的基本操作
- 矩阵加法：两个矩阵的对应元素相加，结果仍为矩阵。

- 矩阵乘法：第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘并相加，结果为新矩阵。

- 矩阵转置：将矩阵的行与列互换，得到新矩阵。

3. 矩阵的性质
- 矩阵的零元素：所有元素都为零的矩阵。

- 矩阵的单位元素：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。

- 矩阵的逆：满足乘法交换律，矩阵乘以其逆矩阵等于单位矩阵。

4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵运算题：根据矩阵加法、矩阵乘法等基本操作进行计算。

- 矩阵转置题：要求将给定矩阵转置，并给出转置后的结果。

- 矩阵的性质题：涉及矩阵的零元素、单位元素、逆矩阵等性
质的题目。

- 矩阵应用题：将矩阵应用于实际问题，如线性方程组的求解、向量空间的表示等。

总结：矩阵是线性代数中的基本概念，具有基本操作和性质。

在题型归纳中，常见的包括矩阵运算、矩阵转置、矩阵的性质和矩
阵应用题。

掌握矩阵的知识点和解题技巧，对于理解线性代数和解
决实际问题具有重要意义。

矩阵知识点完整归纳矩阵是现代数学中的一种重要数学工具，广泛应用于各个学科领域。

在线性代数中，矩阵是最基本的对象之一，研究的对象是矩阵的性质和运算规律。

本文将对矩阵的知识点进行完整归纳。

一、矩阵的定义与表示方法矩阵是m行n列的数表，由m×n个数组成。

它可以用方括号“[ ]”表示，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

矩阵的第i行第j列的元素记作a_ij。

二、矩阵的运算1.矩阵的加法：对应元素相加。

2.矩阵的减法：对应元素相减。

3.矩阵与标量的乘法：矩阵的每个元素都乘以该标量。

4.矩阵的乘法：第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列，求和得到结果矩阵的对应元素。

5.矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

6.矩阵的逆：如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵。

三、特殊矩阵1.零矩阵：所有元素均为0的矩阵。

2.单位矩阵：对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵。

3.对称矩阵：转置后与原矩阵相等的矩阵。

4.上三角矩阵：主对角线以下的元素均为0的矩阵。

5.下三角矩阵：主对角线以上的元素均为0的矩阵。

6.对角矩阵：只有主对角线上有非零元素，其余元素均为0的矩阵。

7.可逆矩阵：存在逆矩阵的方阵。

8.奇异矩阵：不可逆的方阵。

四、矩阵的性质和定理1.矩阵的迹：矩阵主对角线上元素之和。

2.矩阵的转置积：(AB)^T=B^TA^T。

3.矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律：AB≠BA。

4.矩阵的乘法满足分配律：A(B+C)=AB+AC。

5.矩阵的行列式：用于判断矩阵是否可逆，计算方式为按行展开法或按列展开法。

6.矩阵的秩：矩阵的列向量或行向量的极大无关组中的向量个数。

7.矩阵的特征值与特征向量：Ax=λx，其中λ为特征值，x为特征向量。

8.矩阵的迹与特征值之间的关系：矩阵的迹等于特征值之和。

五、应用领域1.线性方程组的求解：通过矩阵运算可以求解线性方程组。

2.三角形面积计算：通过矩阵的行列式可以求解三角形的面积。

矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由错误!(其中a，ｂ，c,ｄ是常数)构成的变换称为线性变换.由四个数a，b，c，d排成的正方形数表错误!称为二阶矩阵,其中a,ｂ,c，d称为矩阵的元素,矩阵通常用大写字母A，B，C,…或（aｉｊ)表示(其中ｉ,j分别为元素ａｉj所在的行和列).２.矩阵的乘法行矩阵［a11a12]与列矩阵错误!的乘法规则为［a11ａ12］错误!=[a1１b11+a１2b２1］，二阶矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则为错误!错误!=错误!．矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律.3.几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M＝错误!；（2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝错误!;(３)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1=错误!;若关于y轴对称,则变换对应矩阵为Ｍ２=错误!;若关于坐标原点对称,则变换对应矩阵M3＝错误!;(4)伸压变换对应的二阶矩阵M=错误!,表示将每个点的横坐标变为原来的k１倍，纵坐标变为原来的k2倍,k１，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上,例如关于ｘ轴的投影变换的矩阵为M＝错误!;（6)切变变换要看沿什么方向平移,若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M=错误!，若沿y轴平移|kx|个单位,则对应矩阵Ｍ＝错误!.(其中k为非零常数)．4．线性变换的基本性质设向量α＝错误!，规定实数λ与向量α的乘积λα=错误!;设向量α＝错误!，β＝错误!，规定向量α与β的和α＋β＝错误!.(1)设Ｍ是一个二阶矩阵,α、β是平面上的任意两个向量,λ是一个任意实数，则①Ｍ(λα)＝λMα,②M（α＋β）=Ｍα＋Mβ.(2)二阶矩阵对应的变换（线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量１．矩阵的逆矩阵(１)一般地,设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ，使得σρ=ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换.(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB＝E,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵．（3)(性质1）设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.Ａ的逆矩阵记为Ａ-1.(4）（性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆,则AＢ也可逆，且(AB)－1=B－1A－1.(５）已知Ａ，B，C为二阶矩阵，且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵，则Ｂ=C.(6)对于二阶可逆矩阵A=错误!(ａd-bc≠0），它的逆矩阵为A-１＝错误!．2.二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组错误!我们把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值(或多项式),记为ｄet(A)＝错误!=ad－bc.若将方程组中行列式错误!记为D,错误!记为Dｘ,错误!记为Dｙ,则当D≠0时,方程组的解为错误!3．二阶矩阵的特征值和特征向量（1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα，那么λ称为Ａ的一个特征值,α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量.(2)特征多项式设λ是二阶矩阵A=错误!的一个特征值,它的一个特征向量为α=错误!,则A错误!=λ错误!,即错误!也即错误!(*)定义：设A＝错误!是一个二阶矩阵,λ∈Ｒ，我们把行列式f(λ)＝错误!=λ2-(a+d)λ＋ad-ｂc称为A的特征多项式.(３)矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A的特征值,则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即ｆ(λ)＝０,此时，将λ代入二元一次方程组（*),就可得到一组非零解错误!,于是非零向量错误!即为Ａ的属于λ的一个特征向量．所有变换矩阵单位矩阵：1001M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,点的变换为(,)(,)x y x y→伸压变换矩阵：01kM⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:1k>，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变01k<<，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变点的变换为(,)(,)x y kx y→10Mk⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：1k>，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变01k<<,将原来图形纵坐标缩小为原来k倍,横坐标不变点的变换为(,)(,)x y x ky→反射变换:1001M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦：点的变换为(,)(,)x y x y→-变换前后关于x轴对称1001M-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:点的变换为(,)(,)x y x y→-变换前后关于y轴对称1001M-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦：点的变换为(,)(,)x y x y→--变换前后关于原点对称0110M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:点的变换为(,)(,)x y y x→变换前后关于直线y x=对称旋转变换:cos sin sin cos M θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：逆时针090:0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；顺时针090:0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦旋转变化矩阵还可以设为：a b M b a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 投影变换：1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上 点的变换为(,)(,0)x y x →0001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上 点的变换为(,)(0,)x y y →1010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)x y x x →0101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)x y y y →11221122M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦：将坐标平面上的点垂直于y x =方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)22x y x y x y ++→ 切变变换:101k M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:把平面上的点沿x 轴方向平移||ky 个单位 点的变换为(,)(,)x y x ky y →+101M k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:把平面上的点沿y 轴方向平移||kx 个单位 点的变换为(,)(,)x y x kx y →+。

矩阵知识点总结1. 矩阵的概念矩阵是数学中的一种特殊形式的数组，是由m×n个数排成m行、n列所组成的数表。

矩阵通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个数称为元素，用小写字母表示，如a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2. 矩阵的基本性质(1) 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素都相等，即A[i][j]=B[i][j]。

(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减的规则是对应元素相加减，即A[i][j] ±B[i][j]。

(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是指将A的每个元素都乘以同一个数k，即kA[i][j]。

(4) 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法不是对应元素相乘，而是按照特定的规则进行计算，具体的规则将在后面介绍。

3. 矩阵的运算(1) 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，就是将A的行和列互换得到的新矩阵。

即A^T[i][j]=A[j][i]。

(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减时，要求它们的行数和列数都相等，然后对应元素相加减。

(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是将A的每个元素都乘以同一个数k。

(4) 矩阵的乘法：矩阵A和矩阵B的乘法是指矩阵A的行与矩阵B的列进行内积运算，得到一个新的矩阵C。

其中，矩阵A的列数要等于矩阵B的行数，即A(m×n)B(n×p)=C(m×p)。

4. 矩阵的特殊类型(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

(2) 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵称为对角矩阵，其他位置的元素都为零。

(3) 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他位置的元素都为0的n阶方阵称为单位矩阵，记作I。

(4) 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

5. 矩阵的应用(1) 线性方程组的解法：线性方程组可以通过矩阵的方法进行求解，将系数矩阵与未知数矩阵进行组合，然后通过矩阵的运算得到方程组的解。

矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。

其中的元素可以是数字、符号或数学式。

矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。

1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。

1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。

如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。